為什麼0.9的無限循環小數等於1（0.9無限循環小數不等於1的證明及衝擊）

2023-05-07 13:13:13 1

為什麼0.9的無限循環小數等於1?本文原來一萬餘字現在分成5部分發表這是第1部分，今天小編就來聊一聊關於為什麼0.9的無限循環小數等於1?接下來我們就一起去研究一下吧!

為什麼0.9的無限循環小數等於1

本文原來一萬餘字。現在分成5部分發表。這是第1部分。

鑑於有人忘記了0.9…=1的規定，本來想補發一個2000年的《實話實說》節目的一部分視頻，但是修改的時候不允許發視頻，所以在以後補發吧。

0.9…≠1的有關證明曾於2016年5月經遼寧大學數學系吳世培教授審閱。他認為我的證明根據是現在數學公認的運算，而且有名人的意見做依據（魯金和柯朗的論述。下文中有引用。），站得住腳。

吳老師是1936年生人，北京師範大學1957年的畢業生。曾經擔任瀋陽市數學協會理事長。

（有人說，0.9…=1會永遠有爭論。否。本文終結了這個爭論。

真正的困難在於這個結果對實數系等等的衝擊。本文所引的哥德爾的話值得思考。他對目前的實數系等等有看法。實數系必須拓展，必須包括無窮大數和無窮小數。

文中有些需要強調之處，利用了黑體字。

《科學美國人》可能對此文有興趣。我無法查找以前的《科學美國人》。記得以前它發表過認為二者相等的文章。他們如果看到本文，有可能發表。）

歡迎批評指正。注意：請針對我的證明提出批評。不要只基於「已有定論」而否定我的意見。

文章比較長，所以分為5部分發表。今天發表第1部分：邏輯證明。

李長白 瀋陽體育學院退休人員 瀋陽體育學院退休辦 郵編110033

摘要：0.9…=1的寫法不妥。利用指數表示法可以證明它是不合邏輯的錯誤寫法的結果。還可以利用微積分中求(1/e)的運算進一步證明0.9…≠1。它提示出實數系需要拓展，把無窮數等等包括到實數系中。

關鍵詞： 0.9…=1-1/10^n(n→∞) (10^n表示10的n次方。下面「^」都表示乘方。)

1/10^n≠0(n→∞) lim(1-1/10^n)^10^n=lim(0.9…)^10^n=1/e＜1=1^n=1^10^n (n→∞)

（《頭條》不兼容數學公式編輯器，所以公式表示比較困難。）

實數系拓展

0.999…≠1的證明及衝擊（1.邏輯證明）

1 1/3換算成為十進位小數的正確寫法（小學）

在小學裡，把1/3換算成為十進位小數的正確寫法如下：

1÷3=1/3=[1-（1/10） （1/10）]÷3=[1-（1/10）]÷3 （1/10）÷3

=0.3 （1/10）÷3 （1.1）

=[1-（1/100） （1/100）]÷3=[1-（1/100）]÷3 （1/100）÷3

=0.33 （1/100）÷3 （1.2）

=[1-（1/1000） （1/1000）]÷3 （1.3）

…

毫無疑問，在結果是有限數的時候，可以這樣一直寫下去。只是容易看出，隨著位數的增加，比如到了小數點後100，000位，1000，000,000位，…，則寫出的數越來越長，書寫也就越困難，更不用說要發現問題了。只是對小學生而言，只能這樣寫。

2利用指數表示法進一步把正確寫法堅持到底

利用中學學習的指數表示法把上面的式子重新寫出，如下：

1/3=[1-（1/10） （1/10）]÷3=[1-（1/10）]÷3 （1/10）÷3

=0.3 （1/10）÷3 （2.1）

=[1-（1/10^2） （1/10^2）]÷3=[1-（1/10^2）]÷3 （1/10^2）÷3

=0.33 （1/10^2）÷3 （2.2）

=[1-（1/10^3） （1/10^3）]÷3=[1-（1/10^3）]÷3 （1/10^3）÷3

=0.333 （1/10^3）÷3 （2.3）

…

利用指數表示法，可以很容易地寫出指數為n的時候式子：

1/3=[1-（1/10^n 1/10^n）]÷3=[1-（1/10^n）]÷3 （1/10^n）÷3 （2.4）

在n是有限數的時候，它表示的是利用十進位小數表示的1÷3準確的結果。式子的兩側完全相等。其中，[ 1-（1/10^n）]÷3表示的是有限循環小數0.3…。注意：小數點後面一定是有限的n個3。同時，能夠看出，式子中仍然有一個餘數：（1/10^n），必須保留它，而且它仍然需要除以3，以保證式子兩側嚴格相等。

於是在n是有限數的時候，（2.4）是完全正確的。沒有絲毫疑義。[把（2.4）的兩側同時乘以3，整理以後，最終會得到1=1。相信讀者能夠完成這個運算。]

利用數學歸納法可以證明（2.4）式的正確性。注意：這是潛無窮。[1]

3 1÷3=1/3= 0.333…的寫法跨度太大

現在小學就講授

1÷3=1/3= 0.333… （3.1）

對小學生而言，這個式子的跨度太大了，從有限一下子就跨入了無窮，而且實際上是進入了實無窮！有限和無窮是兩個範疇。無窮不但對小學生非常困難，對中學生乃至大學生、甚至數學家也是非常困難的。建議在小學教材中刪除之。

4 把1/3換算成為十進位小數的正確寫法保持到實無窮的條件下

利用2中的指數表示法，把（2.4）式重新寫出：

1/3=[1-（1/10^n 1/10^n）]÷3=[1-（1/10^n）]÷3 （1/10^n）÷3 （2.4）

考慮 n→∞的情況。利用∞代換式中的n，得到

1/3=[1-（1/10^∞） （1/10^∞）]÷3=[1-（1/10^∞）]÷3 （1/10^∞）÷3 （4.1）

這是正確的寫法。（4.1）式的兩側嚴格相等。

5 一個非常重要的等式：[1-（1/10^∞）]÷3=0.3…

有人[2]把上面（4.1）改寫成為：

1/3=0.3… （1/10^∞）÷3 （5.1）

顯然他認為（4.1）式中右側前面括號中的數如下：

[ 1-（1/10^∞）]÷3=0.3… （5.2）

即（1-1/10^∞）÷3應該是無限循環小數0.3…。這個認識確實有道理。他的錯誤在於：他隨即刪除了（5.1）中的最後一項。他的錯誤就在這裡。[恰恰是這個錯誤使他推出：

1/3=0.3… （5.3）]

（5.2）式是正確的。它是進一步分析的出發點，非常重要。再仔細看（4.1）式，則容易發現（4.1）式中有兩個包含（1/10^∞）的項。他把（4.1）變成（5.1）的時候，則只保留了後面的包含（1/10^∞）的項，但是他忘記了前面一項也同樣包含了（1/10^∞）的項。實際上這一項還存在，因為

[ 1-（1/10^∞）]÷3=0.3… （5.2）

需要特別仔細地認真地思考（5.2）式。（5.2）式中，右側0.3…與左側的

[ 1-（1/10^∞）]÷3相等說明0.3…中已經隱含著（1/10^∞）這一項！只看（5.2）的右側寫法非常容易使人忽略這一點。那位先生就是這樣！他只看到了（5.1）式後面的包含（1/10^∞）的那一項，並且刪除了它。但是對（5.1）式右側前面一項中隱含著的（1/10^∞）這一項卻因為沒有明顯地表示出來而完全忽略了，沒有予以相同的處理即同時予以刪除。這顯然是錯誤的。

再仔細考察下面三個式子。

1÷3=1/3= 0.333… （5.4）

1/3=[1-（1/10^∞） （1/10^∞）]÷3=[1-（1/10^∞）]÷3 （1/10^∞）÷3 （5.5）

1/3=0.3… （1/10^∞）÷3 （5.6）

容易看出，如果想從（5.5）推出（5.4），必須刪除（5.5）中的最後一項即包含 （1/10^∞）的項。

相比而言，（5.5）式的寫法更好！因為（5.5）中明顯存在存在著兩個包含1/10^∞的項，它們符號相反，但是絕對值相同。所以，如果真的要刪除（5.5）中的最後的包含1/10^∞的項，則從邏輯上看，必須同時刪除前面的包含1/10^∞的項。道理很簡單：在同一個運算中，對兩個絕對值完全相同的數量，應該或者同時刪除，或者同時保留。這樣才合乎邏輯！只保留一項，卻刪除了另外一項，顯然不合邏輯！

而在把（5.1）式變成為（5.4）的時候，則常常容易忽略（5.1）中前面一項中隱含著（1/10^∞）這一項。於是雖然（5.1）的寫法有道理，但是稍有不慎，就可能導致錯誤！

[容易發現，如果從（5.5）中同時刪除兩個包含1/10^∞的項，則得到

1/3=[1-（1/10^∞） （1/10^∞）]÷3=1÷3=1/3 （5.7）

這個才是真正正確的結果！]

因此

1÷3=1/3= 0.333… （5.3）

的結果源於一個邏輯錯誤！現在應該予以糾正。

所以必須把指數表示法堅持到底。那位犯錯誤的先生離正確只差一步之遙。當然，關鍵可能是這位先生沒有想到0.9…會不等於1。

6 0.9…=1-1/1^n 的寫法是正確的

0.9…=1-1/10^n （6.1）

的寫法可以從

1/3=[1-（1/10^n） （1/10^n）]÷3=1÷3=1/3 （2.4）

推出。

也可以從

0.9…=0.9 0.09 0.009 … （6.2）

利用求無窮遞縮等比數列前n 項和的公式

Sn=a1(1-q^n)/(1-q) （6.3）

推出。式中a1=0.9,q=1/10。過程略。(注意：a1的1應該是下標。Sn的n也是下標。）

毫無疑問，在n是有限數的時候，這個結果是正確的。可以利用數學歸納法證明。所以在潛無窮的條件下，（6.1）式是正確的。

7 在n→∞的條件下0.9…=1-1/10^n 的寫法仍然是正確的

（6.1）式是潛無窮。在n→∞的條件下，即

0.9…=1-1/10^n （n→∞） （7.1）

的時候，此式的右側則可以認為是實無窮，即把康託爾（Cantor） [3]的思路推廣到微積分中。（當然，不是把集合論中的實無窮概念原封不動地照搬到這裡。必須具體問題具體分析，所以需要有所改進。）

重要的是，可以很容易地證明1/10^n（n→∞）不是永遠等於0。因為在微積分中已經公認

1=10×1/10=10^2×1/10^2=10^3×1/10^3=…=10^n×1/10^n （7.2）

顯然，這個結果在n→∞的時候仍然成立。

〈前蘇聯〉科學院院士、著名的數學家魯金指出，n×1/n=1，無論何時，恆等於1。在n→∞的情況下亦然。[4]顯然魯金不認為微積分中的 「無窮小」在任何時候都永遠可以忽略，即1/n(n→∞)不是真正地、永遠地等於0！魯金的這個結論是數學界的公認的。據此即可推出：

(1/10^n)×10^n=1.(n→∞) （7.3）

0乘以任何數都等於0。

但是1/10^n(n→∞)不然。

所以1/10^n(n→∞)不同於0。證畢。

注釋

1 〈英〉羅素《數理哲學導論》[M]晏成書譯 商務印書館 1982年6月第1版31。羅素說得十分清楚：「數學歸納法比別的東西更能表示出有窮的本質特徵，有窮與無窮的區別。數學歸納法的原則通常可以敘述成後面的形式：『能從一個推論到次一個的就能從第一個推論到末一個。』如果從第一個到末一個其間的步驟是有窮時，它是真的，此外不真。」

From Wikipedia, the free encyclopedia 中的S — Preceding unsigned comment added by 95.42.185.235 (talk) 12:40, 11 October 2014 (UTC)的評論]

3 格奧爾格·康託爾（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6）德國數學家，集合論的創始人。生於俄國列寧格勒（今俄羅斯聖彼得堡）。http://baike.baidu.com/link?url=Pnxnk6-fP_nZWqKZ8tMcfOK8SPFLvFvs8VnRvx-oxpcL8VecKCcY7nB30AAKt895sFNzJh34SYd3Pfu8HrtgERLGuy8TynaDiYzqMkB2X4Y2gkSBSpbiGyUFCHC8qBXZm2tAglQHTYeztw_sIapF9mxpxCXxaJu7lGFZOj7vdbby4BxDh9Loudhlg84zqhapa7V0WdPxRz4HAOAgRAUAVoTujNms2dlzHUvALmm_lFclc2cT-dqzOUVcsX0Znq6A。

4 魯金（Лузин，Николай Николаевичлузин，1883-1950.〈前蘇聯〉科學院院士）《微分學》[M]譚家岱 張理京譯 高等教育出版社 1954年上海§39，61-62頁。據《Диференциальное исчисление》1954年第4版譯。書中的一個定理的註解是這個證明的基本依據。他說，無窮小的「最重要的性質」的「第一個性質 兩個、三個，或一般說來，任意個固定個數的無窮小之和仍為一個無窮小。」

隨後他在註解中說明：「所證明的無窮小的第一個性質必須要求：所加起來的無窮小的總個數m，一直是固定的，即有限的。

這個限制是絕對不可省的，因為，假若所加起來的無窮小的個數m不是固定的（即非有限的），例如當每項趨近零時，這個個數也無限增大起來，那麼第一個性質就可能不對了。在這種情況下，這些無窮小之和α β γ … μ可能不再是一個無窮小。這種情況正是積分學裡經常用到的。

例如，我們有n個變量α，β，γ，…，ν，每個都等於1/n，即

α=1/n，β=1/n ，γ=1/n，…，ν=1/n。

當它們的個數無限增加時，每一個量顯然都趨近於0，所以它們都是無窮小。但另一方面，它們的和

σ=α β γ … ν=1/n 1/n 1/n … 1/n=n×1/n=1，

無論何時，恆等於1。」

（未完待續）