量子力學中的質子原子（繼續研究量子力學張朝陽的物理課氫原子問題第一講）

2023-09-24 02:06:19

1月16日12時，《張朝陽的物理課》第二十期開播。搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間，繼續研究量子力學。課程中，他帶著網友複習無限深勢阱的薛丁格方程的解、簡述解氫原子問題的重大意義；介紹算符對易關係和運算規則，嘗試在三維空間坐標系下應用薛丁格方程，研究氫原子的定態解並尋找新的正則變量，將二體系統化為質心運動部分與相對運動部分，為後續課程解決氫原子問題，做好知識和推導上的準備。

「前面用兩堂課來介紹量子力學發現的背景，上一講正式談量子力學，初步『嘗』了一下薛丁格方程怎麼解。今天我們『進軍』氫原子，研究氫原子最簡單的狀況。」張朝陽直奔主題，「我對氫原子很感興趣，理解了氫原子問題，我們將來就有可能理解萬物。」他說，「不過，別小看氫原子，要解起來太複雜。」

算符乘法講究對易關係左右順序在此非常關鍵

「我們只學會一丁點兒量子力學的知識，就來解最難的氫原子問題。」為解決氫原子問題，張朝陽進一步介紹算符的運算規則與對易關係。

他指出，算符可以相加，算符之和作用到波函數上，定義為分別作用到波函數上再求和。加法滿足交換率與結合率，跟傳統的加法無異，但是算符的乘法就與傳統的乘法非常不同了。算符之積作用到波函數上，定義為先作用右邊的算符再作用左邊的算符。這樣算符的乘積裡左邊算符與右邊算符位置是不能隨意交換的，即算符之積不滿足交換率，這導致了量子力學與經典力學有非常不同的性質。為了描述這種乘積順序的不對易性，我們引入「對易關係」，將兩個算符之積的不同順序相減，具體用數學符號表示為：

張朝陽具體介紹算符的加法乘法與對易關係之間的運算規則，他邊說邊在「直播小白板」上推導：

（對易關係與加法乘法的運算規則）

他指出，了解這些算符的運算規則，才能順利解氫原子的薛丁格方程。

兩體系統選取質心坐標分離變量體現內部特徵

實際上，氫原子由質子與電子組成，其薛丁格方程包含描述質子與電子的算符，是個二體系統，張朝陽向網友展現氫原子的薛丁格方程：

張朝陽介紹，雖然氫原子的薛丁格方程中，電子與質子的動能項是分開的，但由於質子與電子之間的勢能與他們之間的相對距離有關，所以不能單純地把電子與質子分開，會導致這個方程變得很複雜。他表示，要解這個方程，需要重新找一組變量，新的這組變量不僅需要滿足原來的正則對易關係，而且可以將複雜的二體薛丁格方程分解成單體薛丁格方程。

張朝陽講到，根據勢能只與電子和質子的相對距離有關這個性質，可考慮將電子與質子組成的二體系統，分解為相對運動與質心運動，新的這組變量與原來的質子電子變量形成關係。

經過推導，張朝陽帶著網友證明了這組新的變量滿足正則對易關係。

另外，他們還發現，利用這組新變量可將原來的氫原子定態薛丁格方程改寫。

在這個新形式的哈密頓量中，第一項是關於質心運動的，而第二項與第三項是關於相對運動的，從而波函數的質心運動部分與相對運動部分可以分開。

代入到薛丁格方程之中，再利用分離變量法，就將原來的二體定態薛丁格方程，分解為質心運動部分與相對運動部分。

（二體定態薛丁格方程分解為質心運動部分與相對運動部分）

「可以看出，能量被分為質心運動能量與相對運動能量，其中質心運動能量對應的薛丁格方程，是描述電子與質子整體自由運動的方程，而相對運動能量對應的定態薛丁格方程，則是關於氫原子內部結構的方程，氫原子能級與氫原子的波函數將會從這個方程裡導出。」張朝陽介紹。

「今後還要花四、五節課把氫原子的問題給算出來。」直播尾聲，他告訴網友，「下一堂課，將探討角動量問題。」

搜狐視頻發力知識直播傳播知識玩轉科學

自11月5日至今，《張朝陽的物理課》已直播二十期。在第一、二課中，張朝陽科普了「力」和「速度」，算出馬斯克的飛船和中國空間站每日繞地飛行圈數；第三、四課和「振動」相關，科普可見光的基本知識；第五、六課引發了關於音速和溫度的大討論；在第七、八、九課重溫經典力學的兩朵烏雲。

第十、十一課重點回顧黑體輻射曲線及其應用；第十二、十三、十四課嘗試進入愛因斯坦的思想世界，推導出著名的公式「E=mc²」，並論證鍾慢尺縮效應；第十五課講解了原子的結構和原子核的衰變；第十六課開始進入量子力學，討論光的波粒二象性、康普頓散射、海森堡不確定性，以及薛丁格方程等。

從近二十期的物理課可以看出，《張朝陽的物理課》的直播風格獨樹一幟——通過觀察日常生活現象、用網友最熟悉的話題來提升興趣，再以公式推導的方式解釋其背後的物理原理，「透過現象看本質」，進而反過來解決生活中的類似問題。

張朝陽認為研究自然界是特別有意思的事情，他希望物理課的受眾能保有好奇心，「在好奇心驅使下，了解自然界的奧秘，了解我們在這個世界生存的道理」。在後續課程中，他還將繼續以這種直播風格解釋生活中常見的物理現象，讓普通人能夠聽懂、專業人士也能認可，激發科學學習的熱潮。該課程於每周周五、周日12時在搜狐視頻直播。同時，網友可以在搜狐視頻「關注流」中搜索「張朝陽」，觀看往期完整視頻回放。

除《張朝陽的物理課》外，搜狐視頻也邀請多位通識教育播主，科普知識，傳遞價值。北京交通大學理學院教師陳徵博士玩起了「奇趣的科學實驗」，走進「光的波粒二象性」；康奈爾大學物理化學博士包坤，化身「包大人玩科學」，教普通人看懂2021年諾貝爾獎；還有天體物理博士劉博洋科普「日全食是怎麼產生的」等，近期走紅的理論物理博士後周思益，也來搜狐視頻開通「弦論世界」直播課。未來，還將有更多知識