材料力學第五章ppt（材料力學第3章變形和應變）

2023-10-04 18:26:41 1

之前的筆記都在說應力的問題，但是應力其實不是用來描述材料變形程度的度量，我舉個例子，我有兩根尺寸完全相同的圓柱體，但是一根是橡膠材質，一根是合金鋼材質，毫無疑問，橡膠材質可以變形更大，但是橡膠材質的應力肯定不可能超過合金鋼材質。因此應力其實和變形程度的大小沒有必然的聯繫！為了描述變形程度大小的問題，我們提出一個新的概念：應變。

應變描述的是一個物體變形程度，但是它不同於變形這個概念。我還是舉一個例子來說明：兩個金屬棒，一根 10mm 長，一根 20mm 長。10mm 的受力伸長 1mm，20mm 的受力伸長 1.5mm，此時絕對變形量（也就是我們常說的變形的概念）肯定是後者 1.5mm 的更加大一點，但是應變卻不一樣了，應變是一個相對的概念：

圖 3.1 應變計算公式

圖 3.1 為應變的計算公式，根據這個公式 10mm 金屬棒的平均應變是 10%，而 20mm 金屬棒的平均應變是 7.5%。這樣我們就能比較不同形狀物體變形程度的問題。這時候大家也要注意一個事，應變計算的分子分母單位相同，所以最終出來的應變是一個無單位的量，也就是我們說的無量綱量。

圖 3.2 應變分類

應變的分類是和應力完全一模一樣，在之後的材料關係中我們會進一步說到應力和應變的關係。接下來我們先強調下應力和應變的一個概念性問題：應力描述的是結構的強度，即結構抵抗破壞的能力，而應變描述的是結構的剛度，即抵抗變形的能力，這兩者是完全不一樣的。

在我們實際的結構設計中，這兩者都是我們關注的重點。但是非常不幸的是，我們多數工程師在設計的時候基本只考慮強度問題，卻很少去關注剛度問題。其實剛度問題在我們身邊的設計中經常遇到，很多時候我們在設計產品的時候考慮剛度問題要高於強度問題，比如傳動精度問題，定位精度問題，加工工具機這些都是剛度設計的典型，這時候其實由於剛度要求高，所以材料在強度設計上一般都是過剩。所以我們在機械設計當中其實考慮強度還是考慮剛度是有一個優先的問題。我經常會翻查一些產品的設計標準，尤其鋼結構你會發現他們在設計的時候很多時候是用剛度計算來做設計的主要原則。

圖 3.3 金屬棒的變形

接下來我們繼續回到金屬棒的變形上來，根據我們的生活經驗知道，金屬棒被拉長必然會變細，因此它的應變存在於兩個方向，一個是軸向，一個是徑向，如圖 3.4 的縱向應變和橫向應變，至於應變計算公式完全可以套用圖 3.1 的公式得到，這時候一個重要的材料力學中的概念就出現了：泊松比，是指材料在單向受拉或受壓時，橫向正應變與軸向正應變的絕對值的比值，泊松比是反映材料橫向變形的彈性常數，一般用字母 ν 表示，所以根據泊松比的概念描述，它也是一個沒有量綱的量。

圖 3.4 泊松比的意義

泊松比也是材料的一個基本參數，和材料的大小和形狀無關，泊松比有以下幾個基本的特點：

1. 泊松比必須小於 0.5；

2. 金屬材料的泊松比在 0.27-0.3 之間

3. 橡膠的泊松比在 0.4-0.5 之間，一般非常接近 0.5，多數時候我們會選擇 0.49 附近的值；

4. 軟木的泊松比接近於 0。

我們機械行業最常用的材料就是金屬和橡膠，偶爾還有塑料產品，塑料這種人工製品根據實際工程應用要求的不同，基本上所有的參數都有很大的變化，沒法用經驗性的語言描述，只能在實際遇到的過程中想辦法測試查找參數。

這裡稍微補充說明下剪應變的計算方法，圖 3.5 已經是非常熟悉的一張圖了，從剪力到剪應力到現在的剪應變，都是這張圖，我們來看看剪應變是怎麼計算的。我們規定剪應變 γ=AA′/ AB，細心的會發現，其實 AA′/ AB=tgθ，這個時候有個非常重要的計算變形，很多工程師在這裡肯定已經忘記，在前幾章節我們講到過小變形問題，材料力學都是基於小變形假設這個問題，所以雖然圖形表現誇張了一點，但是我們始終是小變形模型，所以當 θ 很小的時候，在高數中是可以推導出 tgθ≈θ，所以最終剪應變 γ=θ。

圖 3.5 剪應變

到這裡我們以上的關於應力應變的基本概念問題全部都講解完成，我們在這裡稍微重新對之前的問題整理一下：

力的基本分類：拉壓、剪切、扭轉和彎曲；

應力分類：正應力（σ）和剪切應力（τ），正應力就是拉壓所產生的應力；

應變分類：正應變（ε）和剪切應變（γ），正應變就是拉壓所產生的應變。

以上的 4 個字母非常重要，基本上所有和力學相關的教材或者標準上出現這 4 個字母基本就代表這四個概念，所以以後工程師看到這四個字母千萬不要有恐懼的不良反應，其實就代表這四個概念。這時候我們很多工程師肯定也會有疑問，力的基本分類裡面的扭轉和彎曲問題呢？所以接下來就讓大家看下扭轉也好，彎曲也好變形的本質到底是什麼。

扭轉變形和剪應變的關係：

圖 3.6 扭轉示意圖

假設扭矩 MT 作用於圓杆，圓杆發生了扭轉變形（一般力學中 M 代表的都是扭矩）。從圖中可以看出原本 AB 和 CD 這兩個虛線段，因為 MT 的扭轉發生了偏移，變成了 AB′和CD′，同樣在圓面上形成了一個角度∠BO B′，這個角度就是扭轉角。

圖 3.7 扭轉簡化圖

圖 3.7 就是通過圖 3.6 轉化過來的簡化圖，從這張圖上可以馬上看出，這張圖就是圖 1剪應變的示意圖麼，於是∠DC D′（∠BAB′）就是剪應變的角度。接下來在講解新的內容前要說明一個問題，圖 3.6 和圖 3.7 中以 B′D′這條線段為例，在圖 3.6 中是一條圓弧，在圖 3.7中是平行四邊形的一條邊，注意，在這兩張圖中，兩條線段的長度是相等的，也就是弧長等於這條直線段！於是很多人就想不明白，我們工程師最擅長的就是看各種視圖，這種視圖怎麼轉變過來尺寸都是會變化的，為什麼這裡是相等的。很簡單，這個內容其實在之前的讀書筆記當中已經說到過，材料力學研究的是小變形，雖然你看到的這些東西肉眼看起來都很大，實際上都是非常微小的尺寸，在很小的一段圓弧上，我們是可以近似認為直線和圓弧相等。

於是就有了接下來的推導內容：

圖 3.8 扭轉的計算推導 1

圖 3.8 中可以直接得到線段 DD′的長度是等於 rφ（φ 代表弧度，圓弧的計算就是弧度乘以半徑），那再將這個結果放到圖 3.5 中進行剪應變的計算就會得到：

圖 3.9 扭轉的計算推導 2

於是馬上可以得出，剪應變 γ=rφ/L，通過這個公式大家可以看出，在圓心處，半徑 r=0，所以剪應變也為 0，隨著半徑的增大，剪應變慢慢增加，這個就是剪應變在圓柱扭轉問題上的一個基本應用，所以通過這段的解釋說明，我們知道一個受扭轉為主的結構體，剪應變（剪應力）是一個非常重要的關注量，因為他的失效很可能就是由剪應變（剪應力）所產生。

彎曲變形和正應變的關係：

圖 3.10 彎曲示意圖

圖 3.10 所示，假設彎矩 MB 作用於長為 L，直徑為 D 的圓杆，圓杆發生彎曲從 ABCD變為 A′B′C′D′。

圖 3.11 彎曲變形示意圖

將圖 3.10 的 A′B′C′D′局部選取一個位置進行放大，如圖 3.11 所示。圓杆的上部分伸長，下部分縮短！也就是圖 1 中 AC 伸長為 A′C′，BD 縮短為 B′D′。

圖 3.12 中性面

這個時候我們仔細思考，從伸長的 A′C′到縮短的 B′D′，這個過程中中間必然有一層面長度是不發生變化的，這層面叫做中性面（也有書上叫做中立面），如圖 3.12 中的 MN 變為圓弧 M′N′長度未發生變化。注意這個面未必處於 AB 的中點！中性面在很多地方會頻繁使用。彎曲最重要的應用之一就是鈑金折彎，鈑金折彎就有中性面位置的設置問題，K 因子就是中性面位置的相關係數。所以鈑金折彎其實是材料力學中彎曲的應用問題。所以要搞清楚鈑金折彎問題，不僅僅是經驗，材料力學彎曲的計算問題也是很重要的。