相對性原理是什麼意思（梳理相對性原理與協變性的關係）

2023-11-10 18:46:48 2

作者：小熊慢慢說

1.1 調皮的滷蛋

想像一個場景。

你坐在火車站候車室裡，手機上翻著娛樂新聞漸覺沒了意思，伸個懶腰恰好碰到身旁的碗裝泡麵。嗯······要不來一碗？於是，你開始撕包裝，放佐料，倒開水，5分鐘後，香味撲鼻而來。你小心翼翼地夾起圓潤Q彈的滷蛋，正當送到嘴邊時，一個滋溜，滷蛋豎直掉了下去，直直落入碗中，濺起油膩的湯汁，弄髒新買的衣服。

要向你推薦洗衣粉嗎？不是的，其實我想問你：如果坐在勻速前進的火車上，重複上述操作——「撕包裝，放佐料，倒開水，5分鐘後，小心夾起滷蛋，正當送到嘴邊時，一個滋溜，滷蛋豎直掉下去」，接下來會怎樣？

A. 滷蛋仍然落入碗中，濺起油膩的湯汁；

B. 滷蛋緩慢落入碗中，湯汁平靜無波瀾；

C. 滷蛋漂浮半空，同桌目瞪口呆。

你可能會說：「你特麼不是在逗我！情況顯然和候車室裡的一樣嘛，選A。」恭喜，你發現了物理學中一條非常重要的原理——力學相對性原理。

其實早在1632年，偉大的物理學家伽利略就在《關於哥白尼和託勒密兩大世界體系的對話》一書中，寫到類似場景要表達的思想，只不過當時沒有火車（1804年瓦特才造出了蒸汽機車），他用的是輪船。

伽利略認為：在一個勻速而封閉的船艙裡，你看到單擺的擺動，水向瓶中滴落，蟲子的飛行，魚的遊動等力學現象，和在地面上看到的沒什麼分別，也就是我們無法通過觀察這些現象來區分船是靜止的還是運動的。

用現代術語概括伽利略的這一思想就是：

一個對於慣性系作勻速直線運動的其他參考系，其內部所發生的一切物理過程，都不受系統作為整體的勻速直線運動的影響。

這就是力學相對性原理。怎麼理解這句話呢？

相對性原理表達了兩個深刻的內涵。

「

為表述的直觀和簡潔，下文所提相對性原理皆指伽利略的力學相對性原理，不涉及愛因斯坦的狹義或廣義相對性原理及洛倫茲變換。

」

1.2 相對性原理的內涵之一

第一個內涵是，我們無法通過各種力學現象（或力學實驗）區分參考系是靜止的還是做勻速直線運動。

什麼意思呢？比如下面這個場景，在沒有看《鐵達尼號》的情況下，你能分辨得出這段掀桌子事件是在船上發生的，還是在某個貴族的家裡呢？

又或者，即使你知道這是在船上發生的，你還能通過桌子的翻轉，茶碗的掉落，判斷船是停在海上，還是朝著未知的礁石駛去呢？

嗯，想必你有感覺了。我們其實無法通過諸如桌子的翻轉，茶飯的掉落等力學現象，去判斷靜止和勻速運動。你看，我們甚至連主角身在海上還是地面都搞不清楚。

似乎有點道理哈。

不過，當你從Rose驚詫的表情中回過神時，或許你會感到這好平常，好簡單哦，簡單到也沒什麼令人驚奇的呀？因為，如果桌子不這麼翻，茶碗不這麼掉，而是按照別的什麼方式運動，那才叫詭異吶！

是的，相對性原理簡單到理所當然，甚至不值一提。然而，正是這麼簡單的原理，卻拯救了日心說，讓日心說在地心說面前重新站起來，革新了人們對宇宙的認識，所以它真的很重要。

另一方面，既然我們無法通過各種力學現象區分參考系是靜止還是勻速直線運動，那麼它倆其實沒什麼分別，乾脆把它們統稱為「慣性系」吧。這樣，當以地面為參考系時，地面是慣性系，以勻速行駛的火車為參考系時，火車是慣性系。我們不再區分靜止系和勻速系。概括地說：所有的慣性系平權。

1.2 相對性原理的內涵之二

第二個內涵是，對力學規律而言，一切慣性系都是等價的。

「

愛因斯坦更進一步，不僅對力學規律，對所有的物理規律，一切慣性系都是等價的。

」

如果說第一個內涵告訴我們，在任何慣性系下做相同的事情（比如釋放一個小球），它們的表現一樣，第二內涵則告訴我們，不僅力學現象的表現一樣，它們滿足的力學規律也是一樣的。

比如，你在海南從5米高處自由釋放一個小球，約1秒落地，軌跡是直線，當你在夏威夷同樣從5米高處自由釋放小球，也約1秒落地，軌跡也是直線，不多一秒也不少一秒，軌跡更不會是曲線。為啥？因為它們一定滿足相同的力學規律——自由落體公式。

萬一在兩地的落體公式有差異，人們將觀察到小球不同的運動表現，類似滷蛋問題BC選項的詭異場景將會發生。萬一在火車上或是輪船裡，在鄉間茅屋或是高樓大廈，人們看到的力學現象依賴不同的力學規律，那世界早就亂套了。

所以，力學規律在不同慣性系下一定要保持相同的數學形式。也就是說，力學規律要服從相對性原理。

關於相對性原理的討論，我們就談到這裡，重要的結論總結如下：

①所有的慣性系平權。（談的是慣性系）

②力學規律在不同慣性系下要保持相同的數學形式（談的是力學規律）

讓我們一睹發現這一重要原理的科學家——伽利略，然後開啟新的探索。

2. 到別的慣性系耍耍

2.1 伽利略變換與協變性

我們已經知道，所有慣性系下的力學規律要相同，那麼有個問題便會立馬冒出來：

當科學家研究出一個力學規律，發現它在某一慣性系下成立，怎麼才能知道它在別的慣性系裡也成立呢？

由於力學規律主要研究力與運動的關係，那麼，為了回答這個問題，得先思考另一個問題：我們是怎麼掌握物體的運動狀態的呢？

大致的操作一定是這樣的：先觀察和記錄物體的時空坐標（即時間和空間的坐標信息），然後把時空坐標代入到一系列的物理方程中去，一通計算下來，就得到物體運動的完整信息，預測物體未來會怎麼樣。這裡什麼是至關重要的呢？

是時空坐標。因為若沒有時空坐標，對運動的預測就成了無源之水，力學規律也將無從表述。

下面我們來看看時空坐標的表述。如下圖所示，我們可以把質點相對於系的位置坐標和所處時刻記錄為，它表達了質點什麼時刻在什麼位置，這就是時空坐標。

為討論不同慣性系下的力學規律，我們自然要問：在別的慣性系裡，質點的時空坐標又是多少呢？

比如說，在相對地面以速度勻速行駛的火車系裡，質點的時空坐標與有什麼關係呢？

伽利略告訴我們，他們滿足下列關係：

這一組時空坐標的轉換方式，被稱為伽利略變換。它的意義在於，如果已知物體在某個慣性系下的時空坐標，通過伽利略變換，就能知道物體在別的慣性系下的時空坐標。它為兩個慣性系搭起了溝通的橋梁，已知我的就能推知你的。（伽利略變換的推導過程非常簡單，在任何一本普通物理教科書中都有提到，我就不複製粘貼了，感興趣的朋友自行查閱）

「

另外，如果在第一個式子兩端分別對時間求導，我們還能得到兩個慣性系下的速度變換公式：.

」

有了伽利略變換這座橋，我們就可以拿它檢驗物理規律是否服從相對性原理。

怎麼檢驗呢？我們舉個例子。

比如，在 系用時空坐標，加上物質的某些固有屬性（像質量，電荷量什麼的），分別定義了三個物理量

為了看系中的情況，我們對上面上個物理量施加伽利略變換，就得到了系中對應的三個物理量在施加伽利略變換後具有協變性。協變的意思是，各個物理量協同起來一起變，使關係式仍成立。

所以，答案也就出來了。若物理規律在伽利略變換下具有協變性，它就不僅在一個慣性系下成立，在其他慣性系下也會成立，即服從相對性原理。

那麼，日常生活中被廣泛應用的力學規律，具有協變性嗎？

2.2 牛頓運動定律具有協變性嗎？

我們在小學二年級就知道，牛頓運動定律是所有力學規律的基石。所以，要想回答所有力學規律是否具有協變性，自然得先回答牛頓運動定律是否具有協變性。我們不妨以牛頓第二定律為例，證明一下。

牛頓第二定律的常見數學形式是。這三個物理量中，質量 是物體的固有屬性，在不同慣性系下一定具有相同的值，是個不變量。外力 也是一個不變量，想想看，若在勻速運動火車系下用彈簧測力計豎直拉一個物塊，彈簧伸長，顯示拉力，在地面系看到的拉力也會是，力也是個不變量。

這樣，為證明不同慣性系下牛頓第二定律的數學形式是否不變，就變成了看加速度在伽利略變換下是否保持不變。

在系中，加速度被表達為

在相對地面以速度 勻速運動的火車系中，利用速度變換公式，加速度就是

我們發現，火車系的加速度 跟地面系的加速度恰好一樣。因此，牛頓第二定律在火車系和地面系具有相同的數學形式。

所以，牛頓第二定律具有協變性，也就表明了牛頓第二定律服從相對性原理。

要注意的是，不只是牛頓第二定律，牛頓力學的所有定律都具有協變性。證明方法和上面展示的類似，你可以嘗試去做做。

總結一下：若力學規律在伽利略變換下具有協變性，它就不僅在一個慣性系下成立，在其他慣性系下也成立，即服從力學相對性原理。

3. 滷蛋給你智慧

雖然滷蛋弄髒了你新買的衣服，可它的美味讓你回味無窮，你邊吃邊嘮叨著：「具有協變性就服從相對性原理······具有協變性就服從相對性原理······吃滷蛋就要張嘴咯······那麼······張嘴就要吃滷蛋嗎？」

哎呀，這可是直達靈魂的一問！嗯，真是了不起的滷蛋。

我們在小學二年級就學過，若由可以推出，由卻不一定能推出。既然物理規律具有協變性表明它服從相對性原理，那麼反過來，服從相對性原理的物理規律，一定具有協變性嗎？

為了回答這個問題，最好的辦法莫過於找到一個例子，也就是找到一個物理規律，它雖服從相對性原理，但是不具有協變性。找哪一個呢？

要不先試試機械能守恆定律吧。

那麼，機械能守恆定律服從相對性原理嗎？

我們知道牛頓運動定律是服從相對性原理的，它就像獲得上帝頒發的通行證，憑著伽利略變換，能在所有慣性系間暢行無阻。它又像一顆種子，把它種在毫無分別的土壤（慣性系）中，也一定能結出相同的果實。功能原理就是這眾多果實之一，機械能守恆定律作為功能原理的一個推論，一定是服從相對性原理。

「

在中學，機械能守恆定律被表述為：對系統而言，若除重力（或彈簧彈力）以外的力不做功，系統內只有動能和重力勢能相互轉化，總的機械能保持不變。

」

那麼最關鍵的問題是，機械能守恆定律具有協變性嗎？

4. 向實驗要答案

呃······滷蛋面吃完了嗎？要不把桌面收拾一下吧，我們得做點實驗了。

雖然火車的餐桌沒實驗室裡的方便，但足夠應付接下來的實驗了。目的就是，找到一個例子，使得機械能守恆定律在伽利略變換下不具有協變性。

「

接下來會有一些數值計算，不是很難，請耐心看完，對隨後的深入分析很重要。

」

4.1 "小球振一振"實驗

好的，桌面已經被收拾得光滑如鏡了。你從旅行包裡拿出一根輕彈簧（勁度係數，原長）和兩個相同的小球（質量），將兩小球分別連接在彈簧兩端，靜置於桌面上。然後保持彈簧中點位置不變，對稱地把兩小球拉開一定距離，使彈簧伸長，然後同時鬆手。

就像下面動圖展示的這樣。

4.1.1 火車系看"振一振"

把火車設為慣性系。不難發現， 彈簧雙振子系統內除了彈力做功之外，沒有其他力做功，系統的機械能一定守恆。在火車系，我們分別討論彈簧處於最長和原長兩個狀態時系統的機械能情況。

彈簧最長時，倆球動能為，彈簧有彈性勢能；

當彈簧原長時，彈性勢能為，由機械能守恆，可以知道兩小球此時的速度大小為，只是方向相反。

嗯，火車裡的情況挺簡單。我們再看地面系裡會怎樣。

4.1.2 地面系看"振一振"

把地面設為慣性系。假設火車相對地面的速度。我們同樣去討論彈簧處於最長和原長時系統的機械能情況。

彈簧最長時，由於變換慣性系不改變彈簧的長度，所以伽利略變換下的彈性勢能依然是，但動能不一樣，利用伽利略速度變換公式，易知倆球速度大小變成了，所以倆球的動能都為。所以此時系統機械能為；

當彈簧原長時，彈性勢能為，跟火車系的一樣。但是倆小球的速度，由於疊加火車速度的緣故變得不一樣了，左小球速度為，右小球速度為。這樣，倆小球的動能分別為，。此時系統的機械能還是。

4.1.3 "振一振"的結果

哎呀，計算發現，機械能在火車系是，地面系是，不同慣性系下雖然機械能的具體數值不一樣，但在兩慣性系下依然守恆，保持協變性。

但是請注意，我們的實驗目標並沒有達到，重申一下我們的目的，希望找到機械能在變換參考系後不守恆的情況。雖如此，但所謂失敗是成功的媽媽，先把這個例子留著吧，說不定對接下來的分析有幫助吶。

4.2 「小球滾一滾」實驗

接下來我們改變策略。設計下面這個"小球滾一滾"實驗，看看目標能否實現。

我們將一個光滑的的圓弧軌道置於桌面，與其平滑連接。相對與桌面，我們再給小球一個初速度，小球隨後會衝上圓弧軌道。

我們再一次討論火車系和地面系下，小球子在桌面和最高點的機械能分別是多少。

4.2.1 火車系看"滾一滾"

火車系的情況依然很簡單。由於系統內只有重力做功，機械能當然是守恆的。(以桌面為零勢能面)

小球在桌面時，動能為，若以桌面為零勢能面，那麼系統機械能就是。

當小球在最高點時，由機械能守恆 ，可求得小球上升的最大高度為。

4.2.2 地面系看"滾一滾"

現在轉向地面系，情況會怎樣呢？

小球在桌面時，由於疊加了火車的速度，小球速度變成了，動能相應地變為。而重力勢能顯然還是為零，所以系統機械能是。

當小球在最高點時，由於高度還是，所以重力勢能是 。現在看在最高點的動能。小球雖然豎直速度為，但是在地面系的人看來，小球會有水平速度，所以動能為。這樣，小球在最高點的機械能為。

4.2.3 "滾一滾"的結果

在小球滾一滾實驗中，機械能在火車系是，而在地面系是。

啊哈！計算結果表明，對地面系的人看來，機械能守恆定律在伽利略變換下不具有協變性！

那麼，你會興奮地以為自己推翻了機械能守恆定律，或者斷定機械能守恆定律不服從相對性原理嗎？

5. 區分不同的問題場景

第一點：發現小球在地面系的機械能不守恆，不代表在地面系機械能守恆定律不成立。

為什麼這麼講呢？因為某一系統的機械能具體為多少，以及在初末狀態相不相等，跟機械能守恆定律本身成不成立是兩碼事。通俗地說，一個談的是「事」，一個談的是「規律」，"事"可以不同，但「規律「要相同。

比如下面這個場景。

船上的船員自由釋放一個小球，他看到小球做自由落體運動，而岸邊的人看到小球卻做平拋運動。雖然運動狀態不同，但是所滿足的物理規律是一樣的。你看，「事兒」不同，但「規律」相同。

所以，如果你想在地面系維護機械能守恆的尊嚴，只需要把"小球滾一滾"這個實驗原封不動地搬到地面系再做一次就可以了。

也就是要注意區分兩類問題場景，一類是在不同慣性系下觀察同一事件，另一個是在不同慣性系下分別觀察相同的事件。請體會下邊兒兩張圖的區別。

所以，當我們在談某個物理規律是否具有協變性，以及是否服從相對性原理時，要注意我們談的是「在不同慣性系下分別觀察相同的事件，它們的物理規律相同」，也就是上圖的第二個場景，而不是第一個。

6. 規律的條件可能不協變

回顧「小球振一振」與「小球滾一滾」兩個實驗，為什麼在前一個實驗中，小球的機械能可以在兩個慣性系下都能保持不變，而在後一個實驗中卻不行呢？

原因還得從機械能守恆定律的成立條件上去找。

在「振一振」的實驗中，兩小球和彈簧構成的系統除了系統內彈力做功之外，其他的外力都不做功，不僅如此， 系統所受的合外力還為零！無論在火車系還是地面系觀察，皆是如此。

反觀「滾一滾」實驗就不一樣了。如下圖所示，小球在衝上圓弧軌道的過程中，圓弧軌道對小球是有彈力的。對火車系來說，由於彈力始終與小球速度方向垂直，所以它對小球不做功，機械能守恆。

然而對地面系的人來說，小球由於疊加了火車的速度，使得小球的速度方向與軌道彈力的方向並不是始終垂直的，而是夾了個鈍角，導致軌道彈力對小球做了負功。而這，恰恰就是地面系的人觀察到機械能減少的真正原因。如下圖所示。

對比兩個實驗，怎麼才能在兩個慣性系下都看到系統的機械能守恆呢？那就是不僅要使系統所受合外力不做功，而且連合外力為得為零，也就是系統得是完全「孤立」的，外界對它不能有一丁點兒的作用。很顯然，這樣的條件在日常生活中極為苛刻，因為幾乎找不到絕對「孤立」的力學系統。

所以，若在別的慣性系下觀察到系統的機械能不守恆，這事兒再正常不過了，沒必要大驚小怪。

通過這兩個實驗，我們還可以知道，有些物理規律不具有協變性，是跟它的成立條件不協變有關的。比如「滾一滾」實驗中，機械能守恆定律的成立的成立條件——合外力不做功——在火車系得到了滿足，可是到了地面系就天然地不滿足，也就導致了地面系觀察不到小球的機械能守恆。

7. 相對性原理與協變性的關係

說了這麼多，到了該總結的時候。我們已經知道，物理規律具有協變性就一定服從相對性原理，而服從相對性原理，卻不一定具有協變性。

造成這種差別的原因又是什麼呢？

其實，通過分析牛頓第二定律和機械能守恆定律這兩個例子，答案已經出來了，關鍵是看規律的附加條件。

有些規律——比如牛頓運動定律——沒有附加條件，它們往往更基本更普遍，對這類規律而言，具有協變性和服從相對原理是等價的。

而有些規律——比如機械能守恆定律——是有附加條件的（如初始條件、邊界條件、規範條件等），這類條件通常不具有協變性，由此就導致了這些規律不具有協變性。而不具有協變性卻仍然服從相對性原理，是由於這些規律本身蘊含在更一般的規律之中，可由這些更普遍的規律推導得出（如功能原理對於機械能守恆定律）。

講到這裡，我不由得想起了北京大學陳秉乾教授在講庫侖定律時說過的一句話：「物理規律是分層次的，上一層的規律要管著下一層的規律。」

那麼，為什麼普遍的物理規律要服從相對性原理，並具有協變性呢？它們有沒有被某個上層的物理規律管著呢？

而這是另一個宏大的話題了，那就是科學家們絞盡腦汁要搞明白的守恆性與對稱性，這是人類對美的終極追求。

8. 旅程的結束

勻速的火車開始減速，我們的旅程也即將到達終點。從調皮的滷蛋到小球的實驗，我們講了很多東西：

從相對性原理的內涵到伽利略變換與物理規律的協變性，我們了解到，上帝並不偏愛某一特殊的慣性系，上帝是最公平的存在。

從滷蛋帶給我們的思考到向實驗要答案，我們發現，有些命題正著說成立，反著說卻不一定成立，從正反兩個方面去思考問題，恰恰能讓我們對規律的認識更加深刻而明晰。也正是由於這個思考讓我們知道，不要試圖把協變性與相對性原理捆綁在一起，它們並不是互為充要條件的。

9. 參考文獻

感興趣的朋友若想從理論高度深入了解力學相對性原理與協變性的關係，可以看看下面列出文獻，尤其是形成結論的文獻[1] [2] [3] [4] [5]。

[1] 趙凱華.澄清對相對論性原理和協變性的誤解[J].大學物理,2020,39(01):12-13.

[2] 編者的話[J].大學物理,2002(03):18.

[3] 朱如曾.相對性原理對普遍定律和非普遍定律參考系變換性質的不同要求——關於協變性疑難的進一步討論[J].大學物理,2002(03):19-23.

[4] 朱如曾.相對性原理及其對自然界定律的協變性要求——機械能守恆定律協變性疑難的解答[J].大學物理,2000(02):15-19 26.

[5] 喀興林.編者的話[J].大學物理,2000(02):27-29 34.

[6] 高炳坤.「機械能守恆定律是否遵從相對性原理」辨[J].大學物理,2000(02):20-22.

[7] 高炳坤.機械能守恆定律和相對性原理[J].大學物理,1999(01):3-5.

[8] 蔡伯濂.「關於力學相對性原理與機械能守恆的來稿綜述[J].大學物理,1994(01):20-22.

[9] 管靖.力學相對性原理與機械能[J].大學物理,1991(11):21-24.

[10] 趙凱華.新概念物理教程力學[M]北京：高等教育出版社,2004.

致謝

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來源：小熊慢慢說

編輯：槿知

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