數學的教材詳解是什麼（大學教材也有出錯的地方）

2023-07-04 07:56:56

老黃的高等數學基本上都是靠自學的，自學的教材是來自上海某928大學出版的《數學分析》教材。當老黃學到函數的凹凸性一節時，就被教材給搞迷糊了。因為按教材所給的定義，y=x^2應該是一個凸函數。但大家應該都知道，y=x^2明明就是一個凹函數，因為由它的二階導數y"=1>0，就可以確定。沒錯，老黃這裡想搞清楚的，就是函數凹凸性的概念。

當老黃第二次看到這個地方的時候，老黃又上網搜索了一下，結果發現，很多大平臺上所給的概念，竟然和老黃自學的教材中所給概念是一致的。看來大家學的都是同一套教材啊。讓老黃意想不到的是，網上那麼多大神，竟然沒有人指出來。想必大家都不敢輕易去質疑權威，那就讓老黃這個「小鬼」充當這個大頭鬼吧。若有不嚴密的地方，歡迎大家批評輕噴！

下面老黃直接給出老黃修改後的概念：

定義：設f為定義在區間I上的函數，若對I上的任意兩點x1, x2和任意實數λ∈(0,1)，總有

f(λx1 (1-λ)x2)≥λf(x1) (1-λ)f(x2),

則稱f為I上的凸函數(又稱為上凸函數).(教材錯為凹函數)

若f(λx1 (1-λ)x2)>λf(x1) (1-λ)f(x2), 則稱f為I上的嚴格凸函數.

若f(λx1 (1-λ)x2)≤λf(x1) (1-λ)f(x2), 則稱f為I上的凹函數(又稱為下凸函數).(教材錯為凹函數)

若f(λx1 (1-λ)x2)<λf(x1) (1-λ)f(x2), 則稱f為I上的嚴格凹函數.

分析：這個概念理解起來的確是有難度的。而我們又有二階導數判定凹凸性的方法，所以對難以理解的概念，肯定就沒有那麼重視，也就懶得去理解它了。

可以看到，不論是凸函數，還是凹函數，都可以稱為凸函數，只是前者是上凸函數，後者是下凸函數。可能正因為如此，才會有很多人把兩個概念給混淆了吧。甚至連928名校出的教材，都難免出錯。

其實只要觀察兩者的圖像，就可以發現其中的端倪：

如上圖，(a)明顯曲線是上凸的，教材卻標明，這是凹函數的圖像；(b)明顯曲線是下凹的，教材卻標明，這是凸函數的圖像。

圖中橫坐標x=λx1 (1-λ)x2，它表示在(x1,x2)之間的任意點. A=f(x1), B=f(x2)，C=λA (1-λ)B=λf(x1) (1-λ)f(x2).

上面不等式左側的式子表示，(x1,x2)之間的任意函數值；右側的式子表示，同自變量x，在過A，B的直線上的函數值。因此，凹、凸函數的概念分別可以理解為：

當(x1,x2)間的任意函數值不小於同自變量x，在過A，B的直線上的函數值時，函數是凸的；當(x1,x2)間的任意函數值不大於同自變量x，在過A，B的直線上的函數值時，函數是凹的。

下面老黃要證明不等式右側的式子表示的，就是同自變量x，在過A，B的直線上的函數值。將問題轉化為數學語言如下：

設f為R上的一次函數，x1, x2是R上的任意兩點，證明：對任意實數λ∈(0,1)總有

f(λx1 (1-λ)x2)=λf(x1) (1-λ)f(x2).

證明：設直線解析式為f(x)=kx b, 則

f(λx1 (1-λ)x2)=k(λx1 (1-λ)x2) b=λkx1 (1-λ)kx2 λb-λb b=λ(kx1 b) (1-λ)kx2 (1-λ)b

=λ(kx1 b) (1-λ)(kx2 b)=λf(x1) (1-λ)f(x2).

這也告訴了我們：一次函數既是凸函數也是凹函數，但都不嚴格。

最後，老黃利用定義分析f(x)=x^2的凹凸性。從而證明老黃所給的概念才是正確的。

解：在R上任取兩個實數x1, x2, 並取λ∈(0,1)，則

當x1=0時, f(λx1 (1-λ)x2)=(1-λ)^2x2^2<(1-λ)x2^2=λf(x1) (1-λ)f(x2). 當x2=0時, 同理得證！

當x1x2≠0時,

f(λx1 (1-λ)x2)=(λx1 (1-λ)x2)^2=λ^2x1^2 (1-λ)^2x2^2 2λ(1-λ)x1x2,

若x1, x2異號, f(λx1 (1-λ)x2)<λx1^2 (1-λ)x2^2=λf(x1) (1-λ)f(x2).

若x1, x2同號,

f(λx1 (1-λ)x2)<(λ^2 λ-λ^2)x1^2 (1-2λ λ^2 λ-λ^2)x2^2

=λx1^2 (1-λ)x2^2=λf(x1) (1-λ)f(x2).

綜上，f(x)=x^2是凹函數.

如果您覺得老黃說得對，衷心希望您能把這篇文章頂起來，實在不能讓錯誤的數學概念，在到處大行其道了。當然，老黃還是要感謝該名校出版的這兩冊《數學分析》的教材的，因為它們讓老黃學到了非常多的高等數學知識，謝謝了！