高中必修一數學三角函數公式整理（冪函數與二次函數）

2023-10-09 16:20:20 2

考試要求，知識梳理

1.通過具體實例，結合5種冪函數函數圖象，理解它們的變化規律，了解冪函數；

2.理解二次函數的圖象和性質，能用二次函數、方程、不等式之間的關係解決簡單問題．

【知識梳理】

1.冪函數

(1)冪函數的定義

(2)常見的5種冪函數的圖象

(3)冪函數的性質

①冪函數在(0，＋∞)上都有定義；

②當α>0時，冪函數的圖象都過點(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調遞增；

③當α<0時，冪函數的圖象都過點(1，1)，且在(0，＋∞)上單調遞減.

2.二次函數

(1)二次函數解析式的三種形式：

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標為(m，n).

零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點.

(2)二次函數的圖象和性質

【微點提醒】

1.二次函數的單調性、最值與拋物線的開口方向和對稱軸及給定區間的範圍有關.

考點一　冪函數的圖象和性質

【規律方法】　1.對於冪函數圖象的掌握只要抓住在第一象限內三條線分第一象限為六個區域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區域.根據α<0，0<α1的取值確定位置後，其餘象限部分由奇偶性決定.

2.在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，選擇適當的函數，藉助其單調性進行比較.

考點二　二次函數的解析式

【規律方法】　求二次函數的解析式，一般用待定係數法，其關鍵是根據已知條件恰當選擇二次函數解析式的形式，一般選擇規律如下：

考點三　二次函數的圖象及應用

【規律方法】1.研究二次函數圖象應從「三點一線一開口」進行分析，「三點」中有一個點是頂點，另兩個點是拋物線上關於對稱軸對稱的兩個點，常取與x軸的交點；「一線」是指對稱軸這條直線；「一開口」是指拋物線的開口方向.

2.求解與二次函數有關的不等式問題，可藉助二次函數的圖象特徵，分析不等關係成立的條件.

考點四　二次函數的性質

角度1　二次函數的單調性與最值

角度2　二次函數的恆成立問題

【規律方法】　1.二次函數最值問題的解法：抓住「三點一軸」數形結合，三點是指區間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合配方法，根據函數的單調性及分類討論的思想求解.

2.由不等式恆成立求參數取值範圍的思路及關鍵

(1)一般有兩個解題思路：一是分離參數；二是不分離參數.

(2)兩種思路都是將問題歸結為求函數的最值，至於用哪種方法，關鍵是看參數是否已分離.這兩個思路的依據是：a≥f(x)恆成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恆成立⇔a≤f(x)min.

【反思與感悟】

1.冪函數y＝xα(α∈R)圖象的特徵

α>0時，圖象過原點和(1，1)點，在第一象限的部分「上升」；α<0時，圖象不過原點，經過(1，1)點在第一象限的部分「下降」，反之也成立.

2.求二次函數的解析式就是確定函數式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中a，b，c的值.應根據題設條件選用適當的表達形式，用待定係數法確定相應字母的值.

3.二次函數與一元二次不等式密切相關，藉助二次函數的圖象和性質，可直觀地解決與不等式有關的問題.

4.二次函數的單調性與對稱軸緊密相連，二次函數的最值問題要根據其圖象以及所給區間與對稱軸的關係確定.

【易錯防範】

1.冪函數的圖象一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限，至於是否出現在第二、三象限內，要看函數的奇偶性；冪函數的圖象最多只能同時出現在兩個象限內；如果冪函數圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點.

2.對於函數y＝ax2＋bx＋c，要認為它是二次函數，就必須滿足a≠0，當題目條件中未說明a≠0時，就要討論a＝0和a≠0兩種情況.