斷裂韌性測量指標（測繪學報卞鴻巍）

2023-05-30 04:37:03 2

本文內容來源於《測繪學報》2022年第9期（審圖號GS京（2022）0824號）

慣導極區模擬測試船用IMU轉換修正誤差公式簡化與分析

卞鴻巍

海軍工程大學電氣工程學院, 湖北 武漢 430033

基金項目：國家自然科學基金(41876222)

摘要：在中低緯度檢驗慣性導航極區性能的模擬測試系統中, 基準誤差造成的IMU轉換修正誤差是影響模擬測試精度的重要因素, 本文討論分析了其簡化計算方法。採用轉移前後地球球體模型下橫向坐標系導航參數不變的基準軌跡轉移原則, 首先簡述了模擬測試方法及IMU轉換公式; 其次, 研究了IMU轉換修正誤差的計算方法, 相比完整計算公式給出了適合船用的近似計算公式, 並對其中的係數、各分量的量級及變化形式進行分析; 最後, 利用實測航次的導航參數, 對比驗證了公式計算的正確性。簡化公式最大計算誤差約為10%, 可滿足後續模擬測試中IMU誤差的分析要求。

關鍵詞：慣性導航 極區導航 橫向坐標系 模擬測試 IMU 誤差分析

引文格式：卞鴻巍, 文者, 馬恆, 等. 慣導極區模擬測試船用IMU轉換修正誤差公式簡化與分析[J]. 測繪學報，2022，51(9)：1890-1898. DOI: 10.11947/j.AGCS.2022.20210239

BIAN Hongwei, WEN Zhe, MA Heng, et al. Simplification and analysis of IMU conversion error formula for inertial navigation polar simulation test[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2022, 51(9): 1890-1898. DOI: 10.11947/j.AGCS.2022.20210239

閱讀全文：http://xb.chinasmp.com/article/2022/1001-1595/20220906.htm

有關資料表明，隨著全球變暖，未來25~30年，北冰洋海冰將在夏季完全消失，北極航行將逐漸成為常態，其航運價值、能源價值、軍事價值等日益凸顯，北極地區將成為大國競爭熱點，對於北極的研究和開發利用的意義和作用十分重要[1-3]。極區地圖投影測繪、航線規劃等技術發展迅速[4-5]，也促進了極區導航的發展。慣性導航設備作為一種重要的自主導航設備，在極區工作時為克服重力矢量與地球自轉矢量方向趨於重合造成慣導陀螺羅經效應喪失的原理性問題，需要設計特殊的極區控制編排計算導航參數，即建立極區工作模式。目前慣導系統採取的極區編排和算法主要有格網導航方法[6-9]、橫嚮導航方法[10-13]、平面坐標導航法等[14-16]，極區編排與傳統慣導編排相比，導航性能、精度上均有差異[17]，因此，應當對慣導極區工作性能進行檢驗。常規慣性導航設備的性能驗證主要依賴於實船測試，但對於地理位置相對遠離極區的國家，極區海上試驗存在周期長、成本高、受自然條件限制大等實際困難而難以實施，因此研究在中低緯度地區模擬極地地區對慣導極區性能進行測試十分必要。簡言之，基於中低緯度被試慣導與參考基準的試驗數據，採用一定方法推算評估被試慣導在極區採取相似運行軌跡和機動狀態將表現出的精度性能，本文將此項技術稱為慣導極區中低緯模擬測試技術(簡稱慣導極區模擬測試)。

慣導極區模擬測試技術早期集中在虛擬極區技術研究方面，主要通過中低緯度實測航次進行慣導極區算法驗證。如在地球表面選擇虛擬極點，重構了地球經緯網，進行遊移方位編排的慣導解算[18-19]，但實際上仍採用實測的IMU數據，無法模擬極區真實的慣性環境；或者採取兩次旋轉地球坐標系的軌跡轉移方法，但由於地球近似為橢球體，無法解決地表軌跡的變形問題[20]。

關於慣導極區模擬測試中參考基準的獲得與測試體系的構建，軌跡轉移中通常採用基於橫向坐標系姿態、速度不變的原則，文獻[21]利用基準速度遞推方法構建極區基準軌跡，解決了地表曲率不同造成軌跡變形的問題，並給出了極區模擬IMU的計算方法。文獻[22]採用虛擬圓球法[23]進行極區軌跡基準的更新運算，並詳細分析了模擬測試中各轉換公式。文獻[24]對慣導極區中低緯模擬測試系統做了結構的闡述，並驗證了在理想的參考基準下，極區模擬慣導系統的性能與極區實地測試相當。

在測試過程中，需要一套測試基準系統為待測慣導提供基準參考信息。根據慣導的極區中低緯模擬測試原理，基於慣導系統實際輸出的IMU數據的極區模擬生成需要使用測試參考基準測得的導航參數，因此在高精度慣導極區模擬測試中，參考基準的誤差會成為影響模擬測試精度評估的關鍵因素之一。因此需要推導建立參考基準誤差對極區模擬IMU數據生成的誤差影響表示模型。基於這一模型，分別將不同基準誤差影響變量代入IMU轉換修正公式，最終可以得到相應總的IMU轉換修正誤差，進而分析極區模擬IMU輸出下的系統誤差與計算控制問題，為慣導極區模擬測試提供誤差理論分析依據。但由於上述推導過程複雜，所得到的IMU轉換修正誤差計算公式項數眾多且形式複雜，不便於工程應用。本文對其進行合理化簡化，進一步推導得到極區模擬測試IMU轉換修正誤差的近似計算公式，公式形式明顯簡化。通過對簡化前後極區IMU誤差公式的仿真對比試驗，相對誤差在10%以內，驗證了公式的有效性。使之對實際測試工作的指導性更強。

1.1 極區模擬測試IMU數據轉換計算公式

目前，基於橢球橫向坐標系推算和基於虛擬圓球法在內的模擬基準軌跡轉移技術相繼提出，但由於極區慣導在一定時間內橢球與球體模型導航區別不大[25]，為簡化分析，本文採用基於橫向坐標系導航參數相對不變的地球球體模型模擬測試方法進行測試和誤差分析。

假設附有基準系統的載體在中低緯度搭載待測試捷聯慣導正在運動(可自定義橫向坐標系使軌跡位於其橫向赤道附近)，測試基準的軌跡導航參數投影至橫向地理坐標系(t系)表示為：橫向緯度與經度φt、λt，橫向速度vt，橫向姿態餘弦矩陣Cbt。將實測地區基準軌跡沿地表橫向緯線向極區轉動角度Λ得到模擬地區的基準軌跡，則模擬地區基準軌跡記為(φmt,λmt)，其與(φt,λt)的關係為

(1)

圖 1直觀地展示了軌跡轉移過程，圖中黑粗線表示橫向經線、紅線表示地理經線、綠線表示軌跡，圖中實測軌跡穿過的紅線表示所構建的橫向坐標系的赤道。基準軌跡可在保持與橫向赤道相對位置不變(橫向緯度不變)的前提下轉到傳統極區，得到模擬基準軌跡。

圖 1 軌跡轉移Fig. 1 Trajectory transfer

圖選項

tm表示模擬測試地區橫向地理坐標系，bm表示模擬測試地區載體坐標系，b表示實測地區載體坐標系。在實測地區和模擬地區同時列出橫向坐標系下的速度更新方程和姿態更新方程，並利用軌跡轉移前後橫向坐標系姿態、速度不變的轉移原則，可以得到實測地區IMU加速度計、陀螺輸出數據fibb、ωibb與模擬極區加速度計、陀螺數據fibmbm、ωibmbm的轉換關係

(2)

式中，i為慣性坐標系，形如Aαβr的變量是對矢量的規範化表達符號，表示β系相對於α系的矢量A在r系中的投影坐標。文中公式類似形式的變量含義同此。dfb、dωb分別表示IMU中加速度計和陀螺儀在模擬測試中的轉換修正量，計算公式為

(3)

式中，e表示地心地固坐標系(earth centered earth fixed, ECEF)，簡稱地球坐標系。Ctb表示實測地區的橫向地理坐標系(t系)相對於載體坐標系(b系)的姿態轉移矩陣。vt是橫向速度矢量。gt、gtm表示實測地區與模擬地區的重力矢量。式(3)中變量計算所需的導航參數信息均由陪測基準設備提供，因此若基準設備存在誤差，會導致轉換修正量的計算出現誤差，為定量研究轉換修正誤差，需要構建基準誤差模型進行IMU轉換修正誤差的表示。

1.2 極區模擬測試IMU數據轉換修正誤差計算公式

為方便表述，首先統一基準誤差的表示形式。

測試基準可由多類系統提供，其輸出的各基準導航參數誤差關係複雜，如INS/GNSS組合導航系統等。本文不考慮基準導航參數間的各種耦合關係，採取的基準位置誤差、速度誤差、姿態誤差表達形式如下

(4)

式中，附有「~」的變量表示基準設備提供的測量值，存在誤差；附有「Δ」的變量表示誤差值，即測量值與真值之差；p=[φ,λ]T表示位置，v=[vE,vN, 0]T表示速度，由於航海應用的特殊性，位置及速度均不考慮天向分量；Φ=[ϕE,ϕN,ϕU]T表示姿態失準角誤差；Φ×表示其反對稱矩陣；n表示導航坐標系，此處通常選用地理坐標系。各個導航參數也可在橫向地理坐標系中表示，其表達方式相似，此處不再贅述。

關於基準誤差對IMU轉換修正誤差公式中各個變量的影響討論如下：

(1) 基準定位誤差。基準定位誤差常為數米以內或更小(如採用GNSS作為位置基準)，對於位置矩陣等變量，其造成的偏差角度決定角精度「Δp/R(R為地球半徑)」的大小，普遍優於角秒級，根據現有基準設備精度，定位相對精度顯著高於姿態基準、速度基準測量精度，因此基準定位誤差對IMU轉換修正誤差公式的影響可忽略不計。

(2) 基準速度誤差。基準速度誤差主要影響的變量有ωete、ωetme，變量計算方式參考文獻[10]，基準橫向速度誤差(橫北向速度誤差ΔvtNt、橫東向速度誤差ΔvtEt)對其計算造成誤差，其作用公式為

(5)

考慮基準速度誤差造成ωett-ωetmtm的計算誤差，代入相關變量表達式後化簡發現，此變量組合不受基準速度誤差的影響，即

(6)

(3) 基準姿態誤差。對於基準姿態誤差對變量Cbt的影響，根據式(4)，可以推知其計算模型，其中Φt=[ϕtEt,ϕtNt,ϕtUt]T為橫向地理坐標系下的姿態失準角誤差

(7)

(4) 重力變量誤差。對於重力變量，計算中採用一般重力的達朗貝爾方程即可，因基準位置誤差對一般重力的計算影響很小，可不考慮重力計算誤差。

根據基準誤差分析結果，可得加速度計、陀螺儀轉換修正量的計算模型為

(8)

將存在誤差的計算量表示為理論值和偏差值相加，將式(8)與式(6)聯立解算，可發現模擬IMU中陀螺儀轉換修正誤差不受基準速度誤差的影響。將式(8)展開後忽略二階以上小量可得IMU轉換修正誤差計算公式

(9)

(10)

式中，Δ(dfb)、Δ(dωb)為IMU轉換修正誤差，其中

(11)

式中，gt、gtm分別表示測試地區和模擬地區一般重力加速度的大小。

2.1 IMU轉換修正誤差的簡化計算方法

根據式(9)、式(10)，代入相關變量可得到基準誤差表示的IMU轉換修正誤差的完整展開式，稱之為IMU轉換修正誤差的完整計算公式(本文簡稱「完整公式」)，該公式十分複雜，不便於對IMU轉換修正誤差進行計算和分析。基於上述考慮，本文通過分析認為，由於航海是在北極地區最主要的活動方式，可適當利用航海船舶的工作特點，在符合精度要求的前提下將IMU轉換修正誤差公式再次進行簡化。

簡化思路如下：考慮到船舶運行特點，即船舶的水平姿態角較小，且常為周期振蕩的變化形式，易於正負相抵，因此考慮從姿態的縱橫搖著手簡化公式，置sin θ、sinγ為0，cosθ、cosγ為1(也可視為變量Cbt僅由一次橫航向旋轉所得)，此時IMU轉換修正誤差公式表示為

(12)

(13)

式(12)、式(13)稱為船用IMU轉換修正誤差簡化計算公式(簡稱「簡化公式」或「近似公式」)，式中ωie表示地球自轉角速度，ψt表示橫航向角，A、B代表

(14)

為體現單個基準誤差變量對IMU轉換修正誤差的作用，可將IMU轉換修正誤差公式表達為

(15)

(16)

式中，FVEt、FϕEt、ΩϕEt等稱為IMU轉換誤差係數。係數的符號含義如下：F或Ω區分該係數屬於加速度計轉換誤差係數還是陀螺儀轉換誤差係數；V或ϕ區分該係數是對應基準速度誤差的係數還是基準姿態誤差的係數；E、N、U區分該係數由東向、北向或天向哪一軸向的誤差引起的；t為係數僅在橫向地理坐標系表示各個誤差量時才適用。完整計算公式也可分解為這種形式，因過於複雜，在此不列寫。對簡化公式，參照式(12)、式(13)給出各個IMU轉換誤差係數

(17)

(18)

2.2 IMU轉換誤差公式中的矢量關係

簡化公式中不再含有水平姿態角變量，僅含有橫航向角ψt這一基準姿態參數。繼續分析公式還可得到航向矢量與基準誤差矢量之間的作用關係。圖 2為橫向坐標系下航向矢量，其中，Nt為橫北向，Et為橫東向，Ht為橫航向矢量。

圖 2 橫向坐標系下航向矢量Fig. 2 Heading vector in transverse coordinate system

圖選項

由圖 2可知，航向向量Ht在橫向地理坐標系的坐標為

(19)

可重寫式(12)、式(13)以直觀反映水平部分基準誤差與航向之間的關係

(20)

(21)

式中，Δvt=[ΔvtEt, ΔvtNt, 0]；ΦPt表示橫向姿態失準角誤差的水平部分。

(22)

公式還可以標量和夾角的形式表示，其中向量夾角中的變量不需關注投影到何種坐標系，此外注意到模擬測試地區在所構建的橫向坐標系赤道附近，橫航向角與傳統航向角相差約90°，則也可用相關變量的傳統地理坐標系表示IMU轉換修正誤差的簡化計算公式，直觀反映基準誤差矢量與航向之間的關係

(23)

(24)

式中，ϕP、ϕU均表示相關矢量的模值。

2.3 IMU轉換誤差係數的量級與變化形式分析

本節結合式(23)、式(24)，對簡化的IMU轉換誤差係數的量級與變化形式進行分析。

首先分析A、B，它們是IMU轉換修正誤差公式中的重要係數。假設中低緯度試驗地區緯度範圍在0°~45°，測試航線經度、緯度跨度均小於15°，可以計算出變量A、B的值域，在Λ固定的前提下，這兩個變量關於λt單調遞減，且有以下關係

(25)

表 1給出了緯度跨度為±7.5°時不同中心緯度的測試區域下變量A、B的取值範圍。此外，在同一中心緯度的測試中，變量A、B可視為隨載體所在緯度線性變化，在使用簡化公式計算誤差時，可認為A、B在測試中取常值。

表 1 測試緯度跨度為15°時變量A、B的取值範圍Tab. 1 Value range of variablesAandBwhen the test latitude span is 15°

表選項

假設載體航速最大25節(約13 m/s)。估計各IMU轉換誤差係數的變化特徵如下。

(1) 從量級來看，式(17)、式(18)中FVEt、FVNt的第一、二分量最大幅值均為2Aωie；FϕEt、FϕNt的第一、二分量最大幅值為gtm-gt；FϕUt各分量在簡化公式中均為0；ΩϕEt、ΩϕNt的第一、二分量最大幅值為Aωie；ΩϕUt的第一、二分量最大幅值為Bωie；FVNt、ΩϕNt的第三分量為近似常值2Bωie和-Bωie，其餘係數的第三分量均為零。

(2) 從變化形式上來看，除FϕUt為零外，其餘IMU轉換誤差係數第一、二分量均受航向的影響，取值在正負最大幅值之間變化，所有IMU轉換誤差係數第三分量取值都較恆定。

為檢驗模擬測試中IMU轉換修正誤差計算公式推導和分析的正確性，設計了試驗，內容如下：

(1) 實測航次的IMU轉換誤差係數計算試驗。提取某船舶一段實測航次的航跡、速度、姿態信息，分別代入IMU誤差計算完整公式和簡化公式的IMU轉換誤差係數表達式，驗證簡化的IMU轉換誤差係數表達式與完整的IMU轉換誤差係數表達式計算結果是否相近，簡化的IMU轉換誤差係數量級和表現形式是否與理論分析一致。

(2) IMU轉換誤差計算公式準確性驗證試驗。將提供的實測航次的航跡、速度、姿態信息視為理想的無誤差導航參數，人工設置測試基準存在常值誤差，分別利用完整公式與簡化公式計算IMU的轉換修正誤差，並與理論真值比較，得出完整公式、簡化公式計算方法的誤差，並判斷其是否處於可接受範圍。

3.1 實測航次的IMU轉換誤差係數驗算

選取某船舶在中低緯度的實際航次，數據時長約11.6 h，裝載的組合導航系統等設備給出了其運行軌跡、速度、姿態等基本導航參數，如圖 3所示。

圖 3 實測數據基本信息Fig. 3 Basic information of testing data

圖選項

為把軌跡轉移至橫向赤道附近，將122.9°E經線定義為橫向坐標系赤道，並設Λ=1.029(約58.96°)。將實測參數轉移至橫向坐標系表示，分別採用完整誤差公式、誤差簡化計算公式(式(17)、式(18))，採用軌跡中心橫向經度估算變量A、B對軌跡進行IMU轉換誤差係數的計算。

由完整誤差公式和船用簡化公式計算IMU轉換誤差係數計算結果如圖 4、圖 5所示。(圖中曲線顏色紅、綠、藍分別代表所繪矢量的第一、二、三分量。)

圖 4 實測數據IMU轉換誤差係數(加速度計部分)Fig. 4 IMU conversion error coefficient of testing data (accelerometer part)

圖選項

圖 5 實測數據IMU轉換誤差係數(陀螺儀部分)Fig. 5 IMU conversion error coefficient of testing data (gyroscope part)

圖選項

由圖 4、圖 5可知，試驗結果與理論相符；對比完整公式計算結果與簡化公式計算結果發現兩者圖形大致相似，簡化公式忽略了水平姿態角信息，因此沒有受到載體高頻搖晃的影響，圖像顯得較平直。

3.2 不同計算公式對IMU轉換修正誤差計算的準確性檢驗

仍採用上節的實測導航參數，並假定其為理想基準數據。圖 6繪製了人為疊加姿態橫縱搖、橫橫搖、橫航向誤差常值分別為1′、1′、3′時，速度誤差常值橫東向為0.1 m/s、橫北向為-0.1 m/s時，位置誤差常值為東5 m、北5 m時，由定義法計算的IMU轉換修正誤差理論值(即使用式(3)分別代入理想值與疊加誤差值並相減的結果，採用橢球模型參數)。

圖 6 實測數據IMU轉換修正誤差理論值Fig. 6 Theoretical value of IMU conversion correction error of testing data

圖選項

由圖 6可知，實測數據的IMU轉換修正誤差量級：加速度計最大約為2×10-5，陀螺儀最大不到10-7。

使用完整誤差公式、簡化公式計算IMU轉換修正誤差，其結果與理論值相當，為具體分析這些公式的計算精度，圖 7繪製了完整誤差公式計算的IMU轉換修正誤差與定義法計算的理論值(圖 6數據)相減、簡化計算公式計算的IMU轉換修正誤差與定義法計算的理論值相減的結果，以檢查這些公式的準確程度。

圖 7 公式計算IMU轉換修正誤差的偏差Fig. 7 The error of IMU conversion correction error by formula

圖選項

由圖 7可知，使用完整公式計算的結果與理論值的偏差：加速度計為10-8，陀螺儀為10-11，最大誤差小於1‰。使用簡化公式計算結果與理論值的偏差：加速度計為10-6，陀螺儀不到10-8，最大誤差約為1/10。根據誤差分析中的微小誤差取捨原則，誤差計算產生1/10的偏差不影響後續測試系統的分析。

初步分析可知，完整公式的誤差主要來源為地球模型和位置誤差，簡化公式的誤差主要來源為忽略的水平姿態信息。

本文對於慣導極區中低緯模擬測試中測試基準誤差影響模擬IMU的情況，作進一步定量分析，特別是針對船用慣導工作條件的特殊性，給出一套對IMU轉換修正誤差計算的簡化方法(式(12)、式(13)或式(23)、式(24))，在一定條件下解決了IMU轉換修正誤差公式複雜、計算困難的問題，還揭示出了基準誤差矢量與航向矢量之間的作用關係。簡化計算公式形式簡單，最大計算誤差約為10%，滿足微小誤差可忽略的原則，後續可應用於慣導極區模擬測試中基準選取問題，為系統測試能力評估等研究提供了有效的理論支持。

作者簡介

第一作者簡介：卞鴻巍(1972—), 男, 博士, 教授, 主要研究方向為慣性技術、信息融合。E-mail: [email protected]

通信作者：文者, E-mail: [email protected]

初審：張豔玲

覆審：宋啟凡

終審：金 君

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