錯誤的素數分布規律（素數分布之道qer詮釋素數分布）

2023-09-23 02:38:46 2

錯誤的素數分布規律?素數分布之道(原創彭秋年)內容簡介：㈠創建能量參照法生成素數分布新論；㈡論各種奇素數組合的分布；㈢論偶數u的素數分解對的分布；㈣論冪函數中的素數分布；㈤論梅森素數的分布.，我來為大家講解一下關於錯誤的素數分布規律?跟著小編一起來看一看吧!

錯誤的素數分布規律

素數分布之道(原創彭秋年)

內容簡介：㈠創建能量參照法生成素數分布新論；㈡論各種奇素數組合的分布；㈢論偶數u的素數分解對的分布；㈣論冪函數中的素數分布；㈤論梅森素數的分布.

關鍵詞：能量參照法、素數分布新論.

㈠、創建能量參照法生成素數分布新論.

首先陳述素數定理：如果以q表示自然數s以內的素數數量，則q=s/㏑s.

(s較小時,用㏑s-1.08代替㏑s計算更精確)

當s足夠大時，顯然滿足：

(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.

如果集合X是集合N(N=全體自然數)的子集.

且令：s以內集合X中大於2的元素依次是x₁，x₂…xₙ；定義s以內集合X中元素的能量和為e=1/㏑x₁ 1/㏑x₂… 1/㏑xₙ.

則有：s以內集合N中元素的能量和e、素數數量q均接近於s/㏑s，即q=e=s/㏑s.

以集合X={x|x=3a 1,(a∈N)}為例展開論述.

且令：集合X、N中與pᵢ互素的元素的分布比例分別為yᵢ、zᵢ. (i∈N,p₀=2,i>0時,pᵢ表示第i個奇素數)

則有：i=1時，y₁=1，z₁=2/3；

i≠1時，yᵢ=zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；

集合X、N中與p₀p₁…pᵢ互素的元素的分布比例分別為y₀y₁…yᵢ、z₀z₁…zᵢ.

且令：rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

則有：r₀=1；i>0時，rᵢ=1/(2/3)=3/2.

分析：s以內集合X中的元素相對於集合N中的元素，它們成為素數的能力強度其參照值是r=3/2；簡述為集合X存在參照常數r=3/2.

且令：s以內集合X中元素的能量和為e.

則有：e=s/(3㏑s).

分析：s以內集合X中的素數數量q等於能量和e與參照常數r之積，即q=er=s/(2㏑s).

以此類推

且令：P={全體素數}；

X={x|x=pa y,(a∈N)}.

(p∈P；y=1,2…p-1)

則有：p、y確定時，s以內集合X中素數數量分布的計算公式是q=er=s/[(p-1)㏑s].

且令：P₀=P∩X.

則有：s以內集合P₀、P中元素數量分布之比為1/(p-1).

定義：使用能量和e與參照值r的概念對素數分布進行分析探討的方法稱為能量參照法.

素數定理與能量參照法結合為素數分布新論.

如果集合X是集合N(N=全體自然數)的子集；集合X中與pᵢ、p₀p₁…pᵢ互素的元素的分布比例分別為yᵢ、y₀y₁…yᵢ. (i∈N)

且令：zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

如果存在n使得：i＞n，所有的rᵢ都接近於r；則稱集合X存在參照常數r.

且令：s以內集合X中元素的能量和為e，素數元素的數量為q. (s足夠大)

則有：q=er.

㈡、論各種奇素數組合的分布.

①、將奇素數組合分為兩種類型.

類型一、非動態素數鏈.

如果序列U={u₁，u₁ u₂，… u₁ u₂… uₙ}中的元素除以某個奇素數p，所得互異的正整數餘數為1,2…p-1.

(uᵢ為正偶數,i=1,2…n)

且令：序列A={a，a u₁，a u₁ u₂，… a u₁ u₂… uₙ}. (a為奇素數)

則有：序列A中至少有一個數能夠被p整除.

當序列A中的元素均為素數時，則稱其為加u₁加u₂…加uₙ型素數鏈(或非動態素數鏈).

序列A中的元素包含p時才有可能均為素數，使得序列A能夠包含p的a值數量有限.

因此，任一型號的非動態素數鏈數量有限.

類型二、動態素數鏈.

如果序列U={u₁，u₁ u₂，… u₁ u₂… uₙ}中的元素除以任意的素數p，所得互異的正整數餘數的數量少於p-1個.

(uᵢ為正偶數,i=1,2…n)

且令：序列A={a，a u₁，a u₁ u₂，… a u₁ u₂… uₙ}. (a為奇素數)

當序列A中的元素均為素數時，則稱其為加u₁加u₂…加uₙ型素數鏈(或動態素數鏈).

且令：a，a a₁，a a₂，…a aₙ₋₁均為素數. (2≤n＜a，2≤a₁＜a₂…＜aₙ₋₁)

則有：a₁，a₂，…aₙ₋₁除以任意的素數p，所得互異的正整數餘數的數量少於p-1個.

故a，a a₁，a a₂，…a aₙ₋₁是動態素數鏈.

由此可知：任意n(n≥2)個互異且大於n的奇素數均可組成一條長度為n的動態素數鏈，幾乎所有的奇素數組合都屬於動態素數鏈.

②、以序列A={5,7,11,13}為例展開論述.

序列A={5,7,11,13}中相鄰素數的間距依次是u₁=2，u₂=4，u₃=2.

且令：P={全體素數}；

Qᵢ={x|x=a-2i,(a∈P)}. (i=1,2,3,4)

且令：Rᵢ=P∩Qᵢ；S₁=R₁∩R₃；

S₂=R₂∩R₃；S₃=R₁∩R₄；

S₄=R₃∩R₄；T=R₁∩R₃∩R₄.

則有：R₁={3,5,11…}；R₂={3,7,13…}；

R₃={5,7,11…}；R₄={3,5,11…}；

S₁={5,11,17…}；S₂={7,13,37…}；

S₃={3,5,11…}；S₄={5,11,23…}；

T={5,11,101…}.

[集合Rᵢ(i=1,2,3,4)分別由全體加2i型素數鏈的第一個元素組成；集合S₁、S₂、S₃、S₄分別由全體加2加4、加4加2、加2加6、加6加2型素數鏈的第一個元素組成；集合T由全體加2加4加2型素數鏈的第一個元素組成]

已知：s以內素數的分布密度是1/㏑s.

因此，s以內集合Qᵢ(i=1,2,3,4)中元素的分布密度同樣是1/㏑s.

又(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.

因此，s以內集合Qᵢ(i=1,2,3,4)中元素的能量和為e=(s/㏑s)(1/㏑s)=s/㏑²s.

已知集合Q₁={x|x=a-2,(a∈P)}={0,1,3…}.

且令：集合Q₁中與pᵢ互素的元素的分布比例為yᵢ. (i∈N)

則有：y₀=1；i>0時，yᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1).

且令：zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

則，

rᵢ={(1/2)(3/4)(5/6)…[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)]}/{(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)…[(pᵢ-1)/pᵢ]}可化為式B與式B'如下：

式B、

rᵢ=[(3/4)(3/2)][(5/6)(5/4)]…{[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)][p₍ᵢ₋₁₎/(p₍ᵢ₋₁₎-1)]}[pᵢ/(pᵢ-1)].

式B'、

rᵢ=(3/2)[(3/4)(5/4)][(5/6)(7/6)]…{[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)][pᵢ/(pᵢ-1)]}.

式B中 pᵢ/(pᵢ-1)＞1；

[(pₘ-2)/(pₘ-1)][pₘ₋₁/(pₘ₋₁-1)]＞1.

(m=2,3…i)

因此，

rᵢ＞[(3/4)(3/2)][(5/6)(5/4)]…{[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)][p₍ᵢ₋₁₎/(p₍ᵢ₋₁₎-1)]}.

式B'中 [(pₘ-2)/(pₘ-1)][pₘ/(pₘ-1)]＜1.

(m=2,3…i)

因此，rᵢ＜(3/2)[(3/4)(5/4)][(5/6)(7/6)]…{[(p₍ᵢ₋₁₎-2)/(p₍ᵢ₋₁₎-1)][p₍ᵢ₋₁₎/(p₍ᵢ₋₁₎-1)]}.

經計算，rᵢ=2,1.5,1.406,1.367,1.354…

當i=253時，1.3196＜rᵢ＜1.3204；

隨著i的不斷增大，rᵢ→1.3203236…

因此，rᵢ→1.320(精確到千分位).

即，集合Q₁存在參照常數r=1.32.

因此，s以內集合Q₁中素數數量分布的計算公式是q=er=1.32s/㏑²s.

同理可證：集合Q₂，Q₃，Q₄的參照常數依次是1.32，2.64，1.32.

因此，s以內加u(u=2,4,6,8)型素數鏈[集合Rᵢ(i=1,2,3,4)中元素]數量分布的計算公式依次是1.32s/㏑²s，1.32s/㏑²s，2.64s/㏑²s，1.32s/㏑²s.

且令：X={x|x=pa y,(a∈N)}；P₁=X∩R₁.

[p∈P,y∈N,0＜y＜p,y≠pa-u(u=2)]

則有：p、y確定時，s以內集合P₁、R₁中的元素數量分布之比為1/(p-2).

(p=2時,用1代替p-2)

且令：

R₁'={x|x=a 6,(a∈R₁)}={9,11,17…}.

已知：s以內集合R₁中元素的分布密度是1.32/㏑²s. 因此，s以內集合R₁'中元素的分布密度同樣是1.32/㏑²s.

又(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.

因此，s以內集合R₁'中元素的能量和為e=(s/㏑s)(1.32/㏑²s)=1.32s/㏑³s.

且令：集合R₁'中與pᵢ互素的元素的分布比例為yᵢ. (i∈N)

則有：y₀=1,y₁=1；i＞1時,yᵢ=(pᵢ-3)/(pᵢ-2).

且令：zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

經計算，rᵢ→2.165(精確到千分位).

即，集合R₁'存在參照常數r=2.165.

因此，s以內集合R₁'中素數數量分布的計算公式是q=er=2.86s/㏑³s；即，s以內加2加4型素數鏈(集合S₁中元素)數量分布的計算公式是2.86s/㏑³s.

同理可證：s以內加4加2、加2加6、加6加2型素數鏈(集合S₂、S₃、S₄中元素)數量分布的計算公式都是2.86s/㏑³s.

且令：X={x|x=pa y,(a∈N)}；P₂=X∩S₁.

[p∈P,y∈N,0＜y＜p,y≠pa-u(u=2,6)]

則有：p、y確定時，s以內集合P₂、S₁中的元素數量分布之比為1/(p-3).

(p=2,3時,用1代替p-3)

關於rᵢ的計算謹作論述C(標識C備用)：

在計算rᵢ→1.32(n=1)及rᵢ→2.165(n=2)的過程中發現，n為任意正整數時，rᵢ={…[(pᵢ-n-1)/(pᵢ-n)]}/{(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)…[(pᵢ-1)/pᵢ]}都能夠類似地化為兩個式子，且使得：一個式子裡面從某一項開始，後面連續相乘的各項均趨近1且不小於1；另一個式子裡面從某一項開始，後面連續相乘的各項均趨近1且不大於1.

因此，n為任意正整數，rᵢ都將趨近於常數.

且令：

S₁'={x|x=a 8,(a∈S₁)}={13,19,25…}.

經計算，集合S₁'存在參照常數r=1.451.

已知：s以內集合S₁中元素的分布密度是2.86/㏑³s. 因此，s以內集合S₁'中元素的分布密度同樣是2.86/㏑³s.

又(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.

因此，s以內集合S₁'中元素的能量和為

e=(s/㏑s)(2.86/㏑³s)=2.86s/㏑⁴s.

因此，s以內集合S₁'中素數數量分布的計算公式是q=er=4.15s/㏑⁴s；即，s以內加2加4加2型素數鏈(集合T中元素)數量分布的計算公式是4.15s/㏑⁴s.

且令：X={x|x=pa y,(a∈N)}；P₃=X∩T.

[p∈P,y∈N,0＜y＜p,y≠pa-u(u=2,6,8)]

則有：p、y確定時，s以內集合P₃、T中的元素數量分布之比為1/(p-4).

(p=2,3時,用1代替p-4)

關於公式係數(例4.15)的計算謹作論述C'：

且令：序列U={u₁，u₁ u₂，u₁ u₂ u₃}中的元素(即2,6,8)除以素數pᵢ，所得互異的正整數餘數為tᵢ個. (i=0,1…m)

且令：a=(p₀-t₀-1)(p₁-t₁-1)…(pₘ-tₘ-1)；

b=p₀p₁…pₘ；d=(p₀-1)(p₁-1)…(pₘ-1).

則有：m足夠大時，

ab³/d⁴=1.32*2.165*1.451=4.15.

③、以②類推論各種動態素數鏈的分布.

如果序列U={u₁，u₁ u₂，… u₁ u₂… uₙ}中的元素除以任意的素數p，所得互異的正整數餘數的數量少於p-1個.

(uᵢ為正偶數,i=1,2…n)

則有：s以內加u₁加u₂…加uₙ型動態素數鏈數量分布的計算公式是q=er=cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

(s較小時,用㏑s-1.08代替㏑s計算)

綜合論述C、C'，係數cₙ的計算方法如下：

且令：序列U中的元素除以素數pᵢ，所得互異的正整數餘數為tᵢ個. (i=0,1…m)

且令：a=(p₀-t₀-1)(p₁-t₁-1)…(pₘ-tₘ-1)；

b=p₀p₁…pₘ；d=(p₀-1)(p₁-1)…(pₘ-1).

則有：m足夠大時，

cₙ=abⁿ/dⁿ⁺¹=n個常數之積=常數.

當㏑s＞n 1時，cₙs/㏑ⁿ⁺¹s是一個增函數，其值域為無窮大；因此，加u₁加u₂…加uₙ型動態素數鏈存在無窮多條.

繼續探討

經分析整理，n為正整數，可得以下結論：

1、s以內加2加4…加2n型動態素數鏈數量分布的計算公式是cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

2、s以內連續n個加u型動態素數鏈數量分布的計算公式是cₙs/㏑ⁿ⁺¹s. (令與偶數u互素的最小素數為p,n≤p-2)

3、s以內加u₁加u₂…加uₙ型動態素數鏈數量分布的計算公式是cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

[uₐ=mᵃ(m-1),(m-1∈N ,a=1,2…n)]

4、假設區間[n,2n)(n＞2)內存在t個素數，則該t個素數是一條長度為t的動態素數鏈；假設任意連續的n個自然數中，最長的動態素數鏈包含y個素數；n確定時，理論上能夠通過有限個步驟的計算得到確定的t、y(且t≤y).

5、如果素數鏈的第一個元素在s以內，則定義該素數鏈在s以內；當n確定、s足夠大時，(n 1)s以內每s個連續的自然數中接近存在s/㏑s個素數；因此，s以內加u₁加u₂…加uₙ(uᵢ≤s,i=1,2…n)型動態素數鏈的數量總和接近於(s/㏑s)ⁿ⁺¹；因此，這些素數鏈數量分布的計算公式的係數總和接近於sⁿ.

[依據係數cₙ的取值規律同樣可證(略)]

關於動態素數鏈伸展性與對稱性的簡論.

且令：序列U={u₁，u₁ u₂，… u₁ u₂… uₙ}中的元素除以素數p，所得互異的正整數餘數為a個；序列V={mu₁，m(u₁ u₂)，…m(u₁ u₂… uₙ)}. (n、m∈N )

則有：m被p整除時，序列V中的元素均被p整除；m與p互素時，序列V中的元素除以素數p，所得互異的正整數餘數同樣為a個.

且令：序列W={uₙ，uₙ uₙ₋₁，… uₙ uₙ₋₁… u₁}；序列U中的元素除以素數p，所得餘數依次組成序列X={x₁，x₂，…xₙ}；序列W中的元素除以素數p所得餘數依次組成序列K={k₁，k₂，…kₙ}.

則有：xₙ=kₙ；(xᵢ kₙ₋ᵢ)除以p得到餘數xₙ.

(i=1,2…n-1)

因此，序列X、K中互異的正整數數量相等.

綜合而論動態素數鏈的基本性質如下：

任一型號的動態素數鏈在自然數中的分布具有無窮性、諧和性、伸展性、對稱性.

無窮性是指任一型號的動態素數鏈其數量都是無窮的.

諧和性是指任一型號的動態素數鏈都對應一個公式，其數量的分布狀態接近於該公式的增長趨勢. 同時存在更深層次的諧和性，且令全體加u₁加u₂…加uₙ型動態素數鏈的第一個元素組成集合P'；且令X={x|x=pa y,(a∈N)}；[p∈P,y∈N,0＜y＜p,y≠pa-u(u=u₁,u₁ u₂,… u₁ u₂… uₙ),p對應k個y值]；Pₙ=P'∩X；則當p、y確定時，s範圍內集合Pₙ、P'中元素數量分布之比為1/k.

伸展性是指將任一型號的動態素數鏈其相鄰素數的間距統一放大到m(m∈N )倍，即可得到m倍間距型號的動態素數鏈，s以內兩者數量分布之比為常數.

對稱性是指對於任一型號的動態素數鏈，都將存在與其相鄰素數的間距對稱的動態素數鏈，s以內兩者數量分布之比為1.

㈢、論偶數u的素數分解對的分布.

且令：u(u>1000)為偶數；√u以內存在m個奇素數；X={x|x=u-a,(a∈P,a＜u)}.

且令：集合X中與pᵢ互素的元素的分布比例為yᵢ；zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；

rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ). (i=0,1…m)

則可推出rᵢ→r；u=2ⁿ(n∈N)時，r=1.32；

u存在奇素因數d₁,d₂…dₓ時，

r=1.32[(d₁-1)(d₂-1)…(dₓ-1)]/[(d₁-2)(d₂-2)…(dₓ-2)].

每個偶數u都對應一個參照常數r.(r≥1.32)

經分析，s(s≤u/2,s的下限＜＜u/2)以內集合X中元素的分布密度是1/㏑u.

又(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.

因此，s以內集合X中元素的能量和為

e=s/(㏑s㏑u).

因此，s以內使得a、u-a均為素數的a值數量分布的計算公式是q=er=rs/(㏑s㏑u).{偶數u＞1000,s≤u/2,s的下限＜＜u/2；u=2ⁿ(n∈N)時,r=1.32；u存在奇素因數d₁,d₂…dₓ時，r=1.32[(d₁-1)(d₂-1)…(dₓ-1)]/[(d₁-2)(d₂-2)…(dₓ-2)]}

當s=u/2時，可得偶數u的素數分解對數量的計算公式是rs/(㏑s㏑u)≈ru/(2㏑²u).

(u較小時,用㏑u-1.08代替㏑u計算)

依據該公式判斷哥德巴赫猜想成立.

㈣、論冪函數中的素數分布.

①、論一次函數(等差數列)中的素數分布.

以集合X={x|x=10a 1,(a∈N)}為例展開論述.

且令：集合X中與pᵢ互素的元素的分布比例為yᵢ；zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ. (i∈N)

則有：10的素因數為p₀=2、p₂=5，對應y₀=y₂=1；i≠0、2時，yᵢ=zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ.

且令：rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

則有：i＞1時，rᵢ=1/[(1/2)(4/5)]=5/2.

即，集合X存在參照常數r=5/2.

簡述：10以內有4個正整數(1,3,7,9)與10互素，對應集合X存在參照常數r=10/4=5/2.

s以內集合X中元素的能量和為e=s/(10㏑s).

因此，s以內集合X中素數數量分布的計算公式是q=er=s/(4㏑s).

以此類推

且令：X={x|x=ma n,(a∈N)}；

m以內有u個正整數與m互素.

(m,n為互素的正整數,m＞n)

則有：集合X存在參照常數r=m/u；s以內集合X中元素的能量和為e=s/(m㏑s).

因此，s以內集合X中素數數量分布的計算公式是q=er=s/(u㏑s).

(s較小時,用㏑s-1.08代替㏑s計算)

②、論二次函數中的素數分布.

以集合X={x|x=a² 1,(a∈N)}為例展開論述.

且令：集合X中與pᵢ互素的元素的分布比例為yᵢ. (i∈N)

則有：y₀=1/2；pᵢ=4c 1時，yᵢ=(pᵢ-2)/pᵢ；pᵢ≠2、4c 1時，yᵢ=1. (c∈N)

又，4以內共有2個正整數(1,3)與4互素.

因此，s以內有1/2的pᵢ=4c 1.

且令：zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

則有：i＞167時，rᵢ→1.36…

即，集合X存在參照常數r=1.36.

s以內集合X中元素的能量和為e=√s/㏑s. 因此，s以內集合X中素數數量分布的計算公式是q=er=1.36√s/㏑s.

以此類推

且令：A={x|x=a² n,(a∈N}；

B={x|x=a² a n,(a∈N}；

C={x|x=(a² a)/2 n,(a∈N}.(n∈Z)

則有：n確定時，s以內集合A、B、C中素數數量分布的計算公式都是q=er=rₙk/㏑s.

[k表示s以內集合X(X=A,B,C)中正元素的數量,s較小時,用㏑s-1.08代替㏑s計算]

集合A的參照常數rₙ的計算方法如下：

1、n=-b²(b∈N)時，集合A的表達式能夠進行因式分解，rₙ=0.

2、n≠-b²(b∈N)時，令|4n|以內存在2u個正整數與|4n|互素，集合A的正元素中包含的與|4n|互素的素因數除以|4n|所得互異的餘數(有且僅有u個)組成序列B={b₁,b₂…bᵤ}；

當pᵢ整除|4n|時，令tᵢ=1；當pᵢ=|4n|c bᵥ時，令tᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1)；當pᵢ不能整除|4n|且pᵢ≠|4n|c bᵥ時，令tᵢ=pᵢ/(pᵢ-1)；s以內有1/2的pᵢ=|4n|c bᵥ；i足夠大時，rₙ=t₀t₁…tᵢ=常數.(i∈N,c∈N,v=1,2…u)

另外，如果m=nb²(b∈N )；b不存在與|4n|互素的奇素因數，則rₘ=rₙ；b存在與|4n|互素的奇素因數d₁,d₂…dₓ，當dᵢ=|4n|c bᵥ時，令kᵢ=(dᵢ-1)/(dᵢ-2)，當dᵢ≠|4n|c bᵥ時，令kᵢ=(dᵢ-1)/dᵢ，則rₘ=rₙk₁k₂…kₓ. (i=1,2…x；c、bᵥ同上)

例如：

n=7時，|4n|=28，28以內存在12個正整數與28互素，集合A的正元素中包含的與28互素的素因數除以28所得互異的餘數(有且僅有6個)組成序列B={b₁,b₂…b₆}={1,9,11,15,23,25}；

28的素因數為p₀=2、p₃=7，令t₀=t₃=1；當pᵢ=28c bᵥ時，令tᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1)；當pᵢ≠2、7、28c bᵥ時，令tᵢ=pᵢ/(pᵢ-1). (i∈N,c∈N,v=1,2…6)

又，s以內有1/2的pᵢ=28c bᵥ；

經計算，i＞167時，r₇=t₀t₁…tᵢ=1.96…

因此，集合A={x|x=a² 7,(a∈N}的參照常數為r₇=1.96.

經粗略計算，r₁=r₄=1.36，r₂=r₈=0.71，r₃=0.78，r₅=0.52，r₆=0.71，r₇=1.96，r₀=r₋₁=r₋₄=0，r₋₂=r₋₈=1.89，r₋₃=1.38，r₋₅=1.78，r₋₆=1.04，r₋₇=0.75.

(連續足夠多個rₙ的均值為1)

集合B的參照常數rₙ的計算方法如下：

1、n為偶數時，集合B中的元素均為偶數，rₙ=0.

2、n為奇數時，令|4n-1|以內存在2u個正整數與|4n-1|互素，集合B的正元素中包含的與|4n-1|互素的奇素因數除以|4n-1|所得互異的餘數(有且僅有u個)組成序列B={b₁,b₂…bᵤ}；

當pᵢ整除|4n-1|時，令tᵢ=1；

當pᵢ=|4n-1|c bᵥ時，令tᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1)；

當pᵢ不能整除|4n-1|且pᵢ≠|4n-1|c bᵥ時，令tᵢ=pᵢ/(pᵢ-1)；s以內有1/2的pᵢ=|4n-1|c bᵥ；i足夠大時，rₙ=2t₁t₂…tᵢ=常數. (i∈N ,c∈N,v=1,2…u)

另外，如果|4m-1|=|4n-1|b²(b為正奇數)；b不存在與|4n-1|互素的奇素因數，則rₘ=rₙ；b存在與|4n-1|互素的奇素因數d₁,d₂…dₓ，當dᵢ=|4n-1|c bᵥ時，令kᵢ=(dᵢ-1)/(dᵢ-2)，當dᵢ≠|4n-1|c bᵥ時，令kᵢ=(dᵢ-1)/dᵢ，則rₘ=rₙk₁k₂…kₓ. (i=1,2…x；c、bᵥ同上)

經粗略計算，r₁=1.56，r₀=r₋₂=r₂=0，r₃=1.01，r₋₁=3.43，r₋₃=1.61.

(連續足夠多個rₙ的均值為1)

集合C的參照常數rₙ的計算方法如下：

1、n=-(b² b)/2(b∈N)時，集合C的表達式偶數項與奇數項能夠分開進行因式分解，rₙ=0.

2、n≠-(b² b)/2(b∈N)時，令|8n-1|以內存在2u個正整數與|8n-1|互素，集合C的正元素中包含的與|8n-1|互素的奇素因數除以|8n-1|所得互異的餘數(有且僅有u個)組成序列B={b₁,b₂…bᵤ}；

當pᵢ整除|8n-1|時，令tᵢ=1；

當pᵢ=|8n-1|c bᵥ時，令tᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1)；

當pᵢ不能整除|8n-1|且pᵢ≠|8n-1|c bᵥ時，令tᵢ=pᵢ/(pᵢ-1)；s以內有1/2的pᵢ=|8n-1|c bᵥ；

i足夠大時，rₙ=t₁t₂…tᵢ=常數.

(i∈N ,c∈N,v=1,2…u)

另外，如果|8m-1|=|8n-1|b²(b∈N )；

b不存在與|8n-1|互素的奇素因數，則rₘ=rₙ；b存在與|8n-1|互素的奇素因數d₁,d₂…dₓ，

當dᵢ=|8n-1|c bᵥ時，令kᵢ=(dᵢ-1)/(dᵢ-2)，

當dᵢ≠|8n-1|c bᵥ時，令kᵢ=(dᵢ-1)/dᵢ，

則rₘ=rₙk₁k₂…kₓ. (i=1,2…x；c、bᵥ同上)

經粗略計算，r₁=1.98，r₀=r₋₁=0，r₋₂=2.35，r₂=1.24.

(連續足夠多個rₙ的均值為1)

綜合而論

s以內集合X={x|x=k₂a² k₁a n,(a∈N}中素數數量分布的計算公式是q=er=rₙk/㏑s.

(k₂∈N ,k₁∈Z,n∈Z,k表示s以內集合X中正元素的數量,s較小時,用㏑s-1.08代替㏑s計算)

集合X的參照常數rₙ的計算方法如下：

1、集合X的表達式能夠進行因式分解或者所有元素都被某個素數整除時(例如k₁、k₂為奇數,n為偶數時,所有元素都被2整除)，rₙ=0.

2、當集合X不符合上述第1條；k₁為偶數時，令A={x|x=a² k₂n-k₁²/4,(a∈N)}；k₁、k₂、n均為奇數時，令B={x|x=a² a k₂n-(k₁²-1)/4,(a∈N)}；k₁為奇數、k₂為偶數時，令C={x|x=(a² a)/2 k₂n/2-(k₁²-1)/8,(a∈N)}；當k₂=2ᵐ(m∈N)時，令b=1；當k₂存在奇素因數d₁,d₂…dₓ，dᵢ(i=1,2…x)整除k₁時，令bᵢ=dᵢ/(dᵢ-1)，dᵢ與k₁互素時，令bᵢ=(dᵢ-1)/(dᵢ-2)，令b=b₁b₂…bₓ；則rₙ等於集合X對應的集合(A,B,C三者之一)的參照常數值乘以b.

(k₁,k₂不變,連續足夠多個rₙ的均值為1)

③、論m次函數中的素數分布.

且令：X={x|x=kₘaᵐ kₘ₋₁aᵐ⁻¹… k₁a n,

(a∈N)}. (m、kₘ∈N ；n、k₁…kₘ₋₁∈Z)

則有：s以內集合X中素數數量分布的計算公式是q=er=rₙk/㏑s.

(k表示s以內集合X中正元素的數量,s較小時,用㏑s-1.08代替㏑s計算)

集合X的參照常數rₙ的計算方法如下：

1、集合X的表達式能夠進行因式分解或者所有元素都被某個素數整除時，rₙ=0；否則，按2、3條計算，rₙ＞0，集合X中素數無窮多.

2、集合X中的正元素除以pᵢ所得餘數呈現周期性分布規律，周期長度為pᵢ；每個素數都對應一個餘數周期，這些周期內最多有m個0，最少則無0，平均為一個0；令pᵢ對應的餘數周期中有dᵢ個元素與pᵢ互素；令tᵢ=dᵢ/(pᵢ-1)；

i足夠大時，rₙ=t₀t₁…tᵢ=常數. (i∈N)

3、第2條是關於集合X的rₙ值的直接計算法，前面計算表達式為二次函數的集合X的rₙ值用的是間接計算法，關於計算表達式為二次以上函數的集合X的rₙ值的間接計算法尚待探討.

(m,k₁…kₘ不變,連續足夠多個rₙ的均值為1)

另外，當集合X的表達式中某些項的係數不為整數時，如果集合X中的正元素分布符合上述第2條，則集合X的rₙ值計算方法同上.

㈤、論梅森素數的分布.

型如2ᵃ-1(a∈N )的素數稱為梅森素數.

且令：集合X={x|x=2ᵃ-1,(a∈N )}

={1,3,7,15,31,63,127,255…}.

且令：集合X中的元素依次是x₁，x₂，x₃…

則有：xₙ₊₁=2xₙ 1；xₘₙ=2ᵐⁿ-1=(2ᵐ-1)

[2⁽ⁿ⁻¹⁾ᵐ 2⁽ⁿ⁻²⁾ᵐ… 2ᵐ 1]. (n、m∈N )

因此，n為合數時，xₙ同樣為合數.

且令：集合X中的元素除以某個奇素數p所得餘數依次組成序列K={k₁，k₂，k₃…}.

則有：kₙ≠p-1；

2kₙ 1＜p時，kₙ₊₁=2kₙ 1；

2kₙ 1≥p時，kₙ₊₁=2kₙ 1-p.

因此，序列K中互異的元素小於p個，連續p個元素中將存在相同的元素.

且令：kₙ=kₘ. (n＜m,m-n＜p)

則有：kᵢ=k₍ᵢ₊ₘ₋ₙ₎. (i∈N )

因此，序列K中的元素存在周期性分布規律；其周期長度小於p，周期內的元素互異，第一個元素是1，最後一個元素是0.

當m∈P，n∈N 時，集合X中的元素滿足：若且唯若m=2時，第mn個元素能被3整除；若且唯若m=3時，第mn個元素能被7整除；若且唯若m=5時，第mn個元素能被31整除；若且唯若m=7時，第mn個元素能被127整除；若且唯若m=11時，第mn個元素能被23、89整除 …

分析整理，可按下述方法設定：

1、當集合X中被pᵢ(pᵢ=5,11,13,17,19…)整除的所有元素都能夠被某個小於pᵢ的素數整除時，這些素數對應yᵢ=1.

2、當pᵢ(pᵢ=2,3,7,23,31…)不是第1條中括號內的素數時，且令集合X中與pᵢ互素的元素的分布比例為yᵢ.

則有：yᵢ=1或者yᵢ=(p-1)/p.

(p∈P,p<pᵢ,所有yᵢ≠1的值互異)

且令：zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

則有：所有的rᵢ＞1. (猜測i足夠大時,rᵢ→2)

經計算，s以內集合X中元素的能量和為e=㏑㏑s/㏑2；因此，s以內梅森素數的數量接近或大於㏑㏑s/㏑2；存在無窮多個梅森素數；如果猜測成立，則s(足夠大)以內梅森素數的數量接近於2㏑㏑s/㏑2.

同理可證：

s以內斐波那契數列中的素數數量接近或大於1.5㏑㏑s/㏑g. [g=(1 √5)/2=1.618]

後記(厚寄)

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