高中數學第二章不等式和不等式組（必修第一冊-第二章-2.1第二課時等式性質與不等式性質）

2023-05-26 13:36:18

高中數學第二章不等式和不等式組?第2課時　等式性質與不等式性質，接下來我們就來聊聊關於高中數學第二章不等式和不等式組?以下內容大家不妨參考一二希望能幫到您!

高中數學第二章不等式和不等式組

第2課時　等式性質與不等式性質

1．等式的性質

(1) 性質1 如果a＝b，那麼b＝a；

(2) 性質2 如果a＝b，b＝c，那麼a＝c；

(3) 性質3 如果a＝b，那麼a±c＝b±c；

(4) 性質4 如果a＝b，那麼ac＝bc；

(5) 性質5 如果a＝b，c≠0，那麼＝.

2．不等式的基本性質

(1)對稱性：a＞b⇔b＜a.

(2)傳遞性：a＞b，b＞c⇒a＞c.

(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.

(5)加法法則：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.

(6)乘法法則：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.

(7)乘方法則：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．

1．若a＞b，c＞d，則下列不等關係中不一定成立的是(　　)

A．a－b＞d－c　　 B．a＋d＞b＋c

C．a－c＞b－c D．a－c＜a－d

B　[根據不等式的性質．]

2．與a>b等價的不等式是(　　)

A．|a|>|b| B．a2>b2

C.>1 D．a3>b3

D　[可利用賦值法．令a＝－5，b＝0，則A、B正確而不滿足a>b.再令a＝－3，b＝－1，則C正確而不滿足a>b，故選D.]

3．設x<a<0，則下列不等式一定成立的是(　　)

A．x2<axax>a2

C．x2<a2a2>ax

B　[∵x<aa2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.]

利用不等式性質判斷命題真假

【例1】　對於實數a，b，c下列命題中的真命題是(　　)

A．若a＞b，則ac2＞bc2

B．若a＞b＞0，則＞

C．若a＜b＜0，則＞

D．若a＞b，＞，則a＞0，b＜0

[思路點撥]　本題可以利用不等式的性質直接判斷命題的真假，也可以採用特殊值法判斷．

D　[法一：∵c2≥0，∴c＝0時，

有ac2＝bc2，故A為假命題；

由a＞b＞0，有ab＞0⇒＞⇒＞，

故B為假命題；

⇒＞，

故C為假命題；

ab＜0.

∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D為真命題．

法二：特殊值排除法．

取c＝0，則ac2＝bc2，故A錯．

取a＝2，b＝1，則＝，＝1.

有＜，故B錯．取a＝－2，b＝－1，

則＝，＝2，有＜，故C錯．]

運用不等式的性質判斷時，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能憑想當然隨意捏造性質.解有關不等式選擇題時，也可採用特殊值法進行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便於驗證計算.

1．下列命題正確的是(　　)

A．若a2＞b2，則a＞b

B．若＞，則a＜b

C．若ac＞bc，則a＞b

D．若＜，則a＜b

D　[A錯，例如(－3)2＞22；B錯，例如＞；C錯，例如當c＝－2，a＝－3，b＝2時，有ac＞bc，但a＜b.]

利用不等式性質證明簡單不等式

【例2】　若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求證：＞.

[思路點撥]　可結合不等式的基本性質，分析所證不等式的結構，有理有據地導出證明結果．

[證明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.

又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.

∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.

兩邊同乘以，

得＜.

又e＜0，∴＞.

本例條件不變的情況下，求證：＞.

[證明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.

∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，

∴0＜＜，

又∵e＜0，∴＞.

利用不等式的性質證明不等式注意事項

(1)利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎上，記準、記熟不等式的性質並注意在解題中靈活準確地加以應用.

(2)應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式的性質成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則.

2．已知a>b，e>f，c>0，求證：f－acb，c>0，∴ac>bc.

又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，

∴e－bc>f－ac，∴f－ac<e－bc.

不等式性質的應用

[探究問題]

1．小明同學做題時進行如下變形：

∵2<b<3，

∴<<，

又∵－6<a<8，

∴－2<<4.

你認為正確嗎？為什麼？

提示：不正確．因為不等式兩邊同乘以一個正數，不等號的方向不變，但同乘以一個負數，不等號方向改變，在本題中只知道－6<a<8.不明確a值的正負．故不能將<<與－6<a<8兩邊分別相乘，只有兩邊都是正數的同向不等式才能分別相乘．

2．由－6<a<8，－4<b<2，兩邊分別相減得－2<a－b<6，你認為正確嗎？

提示：不正確．因為同向不等式具有可加性．但不能相減，解題時要充分利用條件，運用不等式的性質進行等價變形，而不可隨意「創造」性質．

3．你知道下面的推理、變形錯在哪兒嗎？

∵2<a－b<4，

∴－4<b－a<－2.

又∵－2<a＋b<2，

∴0<a<3，－3<b<0，

∴－3<a＋b<3.

這怎麼與－2<a＋b<2矛盾了呢？

提示：利用幾個不等式的範圍來確定某不等式的範圍要注意：同向不等式兩邊可以相加(相乘)，這種轉化不是等價變形．本題中將2<a－b<4與－2<a＋b<2兩邊相加得0<a<3，又將－4<b－a<－2與－2<a＋b<2兩邊相加得出－3<b<0，又將該式與0<a<3兩邊相加得出－3<a＋bb，則ac>bc一定成立．(　　)

(2)若a＋c>b＋d，則a>b，c>d.(　　)

[提示]　(1)錯誤．由不等式的可乘性知，當不等式兩端同乘以一個正數時，不等號方向不變，因此若a>b，則ac>bc不一定成立．

(2)錯誤．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.滿足a＋c>b＋d，但不滿足a>b.

[答案]　(1)×　(2)×

2．如果a＞b＞0，c＞d＞0，則下列不等式中不正確的是(　　)

A．a－d＞b－c　　　 B．－＜－

C．a＋d＞b＋c D．ac＞bd

C　[由已知及不等式的性質可得a＋c＞b＋d，

即a－d＞b－c，所以A正確；

由c＞d＞0，得＞＞0.

又a＞b＞0，所以＞，－＜－即B正確；

顯然D正確，因此不正確的選項是C.]

3．若－1＜α＜β＜1，則下列各式中恆成立的是(　　)

A．－2＜α－β＜0 B．－2＜α－β＜－1

C．－1＜α－β＜0 D．－1＜α－β＜1

A　[由－1＜α＜1，－1＜β＜1，

得－1＜－β＜1.

∴－2＜α－β＜2，但α＜β.

故知－2＜α－β＜0.]

4．若bc－ad≥0，bd>0.求證：≤.

[證明]　因為bc－ad≥0，所以ad≤bc，

因為bd>0，所以≤，所以＋1≤＋1，所以≤.