拓撲的基本常識（淺談拓撲）

2023-09-19 02:44:35 1

字典或詞典裡給出「拓撲學(topology)」的意思是指對不受形狀或大小變化影響的幾何圖形或固體物體性質的研究。在數學上，拓撲是一個非常抽象的概念，有嚴格的定義。本文將從簡單的例子出發，力爭把「拓撲」這兩個字講清楚，錯誤在所難免，肯請多多批評指正。本文主要分為五個部分：一、簡單的例子；二、拓撲性質與拓撲變換；三、三個著名問題；四、連續、度量空間、開集和拓撲空間；五、高斯-博內定理。

一、簡單的例子

先看兩個簡單的例子，藉此說明「不受形狀或大小變化影響的幾何圖形的性質」。例1，「平面上三角形的內角和為180度」，這是中學學到的知識，這個性質是不受三角形的形狀和大小影響的。不管是普通三角形、等邊三角形還是直角三角形，不管是作業本上畫的小三角形還是宇宙中用三顆恆星構成的超級大三角形，內角和都是180度。強調一點，必須得是曲率為0的平面上的三角形才可以。因為正曲率曲面上的三角形內角和大於180度，負曲率曲面上的三角形內角和小於180度。平面上三角形的這個性質是一個特例，並不是嚴格和一般的拓撲性質，不過能夠說明「不受形狀或大小變化影響的幾何圖形的性質」。

例2，見圖1中的八個圖形，a、b、c、d分別對應漢字中的「日」、「中」、「田」、「目」，而e、f、g、h是它們的變形。問題：「日」、「中」、「田」、「目」四個圖形中哪些可以不重複地一筆畫出來？哪些不能？經過嘗試可以知道，「日」和「中」可以不重複地一筆畫出來，而「田」和「目」則不可以。這些圖形中的點可以分成兩類：從一個點出發的線段的數目是奇數的稱為奇點；從一個點出發的線段的數目是偶數的稱為偶點。如果圖形中所有的點都是偶點，就可從圖形的任意點出發，不重複地把圖形一筆畫出。如果圖形中只有兩個奇點，可從其中一個奇點出發把圖形不重複地一筆畫出，最後回到另一個奇點。如果圖形中奇點的個數多於兩個，就不能把圖形不重複一筆畫出。

圖1 用於說明拓撲性質的八個平面圖形（g是平面圖形）

e、f、g、h分別與a、b、c、d對應，是變形後的圖形，e、f與a、b一樣可以一筆畫出，而g、h和c、d一樣不能一筆畫出。「能否不重複地一筆畫出來」這個性質與圖形的形狀和大小無關，而與線段的數目以及它們之間的連接關係有關，是拓撲性質。

二、拓撲性質與拓撲變換

圖1下面圖形是上面圖形的變形（deformation，或者稱為變換），變形之後「能否不重複地一筆畫出來」這個拓撲性質（topological property）沒有發生變化，那麼什麼樣的變換才能夠保證這個性質不變呢？ 在數學上這樣的變換叫做「拓撲變換」，也叫「同胚(homeomorphic)映射」，定義如下：

設X和Y是拓撲空間，映射 f ：X→Y稱為同胚映射，若 f 滿足如下條件：1、是一一映射；2、是滿射；3、是連續的映射；4、逆映射也是連續的。

在同胚映射下不變的性質稱為拓撲性質。定義中拓撲空間是一個非常抽象的概念，空間兩個字可以近似看成是集合（集合中含有元素），集合中定義了拓撲這個東西，就稱為拓撲空間（我們將在後面對拓撲空間進行深入介紹），在拓撲空間中可以研究映射的連續性。a和e之間就存在一個同胚映射，我們以此為例進行解釋。一一映射就一個點只能對應一個點，不能一個點對應多個點，也不能多個點對應一個點。滿射的意思是e中不能有富餘的點，就是e中的每個點都能在a中找到對應的點。連續映射其實就是要保持點的鄰近性質不變，比如圖a中有兩個點是彼此鄰近的，那麼它們映射到圖e中後也得是彼此鄰近的才行。同胚映射，用通俗的說就是「不撕裂(tearing)，不粘連(gluing)」，但是「可彎曲，可拉伸（stretching），可壓縮」。

圖2給出了一個有意思的拓撲圖形，問題：a和b之間存在一個同胚映射嗎？簡單看，似乎應該把右面的黑環斷開，把白色大環拿到外面，然後再把黑環接上。這樣就不是同胚映射了，因為存在撕裂和粘連。但是是存在同胚映射實現a到b的變換的，見圖3，其中只利用了彎曲、拉伸和壓縮，沒有利用撕裂和粘連，所以圖2中a和b是同胚的。

圖2 有意思的拓撲圖形（來自網絡）

圖3 不撕裂，不粘連的變換方法（來自網絡）

三、三個著名問題

下面再舉三個著名例子，這三個問題在拓撲學發展中非常重要。

1、七橋問題

見圖4，有一條大河，河上有兩個島，一個大島，一個小島。大島總共有4座橋與兩岸相連，小島總共有2座橋與兩岸相連，兩島之間有1座橋相連。問題：一個步行者能不能不重複、不遺漏地一次走完七座橋，最後回到出發點。大數學家歐拉把它轉化成一個幾何圖形問題，並給出了答案：不能。這個問題同樣與形狀和大小無關，可以抽象為b圖給出的由點和線組成的圖。這就是前面介紹的一筆畫問題，奇點多於2個，所以不能不重複的一筆畫出。

圖4 七橋問題（來自網絡）

2、Euler定理

如果一個凸多面體的頂點數是v、稜數是e 、面數是 f ，那麼它們總有這樣的關係：f v – e = 2。我們可以利用圖5給出的立方體做一個簡單的驗證，立方體的頂點數v=8、稜數e=12 、面數 f=6，可以計算出 f v – e = 2，確實符合定理。當然別的凸多面體也都符合這個定理。

圖5 立方體

這個的定理還存在一個等價的表達：球面上一個連通的圖的節點數v (相當於凸多面體的頂點)，枝數l (相當於凸多面體的邊)以及它分隔球面所成的面塊數 f (相當於凸多面體的面)滿足公式 f - l v = 2。見圖6給出的足球，一般的標準足球是由12個正五邊形和20個正六邊形組成的，所以面塊數 f =32。對於足球，枝數(就是兩個面塊的公共邊界線) l = 90，節點數(就是三個面塊的公共點) v = 60，通過簡單的計算可知其也符合定理。

為什麼是等價表達？其實很簡單，把球面每個凸起面塊都磨平，就是一個凸多面體。

圖6 足球

上面是球面上的連通圖，如果換成環面（見圖7）會有什麼區別呢？環面上一個連通圖若分隔環面成一些簡單面塊（即沒有洞的面塊），則面塊數 f，圖的枝數l和節點數v，滿足公式 f - l v = 0。從這裡可以看出球面和環面的不同，兩者是拓撲不等價的，它們之間不存在拓撲變換。

圖7 環面（來自網絡）

3、四色問題

四色問題也叫四色定理，是世界近代三大數學難題之一，難度遠遠大於七橋問題。這個問題說的是每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。四色定理的本質是二維平面的固有屬性。關於四色問題，有一個很有趣的故事，19世紀末期，有一位著名數學家閔可夫斯基，一天他剛走進教室，有一個學生就問：「如果把地圖上共同邊界的國家都塗成不同的顏色，那麼畫一幅地圖只用4種顏色就夠了。您能解釋其中的道理嗎？」 閔可夫斯基笑了笑，對學生們說：「這是一個著名的數學難題，它之所以一直沒有得到解決，那僅僅是由於沒有頂尖的數學家來解決它。」說完拿起粉筆，要當堂解決這個問題。下課的鈴聲響了，閔可夫斯基沒能解決這個問題，一連好幾天，他都沒能解決這個問題，十分尷尬。

1976年，科學家利用電子計算機上，用了1200個小時，作了100億個判斷，最終證明了四色定理，轟動了世界。但計算機證明終究只是在龐大的數量優勢上取得成功，無法給出令人信服的思考過程。這並不符合數學嚴密的邏輯體系，至今仍有無數數學愛好者投身其中研究。

四、連續、度量空間、開集和拓撲空間

在拓撲變換中存在一個重要的概念——「連續」(continuous)，利用「連續」才能定義拓撲變換。數學上連續映射的定義如下：設(X, d )和(Y, ρ )是兩個度量空間，f 為這兩個空間之間的一個映射，f : X → Y，x0 ∈ X，如果對任意 ε > 0，存在δ > 0，使得 X 中所有滿足 d (x, x0 ) < δ 的 x，有

ρ ( f (x), f (x0) ) < ε

則稱映射 f 在 x0 連續，若 f 在 X 的每一點都連續，則稱映射 f 在 X 上連續。

前面已經介紹過連續映射是要保持點的鄰近性質不變，定義中x和x0是X中鄰近的兩個點，映射到Y中後，變為 f(x)和 f (x0)，也是彼此鄰近的，鄰近是用距離這個概念表達的。定義中提到了度量空間(Metric Space)，度量就是距離，簡單的說度量空間就是在元素之間定義了距離這種結構的集合，連續映射的定義中 ρ 和 d都是距離。下面給出的是度量空間的定義：

所謂度量空間（X, d），是指在其中定義了距離（或度量）d 這種結構的集合X，d 是定義在X×X上且對所有x, y, z∈X，滿足以下公理的函數：

1、d(x,y) ≥0, 且d為有限的非負實數；

2、若且唯若x=y時，d(x,y)=0，；

3、d(x,y)= d(y,x)，這一條叫做對稱性；

4、d(x,y) ≤ d(x, z) d(y, z) ，這一條叫做三角不等式。

這四條要求常被稱為距離公理（或度量公理）。度量空間（X, d）常常被簡記為X。

在連續映射的定義中利用了距離的概念，而在拓撲空間中可以不利用距離的概念而定義連續性。為了深入對此進行說明，先看下面的定理：

度量空間 X 到 Y 的映射 f 是連續的充分必要條件是Y 的任何開子集的原像是 X 的開子集，閉子集的原像是閉子集。

從這個定理可以看出，有開集的概念就可以不利用距離而直接定義連續性了。那麼什麼叫開集呢？

開集(open set)：若G的每一點都是內點，就稱G為開集。

那麼什麼是內點呢？

內點：設X是度量空間，集合G ⊂X，元素x0∈X，如果存在x0的鄰域{x | d(x, x0) < δ}，則稱x0為G的內點。

圖8給出了內點的示意圖。灰色區域是集合G，x0是內點。灰色區域邊界上的點不是內點，所以如果要求G是開集，那麼不能包含邊界。中學講的開區間，比如（0, 1），也是不包含邊界點的。

圖8 內點示意圖

定義內點、鄰域和開集都用到了距離的概念。如何脫離距離而直接定義開集呢？還得再看開集的性質。度量空間中的開集具有下列性質：⑴ 全空間和空集是開集；⑵ 任意多個開集的並是開集；⑶ 有限個開集的交是開集。

數學上可以直接利用開集的性質來定義開集。這一點如何理解呢？大家都吃過水果，但是「水果」的定義究竟應該是什麼呢？水果中包含蘋果、梨、西瓜等具體的水果，把蘋果、梨、西瓜等具體的水果的共同性質拿出來就是水果的定義。所以水果可以定義為：富含水分的植物的果實。理解了這一點就可以看下面的拓撲空間的定義了：

設X是一個非空集合，X 的一個子集族τ稱為X的一個拓撲，如果它滿足：（1）X 本身和空集都屬於τ；（2）τ中任意多個成員的併集仍在τ中；（3）τ中有限多個成員的交集仍在τ中。定義中的三個條件稱為拓撲公理。稱集合X連同它的拓撲τ為一個拓撲空間，記作（X, τ）。稱τ中的成員為這個拓撲空間的開集。

定義中「子集族」就是「子集的集合」，其實就是開集的集合，「X 本身和空集都屬於τ」的意思就是「全空間和空集是開集」；「τ中任意多個成員的併集仍在τ中」的意思就是「任意多個開集的並是開集」；「τ中有限多個成員的交集仍在τ中」的意思就是「有限個開集的交是開集」。拓撲空間的核心是直接利用開集的性質直接定義了開集，而不是利用距離定義開集。在拓撲空間中就可以脫離距離的定義而直接利用開集定義映射的連續性，有了連續映射，就可以定義拓撲變換進而研究拓撲性質。

五、高斯-博內定理(Gauss-Bonnet theorem)

卡爾·弗裡德裡希·高斯發現了該定理的一個版本但從未發表，皮埃爾·奧西安·博內1848年發表了該定理的一個特例，所以這個定理被稱為高斯-博內定理。定理是關於曲面曲率的積分和拓撲間聯繫的一項重要表述，內容如下：

設M是一個緊的二維黎曼流形，∂M是其邊界。令K為M的高斯曲率，kg為∂M的測地曲率。則有

其中dA是該曲面的面積元，ds是M邊界的線元。此處χ(M)是M的歐拉示性數。這個定理對於非數學專業的同學是難於理解的，不過我們可以舉三個簡單的例子來說明這個定理。第一個是平面上的「圓」（見圖9，一個簡單的二維黎曼流形），標準的圓形(半徑為r)，由於在平面上，所以高斯曲率K=0，這樣高斯博內定理中第一個積分為0；第二個積分是沿著邊界的積分，因為圓是對稱的，測地曲率為常數，kg=1/r，邊界的長度為2πr，所以這個積分應該是2π，平面χ(M)=1，符合定理。

圖9 平面上的圓

第二個例子是球面，假設球半徑為r，由於球面沒有邊界，所以第二個積分是0。第一個積分中，高斯曲率也是常數，K=1/r2，而圓的表面積為4πr2，所以第一個積分值為4π，球面χ(M)=2，也符合定理。當我們對球面做拓撲變換，比如變換成橢球面，那麼定理也是成立的。第三個例子是環面（見圖7），這時χ(M)=0，定理左面的兩個積分和肯定為0。這顯示出了平面、球面和環面是拓撲不等價的，歐拉示性數不同。關於環面和球面的歐拉示性數和前面介紹的關於凸多面體的Euler定理是一致的。