數學常用核心公式（紀念我們背過的公式）

2023-09-09 19:36:46

說起數學，可是蝌蚪君曾經揮之不去的噩夢……

今天是國際數學節，也是國際圓周率日，在這個重要的日子裡，一起來回憶一下讀書時背過的圓周率：山巔一寺一壺酒（3.1415926535 8979323846……）~~~

你還能記得多少位？

今天，蝌蚪君重新發出了來自靈魂深處的拷問↓↓

數學是什麼？

音樂家說：數學是世界上最和諧的音符。

植物物學家說：世界上沒有比數學更美的花朵。

美學家說：哪裡有數學，哪裡才有真正的美。

哲學家說：你可以不相信上帝，但是你必需相信數學，世界什麼都在變，唯有數學是永恆的。

搜尋地外生命的科學家說：我們能夠解碼的第一份來自地外世界的信息將以數學形式發送，因為數學是最為廣泛接受的宇宙通用語言。

蝌蚪君說：當我們厭惡數學時，我們厭惡的是數學嗎？（突然覺得自己好有哲理）

作者：達納·麥肯齊（美）

出版社：北京聯合出版公司·未讀

出版時間：2018年3月

圖書分類：科普 / 數學

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偉大的數學公式巡禮

NO.1 世上最簡單的公式

稍有數學閱歷的人都有這樣的直覺，凡是簡潔的公式都會給人以美感。

而 1 1=2，這是所有公式中最簡單明了的一個了，我們只有把它的發明歸功於上帝。

公式背後的故事

儘管從遠古起人們都心照不宣地知道 1＋1＝2，但直到1557年的某一天，這一等式才寫成類似於我們今天的形式。

也就是說等號這個每個等式中都有的成分直到16世紀才第一次出場亮相。

NO.2 畢達哥拉斯定理

即勾股定理。『勾三股四弦五』，這一定理是如此地深入每一個地球人的心靈。

它是人類早期發現並證明的重要數學定理之一（公元前約三千年的古巴比倫書版中就有記載），也是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一。

勾股定理（畢達哥拉斯定理）約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。

公式背後的故事

畢達哥拉斯是古希臘傳統數學和哲學的創始人。以他的名字命名的學派是一個個人崇拜的秘密組織，鼓吹節慾、尊長和一夫一妻制。

他認為，世界萬物都是由數字統治的，他用數字推斷人的命運，如奇數被認為與男性有關，而偶數與女性有關。他發現了稱之為『完全數』的數字，也就是那些等於自己全部真因子之和的數字。

比如：6（6 ＝ 1 ＋ 2 ＋ 3）和 28（28 ＝ 1 ＋ 2 ＋ 4 ＋ 7 ＋ 14）。已知的完全數共有47 個，隨著計算機發展速度的日益加快，每隔幾年就會發現新的完全數。

NO.3 圓周率的發現

目前，人類已經能得到圓周率的10萬億位精度。不過現代科技領域使用的圓周率值，有十幾位已經足夠了。

如果用35位精度的圓周率值，來計算一個能把太陽系包起來的圓的周長，誤差還不到質子直徑的百萬分之一。

現在的人計算圓周率，多數是為了驗證計算機的計算能力，還有就是為了興趣。

公式背後的故事——布豐投針實驗

在地板上畫一系列間距為2釐米的平行線，然後把一根長度為1釐米的針扔在地板上。那麼，這根針與地板上的線條相交的概率是多少呢？

1733年，法國博物學家布豐第一次提出了這個問題。

1777年，布豐自己解決了這個問題——這個概率值是1/π。

看到這個事實，阿基米德會目瞪口呆、劉徽會無語凝眸。所以，如果上帝創造了整數，而且他也創造了π，那或許上帝其實是一臺計算機。

NO.4 費馬最後的定理

1637年的某一天，法國律師兼業餘數學家費馬，在一本書的空白處寫下了下面一段話：

任何立方數都不可能寫為兩個立方數之和的形式，也沒有任何四次方數可以寫成另外兩個四次方數的形式。普遍地說，任何二次以上的冪都不可能寫成另外兩個同次冪的形式。
即，當指數n大於2時，上述方程沒有整數解。
在寫下上面的猜想後，這個天生羞澀、沉默寡言的人卻跟世界玩了一個惡作劇，他又寫道：
對此我已經找到了一個真正絕妙的證明，但這裡空白處太小，寫不下。
然而，他怎料到，他隨意寫下的兩句手記，卻讓350年間的無數數學家耗盡一生，也沒能找到那個證明。直到1994年，英國人安德魯·懷爾斯才證明了費馬最後定理。
公式背後的故事
以費馬定理為主題的紀念郵票
德國人數學家沃爾夫斯凱爾因追求一位漂亮女性被拒絕，遂決定在午夜鐘聲響起時開槍自殺。他認真地安排好後事，寫下遺囑。他的高效率使得所有的事情略早於午夜的時限就辦完了。
為了消磨最後的幾個小時，他到圖書室翻閱數學書籍：一篇關於費馬大定理證明的論文……他不知不覺拿起了筆，一行一行進行計算……
然後，天亮了。
沃爾夫斯凱爾為自己發現並改正了論文中的一個漏洞感到無比驕傲，原來的絕望和悲傷消失了，數學將他從死神身邊喚回。
1908年，得享天年的沃爾夫斯凱爾寫下了他新的遺囑：他財產中的一大部分作為一個獎，規定獎給任何能證明費馬大定理的人，獎金是10萬馬克，按現在的幣值超過100萬英鎊。
這是他對那個挽救過其生命的蓋世難題的報恩方式。
NO.5 微積分基本定理
微積分是微分和積分的總稱，『無限細分』就是微分，『無限求和』就是積分。
比如，炮彈飛出炮膛的瞬間速度就是微分的概念，炮彈每個瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念。
微積分的誕生是數學史上，也是人類歷史上最偉大最有影響的創舉，因為從此數學家和科學家在討論連續變化的數量時便有了科學依據。
化學、生物學、地理學、現代信息技術等學科運用微積分的方法推導演繹出各種新的公式、定理，促成了後來一切科學和技術領域的革命。
離開微積分，人類將停止前進的步伐。恩格斯曾說：『在一切理論成就中，未必再有什麼像17世紀下半葉微積分的發現那樣被看作人類精神的最高勝利了。』
公式背後的故事
蔡志忠漫畫《人生是時間的微積分》——少林寺石碑
牛頓和萊布尼茨幾乎是同時獨立地發明了微積分，萊布尼茨稍晚幾年。在1673到1675年之間的某個時刻，萊布尼茨曾與牛頓聯繫，想知道牛頓到底已經知道了些什麼，並提出了某種交換信息的建議：你告訴我這個，我就告訴你那個。
牛頓在回信中透露了微積分基本定理，但把它隱藏在一個難以破解的字母易位字謎中。牛頓顯然並不想與萊布尼茨分享他的發現。
他只是要留下伏筆，一旦萊布尼茨以後說這一定理是他自己的，牛頓就可以此證明他才是第一個發明人。敢情偉大的科學家也這麼小心眼兒呢！
NO.6 牛頓定律
公式背後的故事
1684年，牛頓的朋友埃德蒙頓·哈雷問牛頓能否證明行星的軌道是橢圓，牛頓說他能。結果三年後，牛頓對這一問題的論證便形成了《自然哲學的數學原理》，該書第一部分就開宗明義敘述了牛頓三大定律，為將來的一切物理學書籍定下了基調。
哈雷慷慨解囊，贊助牛頓出版了此書，他的這一義舉最終以一種非常獨特的方式得到了回報：除了對蘋果和行星以外，牛頓的理論也可應用於彗星。因為彗星的軌道是橢圓，所以它們一定會一次又一次地回歸。
哈雷意識到，人們曾多次觀察到一顆特定彗星，它以大約75年的周期回歸：1456年、1531年、1606年和1682年。於是他正確地預測了這顆彗星將會在1758年（那時他早已離世）再次回歸。
從那時起，這顆彗星每隔75至76年就會回歸一次，這就是著名的哈雷彗星。
NO.7 麥克斯韋方程組
麥克斯韋方程最偉大的功績就是將電現象、磁現象與光的本質有機地統一在完整的電磁場理論中。
這組公式融合了電的高斯定律、磁的高斯定律、法拉第定律以及安培定律。
比較謙虛的評價是：『一般地，宇宙間任何的電磁現象，皆可由此方程組解釋。』
麥克斯韋揭示了電場和磁場是一種基本媒介，並發現光速c是一個不變的基本物理常數：磁場是由電流產生的，電場是由變化的磁場引發的。
而且說到底，光只不過就是傳播中的電磁波，是振動中的磁場與電場相互交織、精緻編就的織錦，而磁場與電場就好像一幅紡織品上的經線與緯線。
公式背後的故事
MacBook產生的美麗電磁場
麥克斯韋方程預言電磁波可以以不同的波長存在，例如我們今天叫作微波、紅外線、紫外線和X射線的那些光波就都是電磁波。它們預言這樣的波可以通過振蕩電場產生。
1901年，義大利人古列爾莫·馬可尼正是利用這一原理髮射了第一束無線電波。它們暗示光本身可以產生壓強。
果然不錯，研究人員在20世紀發現了『太陽風』，它揭開了彗星尾部所指的方向背離太陽的千古之謎。而在1905年，它們又為阿爾伯特·愛因斯坦指明了發現相對論的道路。
NO.8 質能公式
又一個簡潔公式的典範！同時也又一次刷新了人類的世界觀。
質能方程深刻地揭示了質量與能量之間的關係，在此之前，人們毫無疑問的認為：質量是質量，能量是能量，兩者間沒有聯繫，但在相對論力學中，能量和質量是可互換的。
公式背後的故事
愛因斯坦其實並沒有證明E ＝ mc² ！他曾經做過近似處理，因此他只是證明了E ≈ mc²（也就是說，能量與物質大體等價）。他沒有真正下手確定這一近似計算的誤差是多少。
看上去他似乎根本就不在乎——作為一位不拘形骸的天才、數學課的懶狗，為什麼要用迂腐的數學證明來糟蹋這樣一個很有趣、很有感染力的想法？
當然，愛因斯坦和其他人後來曾經回過頭來對這個最重要的原理進行了更為嚴格的論證。
當你抬頭仰望星空的時候，是否有過想問為什麼的衝動？但浩瀚的宇宙卻從來不吐露一個字。
阿基米德、克卜勒、高斯、牛頓、麥克斯韋、愛因斯坦……和我們一樣也曾仰望星空。
他們用代表著人類的智慧，向宇宙提問、與宇宙對話，將關於宇宙的秘密翻譯成我們能懂的語言，這種語言就是如上這些光耀後世的數學公式。
每一個偉大公式都是人類文明的集中體現，每一個偉大公式見證的，都是科學的美麗與人類的尊嚴，每一個偉大的公式背後，都有一段值得回味的故事。
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