量子最新研究進展（量子認識研究及發展）

2023-09-24 04:10:23 2

施鬱（復旦大學物理學系）

1900年10月19日，是一個星期五。晚上，德國物理學會在柏林開了一個會，討論黑體輻射的能量譜（在一定溫度下的電磁波能量密度中，不同頻率的電磁波佔有多少）。

正是在這個會議上，普朗克（Max Planck）給出描寫黑體輻射能量譜的普朗克定律。

普朗克（1858—1947）

會後的幾個月中，為了從理論上推導出這個定律，普朗克提出，發射電磁波的振子的振動能量，是一份一份的，每一份基本單元叫做「作用量子」。

1905年，愛因斯坦又將量子論大大推進，提出光量子假說，從理論上發現，電磁波本身就是由能量量子組成的。

1. 黑體輻射和基爾霍夫

通常我們看到物體的顏色，是因為物體反射了那個顏色的可見光，而吸收了其他顏色的可見光。如果有個物體吸收了所有顏色的可見光，以及所有的電磁波（可見光是一定波長範圍內的電磁波），不反射任何電磁波，那麼這個物體就是黑體。它沒有反射，但是有吸收和發射。黑體輻射就是指理想黑體發出的電磁輻射。實驗上經常用金屬容器內的電磁波實現黑體輻射——容器只有一個小孔，光進入小孔，在容器內多次反射，幾乎不可能逃逸出來。

在達到熱平衡時，整個輻射有一個穩定的溫度。1859年，海德堡大學的基爾霍夫（Gustav Kirchhoff）指出，在黑體輻射中，不同頻率的電磁波的能量密度只決定於溫度和頻率。但是，基爾霍夫沒有確定這個依賴關係（後人稱為基爾霍夫函數）究竟是什麼，這是他給物理學家提出的挑戰，成了物理學長期研究的課題[1]。

1913年，愛因斯坦說：「如果能夠稱量物理學家被基爾霍夫函數的祭壇所犧牲的腦物質，將會有啟發性；這個殘忍的犧牲還沒有看到盡頭！」[1]

基爾霍夫（1824—1887）

基爾霍夫在海德堡還開創了太陽光譜研究，並發現了鈉的吸收線。至於他關於電路的兩個定律，則是他早期在柯尼斯堡大學的博士論文工作。

基爾霍夫後來成為柏林大學的第一個理論物理教授。普朗克就是他在這裡的學生。1887年，基爾霍夫去世。兩年後，普朗克回到這裡繼任這個教授職位。

2. 黑體輻射在柏林

普朗克有一位年輕幾歲的實驗同事，維恩（Wilhelm Wien）。維恩於1896年給出了一個輻射定律，描寫短波長的情況，包含一個指數函數。這就是維恩定律。而普朗克不滿足於經驗規律，用熱力學第二定律對此做了論證，所以當時維恩定律還被稱作維恩-普朗克定律[2]。後來維恩因此貢獻獲得1911年諾貝爾物理學獎。

維恩（1864—1928）

當時，關於黑體輻射，最先進的實驗也正是在柏林。帝國技術物理研究所的兩個組測量到低頻（即長波長）的數據，都發現了對維恩定律的偏離。盧默（Otto Lummer）和普林斯海姆（Ernst Pringsheim）測量的波長達到12到18微米。而魯本斯（Heinrich Rubens）和庫爾鮑姆（Ferdinand Kurlbaum）測量的波長更長，達到30到60微米。後者的方法是用石英燈材料反射輻射，從而消除短波長成分，留下長波長成分[1]。盧默和普林斯海姆1900年2月得到結果，魯本斯和庫爾鮑姆1900年10月得到結果。

3. 普朗克定律的誕生

1900年10月7日，魯本斯夫婦拜訪普朗克夫婦。魯本斯告訴普朗克，他發現，當頻率低（即波長長）時，輻射的能量密度正比於溫度。當晚，普朗克通過數學技巧，以適合長波長的公式和維恩定律的短波長公式作為兩個極限，湊出了一個適合各種頻率的公式。也就是說，普朗克推廣了適用於高頻率電磁波的維恩定律，以符合最新的低頻率的實驗數據。普朗克用明信片將結果告訴魯本斯[1]。

魯本斯（ 1865—1922）

從此，這個結論被稱作普朗克定律。普朗克的名字也從維恩-普朗克定律中捨去了。普朗克定律可以從高頻的維恩定律過度到低頻的與溫度的正比關係。

10月19日的會議上，魯本斯報告了他們組最新的實驗結果，然後普朗克宣布了他的新定律。他說：「因此請允許我提請你們注意這個新公式，我認為它是除了維恩的表達式之外，最簡單的。」不過普朗克承認這是「偶然的猜測」，說「從提出這個定律的那天開始，我就致力於給它賦予物理意義的任務」。普朗克投入了「他一生最艱苦的工作」，最終「有點光照進黑暗」[2]。

當然，普朗克定律的提出，也要歸功於實驗發現打下的基礎。我們要感謝實驗家的奠基工作。派斯（Abraham Pais）指出，這些實驗的精度非常高，用以推算出的物理常數數值非常接近當代的數值[1]。

低頻下的能量密度符合1900年6月瑞利提出的公式（他1905年才計算其中的係數，金斯指出少了個8，從此有瑞利-金斯定律之說；同時愛因斯坦也給出了這個公式，所以派斯認為應該叫瑞利-愛因斯坦-金斯定律）。

1900年4月，開爾文勳爵指出 「熱和光的動力學理論的兩朵19世紀烏雲（Nineteenth-Century Clouds Over the Dynamical Theory of Heat and Light）」，其中之一是邁克耳孫-莫雷實驗沒有測量到以太的漂移，另一朵烏雲是指固體比熱的實驗結果與能量均分定理的矛盾。這預期了不久之後相對論和量子論的成功。第一朵烏雲被愛因斯坦的狹義相對論驅散，第二朵烏雲因為愛因斯坦將量子論用於計算固體比熱而驅散。

1900年，黑體輻射問題還在揭示之中，也許還沒有引起開爾文足夠的關注。但是黑體輻射問題其實與固體比熱問題非常類似，也是能量均分定理的失敗。幸運地，普朗克之所以推導出普朗克定律，正是因為他用玻爾茲曼的統計理論計算了熵，而沒有直接計算平均能量，沒有使用能量均分定理，所以他基於量子假說的推導正是對能量均分定理的否決。如果他直接計算平均能量，就會掉入能量均分定理的坑，就會得到瑞利定律。而愛因斯坦解決固體比熱問題的基礎是振動量子化，這也正是量子論的最初起源，是普朗克解決黑體輻射問題的基礎。

4. 普朗克對普朗克定律的推導

普朗克猜出普朗克定律的8個星期後，12月14日，德國物理學會的又一次學術報告會上，他給出了理論推導。正如他在其後發表的論文中指出的：「我們考慮（這是整個計算中最本質的一點）能量E由確定數目的單元組成，一次決定了常數h=6.55X10-27爾格•秒。這個常數乘以頻率ν……給出能量單元，ε。」[3]

在普朗克的理論推導中，他先考慮一個帶電粒子在電場驅動下，做一維振動，成為一個振子。充滿黑體輻射的容器可以看成由這些粒子組成。此前，普朗克並未接受原子論，當時人們對於物質結構也所知有限。我們可以將普朗克的振子當作帶電的原子或者分子。

對於共同處於熱平衡的電磁場與振子，普朗克得到，每個頻率的電磁波的能量密度等於帶電振子在此頻率下的平均振動能量乘以一個與頻率有關的因子（正是我們今天所知的電磁波在單位體積的態密度，等於8π乘以頻率的平方除以光速的立方）。到這一步，與他以前對維恩定律的推導相同。以前，他基於一個不正確的論證，給出了維恩定律。

這次，普朗克將邏輯關係反過來，將猜出的、與實驗完全一致的普朗克定律作為電磁波能量密度，帶入帶電振子的振動能量的關係式，據此算出振子的熵。

後面是魔術般的操作，目的是用玻爾茲曼的統計方法，即將微觀狀態數W取對數，乘以玻爾茲曼常數k（也就是後來刻在玻爾茲曼墓碑上的公式S=klnW，其實這個公式的這個形式正是普朗克最早寫下來，因為他定義了玻爾茲曼常數k，玻爾茲曼本人以及1905年的愛因斯坦都是用R/N，即氣體常數R除以阿佛加德羅常數N）復現這個熵。他考慮n個振子，總能量是某個基本單元ε的整數p倍。對於p份ε在n個振子中的分配，配分數給出不同微觀狀態的數目，從而給出熵，與普朗克定律給出的熵一致。

墓碑上方刻有玻爾茲曼公式

這個基本單元ε就是能量量子，等於hν,其中ν是電磁波的頻率，h是個常數，後來稱作普朗克常數。就這樣，為了能給出從實驗總結出的普朗克定律，普朗克不得不提出了能量量子化。

普朗克的「魔術」表現在兩個方面。先假設基本能量單元的存在，又對於將多個能量單元在多個振子間的分配，假設振子之間以及能量單元之間的不可區分。有人依據普朗克後來的一篇文章，認為這受到玻爾茲曼一篇文章中的一個公式的啟發[1]。今天看來，普朗克寫下的微觀狀態數是24年後愛因斯坦給出的玻色-愛因斯坦統計。當然，普朗克沒有意識到這一點。他只是為了得到普朗克定律，在做絕望的嘗試。文章上的理由只是：「經驗將證明這個假設是否在自然中實現。」

1931年，普朗克也說他上面的推導是「一個絕望的舉動……我將量子假設當作純粹的形式假定，沒有多想其他的，只是想著：我必須得到正面的結果，不管是什麼情況、付出什麼代價。」[1,2]

時勢造英雄，得到與實驗一致的理論結果這個目標，驅動這位生性偏保守的科學家邁出了量子革命的第一步。

普朗克的「掙扎」充分表現了理論物理學家面對新現象的工作和思維方式。先是猜出答案，然後再設法推導。找到一個能夠導出結果的前提假設，就將那個假設作為背後的物理提出來。雖然從嚴格的邏輯關係上，這只是一個充分條件，但是物理學研究中，經常將充分條件假設為必要條件，暫且將此當作正確的，直到下一個實驗證實或者證偽。如果證偽，就會對理論進行修改或者提出新的理論。物理學，或者說各類科學，不是邏輯推導出的，最重要的正是在於缺少邏輯演繹的跳躍階段。這也是為什麼科學研究中，歸納法很重要，物理學不是數學。

普朗克天才地打開了量子世界的潘多拉盒子，雖然他並不確定大自然真的是量子化的。他在文章中說，如果總能量除以能量量子不是整數，我們就取最靠近的整數[2]。

物理學家們也沒有立即消化。量子化的更深刻含義要等到5年後由一位專利局職員揭示。他叫阿爾伯特•愛因斯坦，他接過了量子化的火炬[3]。普朗克的文章一發表，愛因斯坦就認真研究。愛因斯坦已關注黑體輻射多年。他讀大學時的老師韋伯就是黑體輻射專家，曾經在課上介紹過黑體輻射（雖然韋伯不喜歡愛因斯坦）。

5. 普朗克與愛因斯坦

與普朗克一樣，愛因斯坦也將玻爾茲曼的統計理論作為工具。但是不一樣的是，愛因斯坦勇敢地將此用於電磁場，事實上他是第一個將統計理論用於電磁場的人。結果，愛因斯坦發現了電磁場本身的量子化，這就是他的光量子假說。關於愛因斯坦的光量子說與普朗克的量子假說的關係和不同，可參見本文附錄（摘錄自文獻[4]）。

人們談論普朗克的量子假說時，經常混入愛因斯坦的光量子假說。比如，諾貝爾獎委員會說：「馬克斯•普朗克1900年解決了這個問題，他引入了『量子』的理論，即輻射包含特定能量的量子，由後來被稱作普朗克常數的基本常數決定（Max Planck solved this problem in 1900 by introducing the theory of 「quanta」, that is, that radiation consists of quanta with specific energies determined by a new fundamental constant, thereafter called Planck’s constant）。」[5]

還有一種非常普遍的說法，被很多教科書採納，認為普朗克提出振子發射或吸收的電磁波是量子化的。比如諾貝爾獎委員會說：「普朗克給出能量和輻射頻率的關係。在1900年發表的一篇論文中，他宣布了他對此關係的推導，基於一個革命性的想法，即振子發射的能量只能取分立值或者量子（Planck was able to deduce the relationship between the energy and the frequency of radiation. n a paper published in 1900, he announced his derivation of the relationship: this was based on the revolutionary idea that the energy emitted by a resonator could only take on discrete values or quanta）。」[5]

這個說法不算錯，但是普朗克自己當初沒有明確地這麼說。這其實是愛因斯坦1906年對普朗克工作的解讀。愛因斯坦說：「我們必須將如下的命題視作普朗克輻射理論的基礎：基本振子的能量只能取(R/N)βν的整數倍；通過輻射和吸收，振子的能量改變是(R/N)βν的整數倍。」[6]愛因斯坦的符號R/N是k，β是h/k。

普朗克的量子工作啟發了愛因斯坦的光量子工作。1929年，愛因斯坦說普朗克「29年前非常新奇地用玻爾茲曼的統計方法所做的輻射公式的天才推導啟發了我」[1]。

1948年，普朗克去世後，愛因斯坦對普朗克輻射定律給予了高度評價[7]。提煉如下。普朗克的輻射定律首次準確確定了原子的大小，而且表明除了物質的原子結構，還存在能量的原子結構，由普朗克常數主宰。這一發現成為整個20世紀物理學的基礎（愛因斯坦原文如此，我覺得省去「整個」為妥），帶來新的目標：發現新的概念基礎。

6. 普朗克的諾貝爾獎

普朗克對基本常數很痴迷。普朗克定律中有兩個基本常數，玻爾茲曼常數k和普朗克常數h，這也讓普朗克很激動。普朗克發現了普朗克常數，也將玻爾茲曼常數「提升」為基本常數。後來，普朗克還用普朗克常數、光速、萬有引力常數定義普朗克時間和普朗克長度，代表引力和量子效應都起作用的尺度。

普朗克用普朗克定律確定了k，從而給出阿佛加德羅常數，再借用電化學給出的質子質量，算出了質子電荷。他給出的阿佛加德羅常數和質子電荷與現代的數值的差別都不到百分之2.5。相比之下，湯姆遜給出的電子電荷與現代數值差百分之35。

這一切讓因電化學的工作獲得1903年諾貝爾化學獎的阿倫尼烏斯（Svante Arrhenius）印象深刻[8]。他是諾貝爾物理學獎委員會成員，對化學獎也有影響力。他決定用1908年的這兩個獎項宣告原子論的勝利，將化學獎授予原子核的發現者盧瑟福，物理學獎授予普朗克。正好盧瑟福當時用α粒子實驗測量了質子電荷，與普朗克的結果符合得很好。

化學獎委員會很快通過了授予盧瑟福的決定。物理學獎裡面，有瑞典數學家Ivar Fredholm提名普朗克和維恩分享，而委員會成員Knut Angström希望有實驗家分享，但是相關的實驗家當年都沒有被提名。所以物理學獎委員會通過了授予普朗克的決定。

但是消息走漏，傳遍了學界。普朗克自己得知了消息，當時最權威的理論物理學家洛倫茲也得知了消息。洛倫茲也曾經試圖推導普朗克定律，但是不論他怎麼努力，只能得到瑞利-金斯定律。因此他在4月份於羅馬召開的國際數學家大會上說，根據金斯理論，實驗說明，黑體對於短波長並不黑，有待新的實驗。這導致包括盧默和普林斯海姆以及維恩的諷刺式批評。結果，洛倫茲又很快改變了態度，給維恩寫信說，根據瑞利-金斯理論，能量與溫度成正比，因此可以推出荒謬結論：溫度降到室溫時，金屬仍然有白光輻射。然後又說，非常欣賞普朗克理論的勇敢和成功。但是這封信的補救無法與公開反對的影響相比。

瑞典數學家Gosta Mittag-Leffler在瑞典科學院影響很大。他與以龐加萊為首的法國數學界過從甚密。Mittag-Leffler借洛倫茲對普朗克工作的公開批評，希望將物理獎授予第二位候選人——彩色照相術發明者、法國的Gabrial Lippman。他聯繫當初提名維恩和普朗克共同得獎的Fredholm，Fedholm回信批評物理獎委員會的決定，說普朗克的推導基礎能量量子假說是個全新的假設，幾乎不能說合理。

諾貝爾獎最後要經過瑞典科學院的大會投票。所以小概率事件發生了，大會改變了專業委員會的建議。當年的諾貝爾物理學獎授予了Lippmann。

查諾貝爾獎資料。1916年，除了文學獎，諾貝爾獎都空白。1917年，三個自然科學獎都空白，其中只有物理學獎於次年補授予盧瑟福提名的Charles G. Barkla，化學獎和生理學或醫學獎沒有補。1918年當年，所有的諾貝爾獎都空白，但是次年，經愛因斯坦提名，諾貝爾獎委員會決定補授予普朗克1918年諾貝爾物理學獎，「獎勵他因為發現能量量子而對物理學進步的貢獻」（in recognition of the services he rendered to the advancement of Physics by his discovery of energy quanta），而1918年化學獎補授予哈伯（因氨的合成），其他獎項沒有補。

1920年，普朗克做了諾貝爾演講「量子理論的起源和發展（The Genesis and Present State of Development of the Quantum Theory）」。普朗克在此諾貝爾演講中，在介紹量子概念所導致的進展時指出，第一個進展來自愛因斯坦，用量子概念解釋了斯託克斯規則、電子發射、氣體電離，還提到愛因斯坦將量子化的振動用於固體比熱。斯託克斯規則、電子發射、氣體電離都是愛因斯坦光量子論文中的內容，然而普朗克在這裡並沒有直接提光量子。但是，在後文中，普朗克說到，光導致的電子發射「定量上，與愛因斯坦提出的與光量子的關係，被證明在每個方向上都是成功的，正如密立根通過測量電子發射速度而特別證明的，而瓦伯格（E. Warburg）揭示了光量子在光化學反應中的重要性。」

普朗克成為德國科學的中心人物。1948年，各個凱撒•威廉研究所和它們組成的學會重新以馬克斯•普朗克命名。

附錄：從普朗克到愛因斯坦和玻爾（摘錄自文獻[4]）1900年10月7日，為了結合黑體輻射高頻率和低頻率的實驗數據，普朗克寫下他著名的黑體輻射能量密度公式。這是量子論的最開端。其後幾個月，普朗克給出了這個公式的理論推導，從而發現了量子。他提出，發出電磁輻射的振子的能量必須是某個基本單位的整數倍，這個基本單位是頻率乘以一個常數，即後來所謂的普朗克常數。1905年，愛因斯坦奇蹟年。這一年他的第一篇論文「關於光的產生與轉換的一個啟發性觀點（On a heuristic point of view concerning the generation and conversion of light）」是唯一被愛因斯坦自己稱為具有革命性（revolutionary）的文章。在這篇文章中，他提出光量子（1926年後被稱為光子）假說，即輻射本身是量子化的！作為推論，他提出光的產生也是量子化的。愛因斯坦還討論了這個推論的應用。其中之一就是為他贏得1921年諾貝爾物理學獎的光電效應。值得注意的是，光電效應中的電子出射能量與入射光頻率的定量關係是愛因斯坦給出的預言，10年後才被密立根（Millikan）驗證。在這篇文章，愛因斯坦還討論了光致發光（photoluminescence），用能量守恆解釋了斯託克斯（Stokes）定律，即入射光的頻率不小於出射光的頻率。光致發光分為螢光（fluorescence）和磷光(phosphorescence),前者符合量子力學選擇定則，所以立即發生；後者如果直接發生，則違背量子力學選擇定則，所以需要複雜的中間過程，從而時間尺度長。1906年，愛因斯坦指出普朗克公式要成立，必須假設振子發射電磁波是量子化的。後來人們用此思想理解普朗克黑體輻射定律。這個假設並不是光量子說的全部內容（即電磁場本身的量子化）。1913年，玻爾提出他的原子模型，指出原子核外的電子只能處於分立的軌道，而電子在不同軌道之間躍遷時的能量差與光輻射或光吸收相互轉化，光的能量即為普朗克常數乘以頻率。這裡沒有用到自由電磁場的光量子假說，但用到了愛因斯坦對普朗克定律的重新解釋，而且假設單個電子與單個光量子能量轉移。而這種假設始於愛因斯坦對光電效應的討論。1916到1917年，愛因斯坦發表他的輻射理論。他考慮電子在兩個能級之間躍遷導致的自發輻射、受激輻射和吸收，通過平衡關係得到普朗克公式，還討論了動量轉移。普朗克因為「能量量子的發現（discovery of energy quanta）」獲1918年諾貝爾物理學獎(1919年決定授予,1920年實際授予)。愛因斯坦因為「光電效應定律的發現（discovery of the law of the photoelectric effect）」獲1921年諾貝爾物理學獎(1922年授予)，諾貝爾獎頒獎詞中也提到光致發光和螢光，但未提光量子說本身。玻爾因為「原子結構及其輻射的研究(investigation of the structure of atoms and of the radiation emanating from them)」獲1922年諾貝爾物理學獎。普朗克和玻爾，乃至驗證了愛因斯坦光電效應關係式的密立根，都遲遲不能接受愛因斯坦光子說。1913年普朗克、能斯特、魯本斯、瓦博格提名愛因斯坦為普魯士科學院院士的推薦信中，還將光量子理論作為愛因斯坦「在猜想中錯過目標」的負面例子。但從普朗克1920年所作的諾貝爾演講來看,他那時已經接受愛因斯坦光子說。而玻爾直到1925年康普頓效應中的能量動量守恆被證實後，才接受光子說。這已經是量子力學新時期開始的那一年。