圓錐曲線中的最值問題常見問法（圓錐曲線的最值範圍）

2023-09-18 11:52:19 1

【考試要求】

1.掌握解決直線與橢圓、拋物線的綜合問題的思想方法；

2.了解圓錐曲線的簡單應用；

3.理解數形結合的思想.

【知識梳理】

1.求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關.

(2)直接推理、計算，並在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

2.定點的探索與證明問題

(1)探索直線過定點時，可設出直線方程為y＝kx＋b，然後利用條件建立b，k等量關係進行消元，藉助於直線系的思想找出定點.

(2)從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關.

3.求解範圍問題的方法

求範圍問題的關鍵是建立求解關於某個變量的目標函數，通過求這個函數的值域確定目標的範圍，要特別注意變量的取值範圍.

4.圓錐曲線中常見最值的解題方法

(1)幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現幾何特徵及意義，則考慮利用圖形性質來解決；

【微點提醒】

1.直線與橢圓位置關係的有關結論(供選用)

(1)過橢圓外一點總有兩條直線與橢圓相切；

(2)過橢圓上一點有且僅有一條直線與橢圓相切；

(3)過橢圓內一點的直線均與橢圓相交.

2.直線與拋物線位置關係的有關結論(供選用)

(1)過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點，兩條切線和一條與對稱軸平行或重合的直線；

(2)過拋物線上一點總有兩條直線與拋物線有且只有一個公共點，一條切線和一條與對稱軸平行或重合的直線；

(3)過拋物線內一點只有一條直線與拋物線有且只有一個公共點，一條與對稱軸平行或重合的直線.

【疑誤辨析】

【考點聚焦】

考點一　最值問題

角度1　利用幾何性質求最值

角度2　利用基本不等式或二次函數求最值

【規律方法】　圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是幾何方法，即通過利用 圓錐曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；二是代數方法，即把要求最值的幾何量或代數表達式表示為某個(些)變量的函數(解析式)，然後利用函數方法、不等式方法等進行求解.

考點二　範圍問題

【規律方法】　解決圓錐曲線中的取值範圍問題應考慮的五個方面

(1)利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關係，從而確定參數的取值範圍；

(2)利用已知參數的範圍，求新參數的範圍，解這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關係；

(3)利用隱含的不等關係建立不等式，從而求出參數的取值範圍；

(4)利用已知的不等關係構造不等式，從而求出參數的取值範圍；

(5)利用求函數的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數，求其值域，從而確定參數的取值範圍.