數學閱讀與數學實踐（閱讀數學了解數學）

2023-09-11 01:32:30 1

作者 | 黃玉霞 餘慶純

本文經作者授權發布作為數學文化徵文活動的參考文獻供讀者參閱. 原文載於福建教育，2022（19）.

[摘要] 數學閱讀能力是學生的一項重要數學能力。教師須從學生視角把脈數學閱讀教學的重點和難點，有針對性地給予學生數學閱讀策略與方法等方面的指導，以有效地提升學生的數學閱讀能力。本文以張景中先生的《數學家的眼光》一書的閱讀教學實踐為例，闡述如何引導學生欣賞數學，提煉數學閱讀方法，理解數學學科本質，提升數學認知水平與交流能力。

[關鍵詞]數學閱讀；拓展；方法策略

[作者簡介]黃玉霞，莆田市教師進修學院，高級教師；餘慶純，華東師範大學數學科學學院

數學閱讀，指對數學語言、術語、公式、圖表等的感知和識別，對新概念的吸收和理解，是一個融「假設」「證明」「想像」「推理」於一體的積極認知過程。學生開展數學閱讀，須基於數學思維，從數學的視角來認知、理解、汲取數學信息，進而推理，從具象中發展抽象思維。數學閱讀和一般文本閱讀一樣，包含對閱讀材料的分析、記憶等心理活動因素。數學學科具有符號性、邏輯性、嚴謹性和抽象性等特點，故而數學閱讀不同於一般文本閱讀，數學閱讀的主要任務包括深度閱讀思考、分析理解、掌握運用數學核心知識、領會數學思想方法等。

數學閱讀具有重要的教育價值：豐富學生的數學背景知識，拓展學生的數學視野，促進學生對數學知識技能的理解、掌握，培養學生對數學的好奇心和興趣，幫助學生領悟數學核心的思想與方法、積累基本的數學經驗，引導學生感悟數學家攻堅克難的優良品質、形成良好的數學眼光與思維方式，引領學生賞析數理人文、品味數學文化。

《數學家的眼光》系「教育部基礎教育課程教材發展中心中小學生閱讀指導目錄(2020年版)」中唯一一本初中數學讀物。《數學家的眼光》原有5章23小節，後面增補到6章34小節。此書從一系列中小學生熟悉的問題入手，引導學生體驗、感悟「如何從眾所周知的事實出發，挖掘趣味的數學規律並進行實際應用」，展現數學的知識源流、功能定位、審美娛樂與多元文化。

筆者以《數學家的眼光》閱讀教學實踐為例，提煉數學閱讀的策略、方法，旨在為師生閱讀數學、了解數學、欣賞數學提供一些實踐參考。

一、整體閱讀獲感知

教師在初步通讀、瀏覽整本書後，可甄別各章節內容適合哪個學段或哪個層次的學生閱讀。例如，對八年級學生，教師可以以《數學家的眼光》第四章中的「三角形裡一個點」為切入口，引導學生在比較閱讀中感悟數學閱讀的特徵。筆者要求學生閱讀「三角形裡一個點」的12頁內容，記錄、回答問題：對比閱讀12頁的文科閱讀材料，讀懂需要多長時間？數學閱讀過程中，我們需要做哪些準備(需要準備哪些輔助材料、工具)才能更好地理解內容？通過學習反思、問卷調查、課堂對話、深度訪談等方式，筆者發現學生對數學閱讀的特點已形成了整體感知。

第一，數學高度抽象，需要進行邏輯推理。數學閱讀過程中，學生須捕捉材料中的相關數學術語和符號，調用已有知識背景讀透它們，並根據數學相關定理分析它們之間的邏輯關係，最終達到對材料的理解，形成知識架構。

第二，數學語言精準、精確。數學結論對錯分明，不存在似是而非或模稜兩可的表述。「三角形裡一個點」有很多數學結論，表述上一些細微的不同導致數學內涵大相逕庭。《數學家的眼光》中其他各章節的小故事涉及的數學語言也都有精準含義。

第三，數學知識有整體的邏輯並「言必有據」。數學閱讀中，對新出現的數學結論，學生不能孤立地看待，而要聯繫相關知識，進行聯想分析，形成完整的體系結構。「三角形裡一個點」閱讀中，對從平凡到不平凡的幾個結論間的關聯，學生須深思、多想，不斷內化後構建體系。數學表達很大程度上是一個推理過程，前後表達之間常常存在因果關係，推理過程中存在命題的必要性、充分性邏輯連貫。可以說，數學推理的每一步都是有根據的。

第四，數學閱讀往往是數形結合的閱讀過程。數學閱讀需要建立靈活的自動化的語言轉化機制，而這也正是數學閱讀區別於其他閱讀的最明顯的特徵。在「三角形裡一個點」中，學生對幾個結論的推導都需要結合圖形，須熟識文字、符號、圖形語言相互對應的詞彙，能準確進行「翻譯與轉化」，並結合圖形做分析、推理。

通過整體閱讀，學生能直觀地感受到：數學閱讀注重邏輯性與抽象性，體現在複雜的運算，嚴密的推理論證，文字語言、符號語言和圖形語言之間的靈活轉換等過程中。通過整體閱讀，學生還初步感悟到一些基本的數學閱讀方法，包括概括、比較、聯想、綜合等。

二、問題導讀促分析

閱讀前先看封面、書名、作者及目錄，學生自然而然會有很多聯想和疑問。教師可引導學生從數學的角度提出問題，例如，數學家的眼光到底有什麼獨特之處？書中的數學視角是如何形成的？你能不能從生活中提煉出一些數學問題？

《數學家的眼光》裡有很多有挑戰性的問題，且縱深拓展，學生不易理解。例如，「雞兔同籠問題」雖由小學高年級知識引出，卻一直延伸到高等代數的線性方程，給出了知識發展的整個體系。教師須幫助學生梳理素材並提煉出主問題，例如，對於「三角形裡一個點」，筆者梳理了一個導讀提綱：平凡到不平凡的結論有幾個？分別是什麼結論？你能獨立思考完成哪幾個結論的推導？你不能理解的結論障礙點在哪裡？相關結論間有何聯繫？這些問題引導學生關注關鍵信息、提煉關鍵結論、分析與解決問題，提升了學生數學閱讀的效率與質量。又如，「三角形的內角和」中提到數學家陳省身的質疑：「人們常說，三角形內角和等於180°。但是，這是不對的！」大家都認可的定理，為什麼陳省身說不對？筆者要求學生閱讀《數學家的眼光》第一章第一節，隨後分析、回答以下問題：為什麼陳省身說這種看問題的方法不對？為什麼要從外角和的視角描述「三角形外角和是360°」？這個更一般、更簡單的規律指向了怎麼樣的數學本質？對「多邊形外角和等於360°」這個規律如何做一般化推廣？著名的「陳氏類」理論是如何形成的？

數學家能從人們司空見慣的生活現象中看到數學的核心本質，這樣的數學視角內隱且抽象，需要教師提煉、梳理。通過問題導讀，學生能更有效地梳理數學文本內容，形成、發展數學抽象能力和數學建模能力。

三、圈畫釋義育習慣

通過「圈畫」「標註」，學生可以快速找到數學文本材料中的關鍵信息(主要的條件、存疑的術語、疑惑的概念等)。具體而言，學生可以用相關的符號在文本上記錄下自己閱讀時的感受、疑問、思考，如用「…」「?」「---」「△」等符號標示重點詞句、疑難困惑等。當然，圈畫的內容須是重點內容，學生圈畫過多，反而會分散注意力、幹擾思維。

數學閱讀離不開思考，故而學生須在數學文本旁及時記錄下自己的思維過程(哪怕只是思維過程的片段)。學生可記錄自己對問題的解讀，即對該問題的不同理解或由該問題引發的聯想，指出問題存在的紕漏等。記錄過程若涉及系列觀點，學生須標註邏輯順序，例如，「三角形裡一個點」從平凡到不平凡的結論有六個，閱讀過程中就有必要梳理並加以標註，釐清條理，便於後續橫向、縱向比較。在重要的文字、段落前，學生可加上特殊的符號，以提醒自己再次閱讀時注意。此外，面對函數等問題，學生要有數形結合意識，要養成畫草圖的習慣，並在圖形上標註出「條件的轉換」；面對數學實際應用問題，學生須旁註困惑、猜想，將數學文本信息轉化為促進自身數學理解所需的信息。

四、語言互譯練表達

語言是數學的本質要素，數學學習首先是數學語言的學習。教師要有意識設置一些訓練學生語言轉化能力的情境，以合適的難度、合理的步驟打磨學生數學語言基本功。數學教學中，教師融合使用文字語言、符號語言和圖形語言，通過三種語言的相互補充、相互轉換幫助學生更好地掌握數學知識、發展數學思維能力。學生實現數學理解最重要的策略就是「內部言語轉換」，即將閱讀內容轉化為自己容易接受的語言形式。具體而言，學生可通過過程性實踐、建構性閱讀，把問題的抽象描述轉化為具體表達，即「創造性用自己的語言描述問題」。例如，「三角形裡一個點」給學生展示了多個從平凡到不平凡的結論，用的是文字語言，且均涉及幾何邏輯推理，學生須藉助圖形語言，使這些文字描述直觀、可視。教師可引導學生解讀文字信息，畫出圖形，並將相關條件標註在圖形上，隨後用符號語言進行步步有據的推理論證。規範學生的數學符號語言是初中數學教學的一大難點，故而在課堂教學的回顧、小結、提升、歸納等環節，教師須時時強調規範書寫的重要性，引導學生養成用準確的數學符號語言表達的習慣，打通學生數學三種語言轉換、互譯的關鍵節點，以從根本上提升學生的數學閱讀能力。

五、評價提動培能力

學生數學閱讀的成效需要外顯化的評價呈現方式，即閱讀過程需要評價來監控，閱讀方法需要評價來調整。我們不妨引導學生通過「說(說題、說解決方案、說感受)、畫(畫思維導圖)、寫(寫解題過程、概括閱讀的主要內容)、辯、做」等多種多樣的方式來表達他們的所思、所得、所感、所悟，例如，筆者要求學生做思維導圖，對《數學家的眼光》整本書內容進行列表梳理，並給出思維圖示——將閱讀信息由繁到簡、有無序到有序、由散狀到結構化進行組織，從而實現「理解性記憶」和「結構化思考」。筆者展示部分作品，引導學生從數學的視角分析、評述這些作品，挖掘思維導圖的內涵，實現與文本對話、與作者的思想對話。在學生開展有效閱讀的基礎上，筆者穿插著提出問題：「-3.5，，，0.161161116」中，有理數有。筆者提醒學生注意，不少有理數判別題中出現「」這個數。為什麼頻繁用這個分數？相鄰近的其他分數為何不用？是否有什麼講究？有學生分享閱讀體會：是祖衝之計算圓周率過程中的一個關鍵節點，是圓周率的近似值，被稱為「約率」，誤差較大。而被稱為「密率」或「祖率」，密率又被稱為的「最佳近似分數」，不僅精確，還有很多妙處。與「約率」案例類似，「洗衣服的數學」「用圓規畫線段」等和生活實踐密切相關的故事均能很好地激發學生的數學學習興趣、訓練學生的數學表達能力。教學中，教師要搭建展示平臺，展示學生「說、畫、寫、辯、做」的成果，利用過程性評價，讓學生的數學閱讀過程可見、數學思考過程可見、數學成長過程可見。

通過瀏覽《數學家的眼光》，學生讀標題猜內容、讀目錄品結構、讀前言找價值、讀概要究內涵，在有限的時間內鎖定了自己最感興趣的內容，為後續進行品味性閱讀鋪路。學生邊讀邊思考，逐步掌握分析、概括、比較、綜合、聯想等閱讀方法，實現「以讀促思、以思促達」。針對一些邏輯性較強、推理能力要求較高的專題，學生則可進行探求性閱讀，完成部分特定任務；也可以合作學習，與他人組成共讀小組，把多項任務整合成某個項目，制訂研究計劃，搜集、整理相關材料，交流、探討、發布閱讀成果，實現數學閱讀的項目化學習。

蘇霍姆林斯基在《給教師的建議》中提到，教師應該有一批書籍，用來擴充學生在大綱教材方面的知識。可見，引導學生閱讀數學拓展性書籍具有極其重要的意義。通過數學閱讀，學生學會從數學視角觀察世界，養成理性思考問題的習慣，能夠用數學語言規範地表達自己的見解；既了解數學史實、品讀數學內涵，又欣賞數學之美、感悟數學之用，還掌握數學閱讀方法、提升學習能力，向抽象的數學世界邁進了一大步。

注：本文系福建省教育科學「十三五」規劃立項課題「核心素養導向下提升初中學生數學閱讀能力的策略研究」(編號FJJKCG20-312)的成果。

。