數學裡的複數能解決什麼問題（複數的威力解析幾何中不容易處理的一種問題）

2023-04-12 05:53:45

問題

如下圖所示，正方形ABCD，E在AD的延長線上，連接BE，滿足∠ABE=60°，連接CE。M、K分別是CE和BE的中點，連接DK，取DK的中點N。

建立某個平面直角坐標系，使得在該坐標系下，M(1,2)，N(1,1）。

求A點在該平面直角坐標系下的坐標。

解答

題設本身其實不難：圖形比較簡單，涉及到的僅僅是「正方形」、「中點」、「60°特殊角」等這些相當初等的概念。

但問題卻有點刁鑽。

如果反過來，先建立坐標系並已知正方形邊長，比如：已知正方形ABCD是單位正方形，以A為原點，AB為x軸正方向，AD為y軸正方向建立坐標系，那麼求M,N點坐標的問題就十分簡單了，初中生都會做。

那現在對這樣一個問題，應該怎麼做呢？

如果有一點線性代數功底的話，相信對這道題肯定不會一籌莫展。很容易想到如下解題思路：首先以A點為原點，AB為x軸正方向建立坐標系，假設正方形邊長為a。然後求出在這個坐標系下，M和N點的坐標。未知坐標系跟已知坐標系之間其實就差了一個旋轉-平移變換。旋轉變換有一個參數，平移變換有兩個參數，加上正方形的邊長，一個有四個未知參數。而已知M點和N點的橫坐標和縱坐標，共四個參數已知，這樣就可以列四個方程。方程組必有解。解出正方形的邊長、旋轉變換的一個參數和平移變換的兩個參數。然後根據已知坐標系下的A點坐標，再做一個相同的旋轉-平移變換，就得到最終的結果了。

過程相當繁瑣。而且中間涉及到了旋轉變換，旋轉矩陣一定包含了三角函數，這樣方程組就包含了超越方程，雖然可以通過變量代換進行轉化，但解起來也不是那麼容易的。

不妨，我們來通過複數的方法嘗試一下。

之前的文章中說過，複數作為幾何證明的一種方法，其實就是解析幾何中的向量分析。但複數天然地既可視為數，又可視為旋轉拉伸變換，具有良好的運算性質和清晰的幾何意義，所以許多平面幾何的問題，運用複數都可以做出比較簡潔的解答。

我們來看這道題。根據M點和N點的坐標，可知