碰撞追及問題（專題7.5碰撞爆炸）

2023-08-05 11:56:16

一、碰撞過程研究

1. 碰撞過程的特徵：「碰撞過程」作為一個典型的力學過程其特徵主要表現在如下兩個方面：

（1）碰撞雙方相互作用的時間t一般很短；通常情況下，碰撞所經歷的時間在整個力學過程中都是可以初忽略的；

（2）碰撞雙方相互作用的力作為系統的內力一般很大。

2.「碰撞過程」的規律

正是因為「碰撞過程」所具備的「作用時間短」和「外力很小」（甚至外力為零）這兩個特徵，才使得碰撞雙方構成的系統在碰撞前後的總動量遵從守恆定律。

3. 碰撞分類

從碰撞過程中形變恢復情況來劃分：

（1）形變完全恢復的叫彈性碰撞；

（2）形變完全不恢復的叫完全非彈性碰撞；

（3）而形變不能夠完全恢復叫非完全彈性碰撞。

從碰撞過程中機械能損失情況來劃分：

（1）機械能不損失的叫彈性碰撞；

（2）機械能損失最多的叫完全非彈性碰撞；

（3）而一般的碰撞其機械能有所損失。

4. 「碰撞過程」的特例

彈性碰撞作為碰撞過程的一個特例，它是所有碰撞過程的一種極端的情況：形變能夠完全恢復；機械能絲毫沒有損失。彈性碰撞除了遵從上述的動量守恆定律外，還具備：碰前、碰後系統的總動能相等的特徵，即

討論：當碰前物體2的速度不為零時

完全非彈性碰撞作為碰撞過程的一個特別，它是所有碰撞過程的另一種極端的情況：形變完全不能夠恢復；機械能損失達到最大。正因為完全非彈性碰撞具備了「形變完全不能夠恢復」。所以在遵從上述的動量守恆定律外，還具有：碰撞雙方碰後的速度相等的特徵，即

由此即可把完全非彈性碰撞後的速度

5. 制約碰撞過程的規律。

（1）碰撞過程遵從動量守恆定律

（2）碰撞後系統動能不增原則：碰撞過程中系統內各物體的動能將發生變化，對於彈性碰撞，系統內物體間動能相互轉移？沒有轉化成其他形式的能，因此總動能守恆；而非彈性碰撞過程中系統內物體相互作用時有一部分動能將轉化為系統的內能，系統的總動能將減小．因此，碰前系統的總動能一定大於或等於碰後系統的總動能

（3）碰撞前後的運動情況要合理

①若碰前兩物體同向運動，則應有v後＞v前，碰後原來在前的物體速度一定增大，若碰後兩物體同向運動，則應有v前′≥v後′。

②碰前兩物體相向運動，碰後兩物體的運動方向不可能都不改變。

【典例1】如圖兩滑塊A、B在光滑水平面上沿同一直線相向運動，滑塊A的質量為m，速度大小為2v0，方向向右，滑塊B的質量為2m，速度大小為v0，方向向左，兩滑塊發生彈性碰撞後的運動狀態是( )

A．A和B都向左運動 B．A和B都向右運動

C．A靜止，B向右運動 D．A向左運動，B向右運動

【典例2】(多選)如圖12所示，動量分別為pA＝12 kg·m/s、pB＝13 kg·m/s的兩個小球A、B在光滑的水平面上沿一直線向右運動，經過一段時間後兩球發生正碰，分別用ΔpA、ΔpB表示兩小球動量的變化量。則下列選項中可能正確的是( )

A.ΔpA＝－3 kg·m/s、ΔpB＝3 kg·m/s

B.ΔpA＝－2 kg·m/s、ΔpB＝2 kg·m/s

C.ΔpA＝－24 kg·m/s、ΔpB＝24 kg·m/s

D.ΔpA＝3 kg·m/s、ΔpB＝－3 kg·m/s

E.ΔpA＝－1 kg·m/s、ΔpB＝1 kg·m/s

【典例3】兩球A、B在光滑水平面上沿同一直線、同一方向運動，mA＝1 kg，mB＝2 kg，vA＝6 m/s，vB＝2 m/s.當A追上B並發生碰撞後，兩球A、B速度的可能值是( )

A．vA′＝5 m/s，vB′＝2.5 m/s

B．vA′＝2 m/s，vB′＝4 m/s

C．vA′＝－4 m/s，vB′＝7 m/s

D．vA′＝7 m/s，vB′＝1.5 m/s

【典例4】如圖在足夠長的光滑水平面上，物體A、B、C位於同一直線上，A位於B、C之間。A的質量為m，B、C的質量都為M，三者均處於靜止狀態。現使A以某一速度向右運動，求m和M之間應滿足什麼條件，才能使A只與B、C各發生一次碰撞。設物體間的碰撞都是彈性的。

[方法規律]

碰撞問題解題策略

(1)抓住碰撞的特點和不同種類碰撞滿足的條件，列出相應方程求解。

(2)可熟記一些公式，例如「一動一靜」模型中，兩物體發生彈性正碰後的速度滿足：

(3)熟記彈性

正碰的一些結論，例如，當兩球質量相等時，兩球碰撞後交換速度；當m1≫m2，且v20＝0時，碰後質量大的速率不變，質量小的速率為2v。當m1≪m2，且v20＝0時，碰後質量小的球原速率反彈。

【典例5】如圖甲所示，物塊A、B的質量分別是mA=4.0kg和mB=3.0kg. 用輕彈簧栓接，放在光滑的水平地面上，物塊B右側與豎直牆相接觸. 另有一物塊C從t=0時以一定速度向右運

動，在t=4s時與物塊A相碰，並立即與A粘在一起不再分開，物塊C的v-t圖像如圖乙所示.求：

（1）物塊C的質量mC；

（2）牆壁對物塊B的彈力在4 s到12s的時間內對對B的衝量I的大小和方向；

（3）B離開牆後的過程中彈簧具有的最大彈性勢能Ep。

方法概述對於以速度圖像給出解題信息的問題，首先要在讀懂圖像的基礎上，從速度圖像中得出碰撞前後物體的速度， 然後利用動量守恆定律和相關物理規律列方程解答。

【典例6】一列火車共有n節車廂，各車廂之間間隙相等，間隙長度的總和為s。第一節車廂以速度v向第二節車廂運動，碰撞後兩車廂不分開，直到n節車廂全部運動。忽略碰撞的時間，求：

（1）火車最後的速度和整個過程中損失的機械能；

【典例7】如圖甲所示，ABC為一固定在豎直平面內的光滑軌道，BC段水平，AB段與BC段平滑連接。質量為m1的小球從高為處由靜止開始沿軌道下滑，與靜止在軌道BC段上質量為m2的小球發生碰撞，碰撞後兩球的運動方向處於同一水平線上，且在碰撞過程中無機械能損失。求碰撞後小球m2的速度大小v2；

（2）碰撞過程中的能量傳遞規律在物理學中有著廣泛的應用。為了探究這一規律，我們採用多球依次碰撞、碰撞前後速度在同一直線上、且無機械能損失的簡化力學模型。如圖乙所示，在固定光滑水平軌道上，質量分別為m1、m2、m3、···、mn-1、mn···的若干個球沿直線靜止相間排列，給第1個球初動能Ek1，從而引起各球的依次碰撞。定義其中第n個球經過依次碰撞後獲得的動能Ek與Ek1之比為第1個球對第n個球的動能傳遞係數k1n。

a． 求k1n。

b． 若m1=4m0，m3=m0，m0為確定的已知量。求m2為何值時，k13值最大。

方法概述 對於若干個球之間的碰撞，一般需要尋找遞推關係。對於最值問題，一般需要利用數學求最值的知識。

二、爆炸模型

凡是內力瞬時做功，使系統機械能瞬時增大的都可以歸納為爆炸模型。在「爆炸」過程中，動量守恆，內力瞬時做功等於系統增大的機械能。

爆炸現象的三個規律

【典例8】如圖所示，水平面上OM正中間有質量分別為2m、m的兩物塊B、C（中間粘有炸藥），現點燃炸藥，B、C被水平彈開，物塊C運動到O點時與剛好到達該點速度為v0的小物塊A發生迎面正碰，碰後兩者結合為一體向左滑動並剛好在M點與B相碰，不計一切摩擦，三物塊均可視為質點，重力加速度為g=10m/s2，求炸藥點燃後釋放的能量E。

【典例9】從地面豎直向上發射一枚禮花彈，當上升速度為30 m/s時，距地面高度為150 m，恰好此時禮花彈炸開，分裂成質量相等的兩部分，其中一部分經5 s落回發射點，求：

（1）另一部分炸開時的速度。

(2) 另一部分落點位置和落回地面的時間。

歸納總結

對於題述沒有明確爆炸後彈片運動情況的需要先利用相關知識判斷出彈片的運動情況。對於利用數學知識解一元二次方程得到的解，要判斷結果的合理性，捨棄不合理數值。[來源:學|科|網]

三、反衝問題

1．對反衝現象的三點說明

(1)系統內的不同部分在強大內力作用下向相反方向運動，通常用動量守恆來處理。

(2)反衝運動中，由於有其他形式的能轉變為機械能，所以系統的總機械能增加。

(3)反衝運動中平均動量守恆。

2. 討論反衝運動應注意的三個問題:

(1) 速度的方向性

對於原來靜止的整體,當被拋出部分具有速度時,剩餘部分的反衝是相對於拋出部分來說的,兩者運動方向必然相反。在列動量守恆方程時,可任意規定某一部分的運動方向為正方向,則反方向的這一部分的速度就要取負值。

(2) 速度的相對性

反衝運動的問題中,有時遇到的速度是相互作用的兩物體的相對速度。但是動量守恆定律中要求速度是對同一慣性參考系的速度(通常為對地的速度)。因此應先將相對速度轉換成對地的速度,再列動量守恆定律方程。

(3) 變質量問題

在反衝運動中還常遇到變質量物體的運動,如在火箭的運動過程中,隨著燃料的消耗,火箭本身的質量不斷減小,此時必須取火箭本身和在相互作用的短時間內噴出的所有氣體為研究對象,取相互作用的這個過程為研究過程來進行研究。

【典例10】 一火箭噴氣發動機每次噴出m ＝ 200 g 的氣體，氣體離開發動機噴出時的速度v ＝1000 m/s，設火箭質量M ＝ 300 kg，發動機每秒噴氣20次。

(1) 當第三次氣體噴出後，火箭的速度多大？

(2) 運動第1s末，火箭的速度多大？

【典例11】一質量為M的太空飛行器，正以速度v0在太空中飛行，某一時刻太空飛行器接到加速的指令後，發動機瞬間向後噴出一定質量的氣體，氣體噴出時速度大小為v1，加速後太空飛行器的速度大小為v2，則噴出氣體的質量m為( )

【典例12】 一個連同裝備總質量為M=100kg的太空人，在距離飛船x=45m處與飛船處於相對靜止狀態，太空人背著裝有質量為m0=0.5 kg氧氣的貯氣筒。筒上裝有可以使氧氣以v=50 m/s的速度噴出的噴嘴，太空人必須向著返回飛船的相反方向放出氧氣，才能回到飛船，同時又必須保留一部分氧氣供途中呼吸用，太空人的耗氧率為Q=2.5×10-4 kg/s，不考慮噴出氧氣對設備及太空人總質量的影響，則：

(1)瞬時噴出多少氧氣，太空人才能安全返回飛船？

(2)為了使總耗氧量最低，應一次噴出多少氧氣？返回時間又是多少？