一維諧振子是線性諧振子嗎（從一維諧振子看波粒二象性的由來及其物理本質）
2023-11-30 12:56:37 3
【引言】：自3月18日始，我在本頭條號上刊出了關於一維諧振子與光波粒二象方面的系列文章，這些文章都是節選自我的長篇論文《從一維諧振子看波粒二象性的由來及其物理本質》中的相關章節，有些讀者知道這事後，希望我能夠在本號上將該文全貌刊出；為了滿足他們的要求，也為了促進大家關於這方面問題更好地討論與交流，我重新編排了該文的板式，現借「今日頭條」這塊寶地全文發出，希望致力於這方面研究與探索的朋友們多多交流與指教，在此也感謝大家的厚愛與支持！
康德曾說：」世界上有兩樣東西能夠震撼人們的心靈：一件是我們心中崇高的道德標準，另一件是我們頭頂上燦爛的星空「——藉此，與在「今日頭條」上堅持不懈地仰望星空的朋友們共勉！
從一維諧振子看波粒二象性的由來及其物理本質
司 今
（安徽蚌埠學院 蚌埠 233000）
摘 要 ：一維諧振子是物理學中及其的重要模型，它不僅體現在經典力學、經典電磁學中，在量子力學中也能體現出來，可以這麼說，自普朗克用一維諧振子模型研究黑體輻射成功以後，愛因斯坦的光量子、德布羅意的物質波、玻爾的經典原子理論、薛丁格的波函數方程都與諧振子模型有關，更深刻地講，量子力學的波粒二象性正是用一維諧振子模型去研究粒子運動的產物，沒有諧振子模型，也就沒有所謂的波粒二象性結論。
本文正是通過對一維諧振子的理解和分析，探討波粒二象性的起源與本質，為現代物理學正本清源開闢了一條新思路。
關鍵詞：一維諧振子 電磁波 能量子 光子 德布羅意波 薛丁格波函數 波粒二象性
中圖分類號： 0441 文獻標識碼：A
0、 引言
現代物理學真正起源於伽利略的運動學與克卜勒的天體運動論，牛頓為了給克卜勒第三定律找到本源，在繼承伽利略、克卜勒理論的精華後提出了萬有引力定律，麥克斯韋在繼承經典的電與磁經驗理論後，提出了電磁場統一及電磁波理論，愛因斯坦為了給萬有引力找到根源，在繼承伽利略、牛頓思想精華後提出了時空彎曲產生力的觀點……現代量子力學也是在繼承前輩和自身精華後，提出認知新觀點的集成；不過特別要注意，現代量子力學拓展的精華不是什麼波粒二象性、量子糾纏、機率波等匪夷所思的概念，而是能量、角動量的轉化與守恆，自旋、磁矩與電磁之間的場效應。
讓人困惑的物理描述不應是對物理本質的描述，如波粒二象性問題，二種在自然界根本就不可兼容的東西非要柔和到一起，那就肯定會讓人匪夷所思；對此困惑的釋解，解鈴還須繫鈴人，這就須從波粒二象性得出的歷史資料上去查找讓人產生困惑的根源。
任何波的產生都來自于波源的振動，波動只是傳播波源振動的一種形態，因此，研究波問題就繞不開波源振動，大自然中最簡單的波源振動是簡諧振動。
回顧波史，從簡諧振動到簡諧波動，從LC振蕩到偶極振子，從電子諧振子到電子軌道躍遷，這每一步變遷無不體現了一維諧振子及其演變的身影，本文正是想從一維諧振子入手，去揭開現代物理學「波粒二象性」迷霧之旅。
1、一維諧振動與旋轉矢量圓
1.1、一維諧振動
簡諧振動是大自然中眾多振動中最簡潔的形式，也是研究波運動的基礎，這種振動最簡單的例子就是彈簧振子的振動，如圖-1所示：
圖-1
一個長度為L的彈簧振子，當我們用力將它拉成L A長度時，然後釋放振子，它就會做往復不停地作簡諧振動；在彈簧振子振動一個周期過程中，其最大振幅為A，它分布在1和2處，振子最大的平動速度為v(max)，它處在彈簧振子的平衡位置O處，彈簧振子的彈性係數是k=mω²，它是彈簧振子在振動中的固有屬性，這個諧振運動的方程是a=﹣ω²x，其微分形式是
這個方程的解是
.由彈簧振子角頻率ω=(k/m)½可得彈簧振子的振動頻率γ=ω/2π，振動周期T=2πω，由此可見，彈簧振子的振動頻率與周期都是由k、m來決定，是振子系統固有的物理屬性。
諧振子周期振動中的最大動能為
最大勢能為
.諧振子振動過程遵循動勢能轉化與守恆，即
也就是說，諧振系統所具有的總能量既可以用Ek=mv²(max)/2來描述，也可以用Ep=kA²/2來描述，二者是對一個問題的二種描述方式，而且這個系統在彈性範圍內，振幅A是可以連續變化的，也就是說諧振系統中的最大勢能或最大動能在彈性限度內的變化值是連續的，這與後來電磁學中偶極振子振動產生的電磁波輻射相通，但與普朗克引用的一維電諧振子振動輻射光能量子的過程則不同。
1.2、一維諧振動的旋轉矢量描述
為了便於簡諧振動研究，我們也可以採用旋轉矢量圓來描述，即一維矢量在複平面上旋轉；如圖-2所示，自Ox軸的原點O作一矢量A，使它的模等於諧振動的振幅A，並使矢量A在圖面內繞O點逆時針方向旋轉，其角速度的大小與諧振動的角頻率ω相等，這個A矢量就叫做旋轉矢量。
圖-2
在t=0時刻，矢量A的矢端在M0位置，它與ox軸的夾角為φ；在任意時刻t，矢量A的矢端在M位置。在這過程中，矢量A沿逆時針方向轉了角度ωt，它與ox軸間的夾角為ωt φ.由此可見，這時矢量A的矢端在ox軸上的投影為x=Acos(ωt φ)，當然，矢量A在oy軸上的投影是y= Asin(ωt φ)，與諧振運動方程微分形式的解x=Acos(ωt φ)比較，矢量A的矢端M恰是沿x軸作作諧振動物體在t時刻相對原點o的位移。因此，旋轉矢量A的矢端M在ox軸上的投影點P的運動，可表示物體在ox軸上的諧振動。旋轉矢量A以確定的角速度ω旋轉一周，相當於諧振動物體在x軸上作一次完全振動。因此，旋轉矢量A旋轉一周所需要的時間與諧振動的周期相等。在t=0時刻，A與ox軸的夾角φ對應於諧振動的初相，在t時刻，A與ox軸的夾角ωt φ則跟諧振動的相位相對應。
圖-3
旋轉矢量圓是研究諧振動的一種比較直觀的方法，可以避免一些繁瑣的計算，在分析諧振動及其合成時常常用到，但必須指出，旋轉矢量本身並不做諧振動，而是旋轉矢量端點的投影點在做諧振動；因此，一維矢量旋轉也常被放在複平面上用複數來描述，如圖-3所示，y=Acos(ωt φ) iAsin(ωt φ)，其實部為實數簡諧振動，也是真實的簡諧振動，虛部為輔助量，不是真實的簡諧振動，但它與真實的簡諧振動相位差為π/2，寫成歐拉三角函數形式就是
引入矢量圓以後，我們對諧振動能量的描述可以放到圓運動上，即可用Ek=hγ=mv²來描述諧振子能量，其中v是諧振子振幅矢量A端點的圓周運動速度，這個速度就是諧振子振動的最大速度v(max)，γ是A端點轉動的角頻率，如此可以得出
認識到這一點很重要，因為它直接締造了量子力學中「波粒二象性」的出現！
圖-4
諧振動也可用餘弦曲線來描述，圖-4就是彈簧振子、旋轉矢量、餘弦曲線描述的對應關係。
2、簡諧波方程
如圖-5所示，設波源的振動在x=0處，其振動的表達式為
在波上任意點P，它到O點距離為x，則P點處質點的振動比O點振動落後t0=x/v時間，即t0時P點的振動狀態與O點在t=0時的狀態相同，因為P為任意點，所以任意時刻t下，O點在波上運動的表達式就是的表達式就是
這就是描述O點的諧振波方程，寫成波長形式就是
值得注意的是：簡諧波上組成點可以看做是諧振動中的振子，振子本身在波傳播方向上沒有平動，只在波形上下振動（橫波）或左右振動（縱波），如圖-6所示。
圖-5 圖-6
因此說，這種振動產生的波只能通過媒介物來傳播振子上下振動的能量，或者說與波方向垂直振動的能量；因此，對波傳遞能量大小就可以用波源諧振系統的能量來描述，即
也可以這樣認為，任何一級波波動一個周期所具有的波能都與波源振動一個周期的振動能量相等，波周期傳遞的能量就是波源振子振動一個周期的能量，即波源諧振子只是一個能量轉換器，它將外界輸入的能量轉換成以周期能量脈衝，然後以波的形式傳遞出去，這對偶極振子、電子諧振子等輻射電磁波都一樣適用。
我們知道，諧振動可以用旋轉矢量圓描述，那麼簡諧波運動也可以用旋轉矢量圓來描述，這種描述有二種方式：
（1）、矢量圓的平面波描述，就是把諧振波源看做是一個矢量圓，旋轉矢量A矢端在xoy平面以v速度旋轉的同時，又以v速度沿x軸向運動，這就會產生一個餘弦波運動，如圖-7表示的就是諧振平面餘弦波，這種波傳遞的能量就是波源諧振子所具有的能量。
圖-7
（2）、矢量圓的立體波描述，就是把諧振波源看做是一個矢量圓，旋轉矢量A矢端在yox平面旋轉的同時，又以v速度沿z軸向運動，這就會產生一個柱螺旋運動形式，如圖-8表示的就是諧振立體柱螺旋的餘弦波形式。
圖-8
可見，諧振子振幅矢量產生的平面波可以描繪成餘弦波，而餘弦波曲線又可以看做是柱螺旋曲線的一個正投影，柱螺旋所代表的運動可以描述成一個諧振振幅矢量圓平面沿垂直波方向做勻速運動的合成，這正是一維諧振子轉換成用矢量圓描述的重要性之根本所在。
當引入矢量旋轉圓以後，對諧振波波動一周期的能量描述可以有三種方法，即
這三種描述是等價的，其中A為波源振子m的最大振幅，k=m/ω²是波源諧振係數，r是以A=r的矢量圓半徑，γ是振幅A矢端在矢量圓上運動的頻率，v(max)是諧振子振動的最大速度，h是2π倍矢量圓的角動量，即
（注意，h的這種定義形式將會在德布羅意駐波中用到！）。
我們這裡之所以要將諧振波能量用E=hγ形式寫出來，是因為後來的量子力學在描述電子一維諧振動、粒子波中都會出現，雖然它們描述的對象不同於機械波，但與波能定量描述的思維是一致的，而且通過這種認知，可以更能看清粒子波能量的來源及其傳遞能量的本質；同時，用旋轉矢量也可以表示經典電磁學中偶極諧振子振動所發射的電磁波運動及量子力學中普朗克諧振子振動所輻射的能量子運動，進而推出愛因斯坦光量子所具有的能量及波粒二象性的本質。
因此說，簡諧波與矢量圓模型在物理學波動理論中佔有舉足輕重的位置。
3、偶極振子與電磁波發射
3.1、偶極振子與電磁波發射
經典電磁學中，電磁波發射是我們都熟知的內容，不知道大家注意了沒有：電磁波發射的物理原理是LC電磁振蕩，為了能夠發射電磁波，LC振動電路中的電容器由閉合變成開放，為了能夠更有效地發射電磁波，開式LC振蕩電路中的金屬線圈被一根細金屬導線所取代，這樣，LC振動電路就演化成了偶極子振蕩，即將電容器的二極板所帶的電荷看做是二個帶正負電荷的小球，將電子在線圈或直導線中的流動看做是靜止的，取而代之的是將帶有正負電荷的小球在做相對振動，這就稱為偶極子振動模型，如圖-9所示，這個模型極大地豐富了電磁波產生的物理內涵，也為後來普朗克用一維電子諧振子振動能夠發射能量子來解決黑體輻射問題提供了堅實的物理基礎。
圖-9
不過，這裡要討論一下：在開式LC振蕩電路中，用金屬線圈連接電容器二極板與用金屬導線連接電容器二極板所發射電磁波波形是有差異的，下面以平面電磁波為例，討論它們的差異所在。
如圖-10，耦合天線中感應線圈所產生的電磁振蕩就如同圖-11所發射電磁波區域，這時，交變的電場與磁場應處於同一平面，即H∥E，而且振蕩中磁場與電場強度變化的相位差為π/2或3π/2，由此我們得出如圖-12所示的這種裝置所發射電磁波的運動形式；但要注意，在這個發射裝置中之所以會出現H∥E，是因為線圈電流磁場是由n根導線電流磁場耦合而表現出來的整體磁場，這個磁場是與線圈截面垂直的。
圖-10 圖-11
但由於我們傳承了LC振蕩與電磁波H⊥E的思想，常認為這種裝置發射的電磁波可以用如圖-13來描述，其實這是不對的，這裡雖強調了電磁場強調變化相位差為π/2或3π/2，但卻將電場與磁場看做是H⊥E的了。
圖-12 圖-13
為了更有效發射電磁波，現代將開式LC振動電路中電容器裡的線圈改成細金屬導線，以發射波長更短的電磁波，如圖-14所示；這裡，金屬導線電流會產生環形閉合磁場，而這個磁場方向與電容器電場方向並不在一個平面，而是相互垂直，即H⊥E，而且導線電流越大，環形磁場越強，即電場與磁場強度變化的相位差為0或π，這就是我們教科書經常給出的電磁波圖形，如圖-15所示。
圖-14 圖-15
由此可見，電磁波發射天線由「線圈 電容器」變成「直導線 電容器」，它們發射時產生磁場的物理機制是不一樣的，前者遵循法拉第電磁感應原理，發射器中磁力線與電力線平行；後者則遵循安培導線電流磁場原理，電力線與磁力線垂直，前者線圈感應磁場是後者導線電流磁場的疊加態。
如果將「直導線 電容器」物理模型再改造，那就是偶極振子模型，如圖-16所示，正負電荷相互振動可以發射電磁波，並由此認為單個電子運動也輻射電磁波；由於電磁波是一種能量，因此，經典電磁學在解釋盧瑟福原子行星模型時就提出了一個謬樣推理：電子繞原子核作勻速圓周運動，因電子運動方向不斷改變，因此電子圓周運動可以看做是一種勻加速運動，這種運動應該會使電子不斷地向外空間輻射電磁波能量，所以電子運動能量就會逐漸減少，即運動速度變小，最終電子會落入原子核上，由此推理原子核與電子構成的原子就不可能穩定存在了，而事實是原子一直穩定存在，如圖-17所示；為了解決這個問題，後來玻爾提出了氫原子量子化模型。
圖-16 圖-17
單就電子運動能不能輻射電磁波而論，這個謬樣提出時，其物理基礎是不紮實的，因為電子只有在偶極子系統振動才會出現電磁波輻射，也就是說電子在運動中表現出某種周期加速與減速運動時才會形成交變的電磁場變化，而對於一個勻速圓周運動的電子，就不存在這種情況，因為圓周速度只有方向變化，卻沒有速率值變化，這就構不成像偶極子振動那樣有速率變化的情況，也就是說，站在經典電磁理論角度看，作圓周運動的電子也不可能有電磁波輻射情況出現。
可能有人會說，直導線電流可以產生磁場，圖-18所示，那不就是在發射電磁波嗎？這是一種認識誤區，因為電磁波描述的是交變電磁場運動，但這裡所具有的電場（電子電場）與磁場（電流磁場）即沒有交變性，也沒有能量輻射性（假設金屬導線無電阻），這怎麼能被視作發射電磁波了呢？
圖-18 圖-19 圖-20
至於電流導線為什麼能夠產生磁場問題，當時的經典電磁理論確實無法從物理機制上給予合理解釋，但隨著科學發展，這種現象就可以用量子力學中電子自旋磁矩問題給予很好地解釋了，即電子自旋磁矩是電子的內稟性，如圖-19所示，它在運動中這種內稟性磁場也會隨之對外界展現出來，也就是說單個電子勻速率運動是一種帶有自身電場與磁場的運動，金屬導線電流能夠對外表現出磁場性正是電子自旋磁矩耦合的宏觀磁場效應，如圖-20所示，這種電場與磁場都是電子自身固有的物理屬性，它們不不會對外產生輻射，否則電子也就不可能穩定存在了。
由此可見，從量子角度去反哺經典電磁學很有必要，這將會使聖經般的經典電磁學更豐滿，更完善。
3.2、一維偶極振子振蕩發射的電磁波方程
偶極子振蕩之所以能夠發射電磁波，是由於它是開式LC振動的簡化版，這種振動所發射的電磁波是以v速沿著球體矢徑r方向傳播的，由於電場E與磁場H相互垂直，且E和H的振動方向都與電磁波傳播方向垂直，且E和H的振動相位相同，即它們在空間傳播中，E和H是同步增大或減小的，因此，電磁波的運動方程常以E和H二個平面波方程的形式給出，即
由此可描繪出電磁波傳播圖形如圖-15所示。
不過，這裡要注意：LC振動只能發射無線電波，紅外線、可見光、紫外線都是由熾熱物體、氣體放電或其他光源激發分子或原子等微觀客體所產生的電磁輻射，x射線是用高速電子流轟擊原子中的內層電子而產生的電磁輻射，γ射線是由放射性原子衰變時發出的電磁輻射或用高能粒子與原子核碰撞所產生的電磁輻射；我們之所以要強調這一點，是因為這些超短波輻射都可以用偶極振子模型給予描述的，並且這種描述是量子力學建立之根。
4、一維電子諧振子與普朗克能量子
1900年，普朗克為了解決黑體輻射中的「紫外線災難」問題，如圖-21、22所示，提出了一個與經典物理學概念不同的新假設：金屬空腔中的電子振動可視為一維諧振子，它吸收或發射電磁輻射能量時，不像過去經典物理學所認為的那樣，可以連續地發射或吸收能量，而是以與振子的頻率成正比的能量子ε=hγ為基本單元來吸收或發射能量，這就是說，空腔壁上的帶電諧振子吸收或發射的能量只能是hγ的正整數倍，即ε=nhγ，他並假設，比例常數h對所有振子都是相同的，h叫做普朗克常數。
圖-21 圖-22
應當指出，在經典物理學中，諧振子的能量正比于振幅的平方，即E=kA²/2，而且對於給定頻率的諧振子，其振幅是任意的，這就是說，對給定頻率γ的諧振子可以具有任意連續地能量值；而按照普朗克的假設，頻率為γ的諧振子，其能量只能取1hγ,2hγ，3hγ,4hγ等不連續的值，即諧振子發射或吸收能量是不連續量子化的，可見，普朗克的這種假設與經典物理概念格格不入，也為未來物理學發展帶來新的概念。
普朗克依據他的能量子假設，用經典統計方法求得單位時間內，從溫度為T的黑體單位面積上，在頻率γ→γ dγ範圍內所輻射的能量為：
其中k為玻爾茲曼常數，h為普朗克常數。
從上述介紹中可以看出，普朗克假說中所說的電子諧振子輻射的能量子其實就是一個可獨立運動的且具有一個完整振動周期的電磁波片段，如圖-23所示，這個假說的本質是延續了經典電磁學中偶極振子振動輻射電磁波的物理模型思想；不過，偶極振子振動輻射的電磁波是連續的，而普朗克的電子諧振子振動輻射的電磁波是不連續的，即以振動周期為單位的電磁波片段形式向空間傳播。
圖-23 圖-24
還有後來稱為量子波包的東西，如圖-24，它是由不同頻率或振幅的普朗克能量子片段波相互疊加後的一種波動描述形式，這種疊加運動整體可以看作是一個能夠獨立運動的小波包體，這是普朗克能量子思想的延伸。
普朗克假說中對於一個給定振動頻率為γ的電子諧振子，其振動一個周期所吸收或輻射的能量是以ε=hγ為基本單元來進行的，這就是說，這個給定頻率的帶電諧振子吸收或發射的能量只能是hγ的正整數倍，即ε=nhγ來進行；對於另一個給定頻率為γ＇的電子諧振子，其振動一個周期所吸收或輻射的能量也是以ε＇=hγ＇為基本單元的整數倍即ε＇=nhγ＇的形式來進行，只不過二者頻率不同罷了，二式中h為比例常數，即普朗克常數。
當然，公式中的整數n並不是說電子諧振子振動一個周期可以吸收或輻射n個能量為hγ的能量子，而是吸收或輻射一個能量為hγ的n倍的能量子，即ε=n×hγ.
以上對黑體能量輻射的描述與經典物理學格格不入，其中最讓人困惑的幾個問題是：
（1）、為什麼黑體輻射電磁波能量是不連續的？
（2）、為什麼電子諧振子輻射的能量可以用ε=hγ來描述？
（3）、為什麼對於給定頻率的電子諧振子輻射的能量可以用ε=nhγ形式來描述？
（4）、對於諧振係數不同的電子諧振系統，其振動輻射的能量子大小該如何定量？
（5）、為什麼對於給定頻率的電子諧振子輻射的能量也是不連續的？
（6）、普朗克將h假設為常數有什麼物理意義？
……，……，……
對此困惑，我們想從經典物理學角度嘗試性地給予解讀：
（1）、為什麼黑體輻射的電磁波是不連續的？
普朗克黑體輻射理論是建立在一維電子諧振子概念之上的，他首先假設一個電子1在沒有形成諧振子之前是處於自由運動或靜止狀態，它與另一個電子2構成諧振系統有3種可能：
①、自由運動電子1與另一個處於靜止狀態電子2相遇，可構成一個電子諧振系統。
②、自由運動電子1與另一個處於熱運動狀態電子2相遇，可構成一個電子諧振系統。
③、靜止狀態電子1與另一個處於熱運動狀態電子2相遇，可構成一個電子諧振系統。
電子諧振子振動的能量來自於外界熱能致使電子產生熱運動而獲得，即熱運動電子之間相互碰撞來提供能量，電子諧振子在完成一個周期振動並輻射一個能量子後，它的振動就會停止，又恢復到沒有熱運動前的狀態，即不再有能力輻射光子了，只有等下一個熱運動電子來撞擊它才能產生下一次振動並輻射下一個能量子；因此說，電子諧振子釋放的電磁波能片段是間斷的，不像電磁學中偶極振子振動，由於外界提供能量是連續的，其輻射的電磁波才會是連續的；而對於一個給定的電子，它什麼時候能夠形成諧振子系統，什麼時候輻射能量子等，這在時間和空間上都是隨機的，故它輻射電磁波能量子是間歇的，不連續的。
（2）、為什麼電子諧振子輻射的能量可以用ε=hγ描述？
假設熱運動電子與另一個熱運動電子或原子核構成一個電諧振動系統，那麼，我們就可以像上述機械波或電偶極振子那樣，對電子諧振子振動最大能量的定量描述即可以採用簡諧振動中最大振動勢能Ep=kA²來定量，也可以用振動中的最大振速動能Ek=mv²來定量，還可以將振幅A看做是一個旋轉矢量，在諧振矢量圓中用E=hγ形式來定量，其中h=2πmvA或h=2πmvr是矢量圓的角動量，這種描述最符合波理論，因普朗克能量只是電子諧振子振動一個周期所發出的電磁波能量片段，因沒有質量性，故只能將該電子諧振子振動一個周期的能量用E=hγ，而且h=2πmvr也因質量不存在而無法定義，只能將其視為常數，即普朗克常數。
可見，普朗克對輻射能量子ε=hγ這種描述思想本質是將h=2πmvr常量化的結果，但並不是說經典諧振動中h=2πmvr的形式在電子諧振用旋轉矢量圓描述時就不存在了；從愛因斯坦光子波動論及玻爾原子軌道理論的描述上來看，h=2πmvr不但存在，而且還有實際的物理意義。
認清了普朗克對電子諧振子輻射能量子能量為什麼可定量描述為ε=hγ的思路，我們就可以對電子諧振子振動輻射電磁波能量的本質進行追根溯源了。
（3）、為什麼對於給定頻率的電子諧振子輻射的能量可以用ε=nhγ形式來描述？
普朗克在它的電子諧振子理論中認為，電子諧振所輻射的能量ε=hγ中將h定義為常數，由於對於一個給定的諧振子系統，其振動係數k、振動周期T和振動頻率γ都不會隨諧振子振動振幅變化而變化，因此用ε=hγ就沒有辦法區分不同振幅下諧振系統所具有的振動能量大小；為此，普朗克的辦法是將不同振幅下電子諧振子所具有的能量定義成ε=nhγ形式來描述，也就是說，對於一個給定的諧振系統，由於其振動振幅A與矢量圓角動量h=2πmvA或h=2πmvr存在正比關係。
圖-25 ε=nh×γ
如圖-25所示，假設諧振子振幅A1下對應的諧振能量為E1=h1γ，那麼振幅A2下對應的諧振能量就為E2=h2×γ=2E1=2h1×γ，.振幅A3下的振動能量為E3=h3×γ=3E1=3h1×γ……以此類推，振幅為An下的振動能量就是En=hn×γ=nE1=nh1×γ.
可見，nh1表示振幅An為A1的n數倍時，就有hn=n×h1，h1是給定頻率的諧振子在不同振幅下所具有的最小矢量圓角動量，將它假設為比例常數項，電子諧振子其他振幅下所輻射的普朗克能量子能量就是ε=nh1×γ，這就是為什麼對給定頻率的電子諧振子輻射的能量普朗克可以用ε=nhγ形式來描述的根源。
同時，我們也可以看出，對於給定頻率為γ的電子諧振子，其輻射一個能量子的能量大小不能僅用振動頻率γ來衡量，還要看它們被發射時諧振子振幅A的大小才能確定其所具有的能量大小來。
（4）、對於諧振係數不同的電子諧振系統，其振動輻射的能量子大小該如何定量？
當然，黑體中應由很多不同頻率的電子諧振系統構成，即諧振子諧振係數k值不同，它們的振動頻率γ也就不同，它們在受熱振動時就會輻射不同頻率的能量子個體，但它們輻射能量子的能量描述也是以ε=nhγ形式進行的，但公式中n、h、γ三個量的組合有變化，即在這種情況下就可以理解為ε=h×nγ，這裡h、γ是常數，nγ是指不同電子諧振子頻率γ之間相比較的n倍關係。
圖-26.ε=h×nγ
如圖-26所示，假設電子諧振子諧振係數分別為k1(γ1)、k2（γ2），並設在振動振幅均為A1時有γ2=2γ1，它們在振幅A1狀態下振動輻射能量子的能量就是ε1=hγ1，ε2=hγ2=h×2γ1；如果二個諧振子諧振頻率為γn=nγ1，在同振幅下振動輻射的能量子能量就有εn=hγn=h×nγ1定量形式存在。
通過（3）、（4）分析可以看出，愛因斯坦在解釋光電效應時所認為的「截止頻率γ0」問題是有待榷商的，因為現代物理學實驗已證明，用低頻雷射光束照射具有高頻截止頻率的晶體時也可以產生光電效應，例如用紅光雷射照射砷化鎘晶體薄片時可以產生光電效應，而用普通紅光去照射就無法產生光電效應。
其實，愛因斯坦在解釋光電效應時給出的「截止頻率γ0」，只考慮了相同振幅A下，二個不同振動頻率的電子諧振子，其γ大的輻射光子能量就大的情況，但他沒有考慮在相同頻率γ下，二個不同振振幅的電子諧振子振動輻射光子的能量也會不同，其中振幅大的輻射光子能量就大的情況，也就是說，電子諧振子振動輻射光子的能量不僅與它們的振動頻率大小有關，還與它們的振動振幅大小有關，即有
上述實驗表明：
在給定頻率γ下，不同振幅的電子諧振子輻射光子時，其能量可以用εn=nh×γ來定量描述，這就是說，對振幅為A＞A＇的二個電子諧振子，如果振幅為A的電子諧振子輻射光子的能量是ε=nh×γ，振幅為A＇的電子諧振子輻射光子的能量是ε＇=mh×γ，這裡n＞m，則有ε＞ε＇.
在給定振幅A下，不同頻率的電子諧振子輻射光子時，其能量可以用εn=h×nγ來定量描述，這就是說，對振動頻率為γ＞γ＇的二個電子諧振子，如果γ=nγ1、γ＇=mγ1，這裡n＞m，則有ε=hγ=h×nγ1＞ε＇=hγ＇=h×mγ1.
但對二個電子諧振子頻率為γ＞γ＇的系統而言，當γ＇諧振系統振幅A＇大於或等於γ諧振系統振幅A的n/m整數倍時，會有ε＇=hγ＇≥ε=hγ情況出現，這就是說，對不同振動頻率的二個電子諧振子振動系統，當一個振動頻率小但振幅足夠大時，其輻射光子的能量也可以大於或等於另一個振動頻率大但振幅足夠小的電子諧振系統輻射光子的能量。
由此可見，紅雷射在被紅寶石中的電子諧振子發射時，其頻率雖然比用普通光照射砷化鎘晶體薄片產生光電效應的截止頻率γ0要低，但由於在紅寶石中輻射紅雷射的電子諧振子振幅比輻射普通紅光的電子諧振子振幅要大，故紅雷射所具有的能量可以大於或等於頻率為γ0的普通光能量，因此用紅雷射照射砷化鎘晶體薄片可以產生光電效應，而用普通紅光照射則不可產生光電效應的根源所在。
同時，我們還可以看出，普朗克假設的電子諧振子輻射的能量子能量不僅在給定頻率下是n倍量子化輻射的，對不同頻率的電子諧振子輻射的能量子能量也是n倍量子化的。
（5）、為什麼對於給定頻率的電子諧振子輻射的能量也是不連續的？
我們知道，電子諧振子的形成是由於自由運動或熱運動電子相遇而隨機形成的，而電子熱運動的運動速度不同，就會形成不同振幅的電子諧振子，它們振動時所輻射出的能量子能量就會不同，但對於給定頻率的一維諧振子而言，其振幅可以任意取值，為什麼普朗克引用的電子諧振子振幅就不可以連續取值呢？
對此，普朗克當時也是困惑的，直到後來玻爾軌道能級理論出現，這個謎底才被揭開。
首先可以肯定的是，普朗克的一維諧振子模型是有極大缺陷的，因為他描述的電子諧振子只是對一維振動的描述，而黑體上電子真實熱運動並不是一維而是二或三維的，即是以原子形態來振動的，這就如玻爾原子軌道理論所描述的那樣，電子軌道半徑r可以看做是普朗克一維電子諧振子的振幅，不同r下電子輻射出光子的能量是不同的；又因電子軌道半徑變化遵循rn=n²×r1規律，這就是普朗克所認為的對於不同頻率的一維電子諧振子輻射能量子是不連續的，只能是以εn=h×nγ1形式輻射能量的物理內涵所在，這也與玻爾軌道能級躍理論中不同軌道電子躍遷釋放能量（光子）不同的論斷不謀而合。
（6）、普朗克將h假設為常數有什麼物理意義？
普朗克認為，在ε=nhγ公式中h只是一個比例係數，他假設h對所有的電子諧振子都相同，故稱普朗克常數，當時他按照經典熱力學統計計算得出h=6.63×10^-34J.s，後來通過愛因斯坦光電效應測定值為h=6.6252×10^-34J.s.
從物理量綱上看，h即可以認為是功率單位，又可以看作是角動量單位；從普朗克對能量子的定義上來看，作為功率單位比較合適，但從玻爾軌道角動量假設公式mvr=nh/2π來看，作為角動量單位比較合適，而且從愛因斯坦光量子及德布羅意粒子波角度來看，作為角動量單位可能更合適些；那麼，h到底體現的是什麼單位更準確呢？h在ε=hγ公式中為什麼是常數？等問題，直到現在還是一些懸而未決的問題。
不過，我們通過分析諧振動可用旋轉矢量圓來描述，將這種描述運用到普朗克一維電子諧振子及愛因斯坦光量子輻射上，就可以看出普朗克常數真正地物理意義了。
我們知道，愛因斯坦在其狹義相對論中認為，各種光子運動速度都相同，即為光速c，且規定光子都沒有靜質量m0，但都有一個有限值的動質量m，至於這個動質量對不同能量的光子是否相同，愛因斯坦並沒有給出說明；如果按照愛因斯坦質能守恆理論推理，光子運動動能可寫成E=mc²形式，也可寫成ε=hγ，且二種定量形式等價，如此以來就有一個問題出現：對於不同頻率γ的光子，其所具有的動質量m=hγ/c²會不同，即光子動質量是一個變量；例如，光子頻率為γ1，其動質量就是m1=hγ1/c²，光子頻率為γ2，其動質量就是m2=hγ2/c²，光子頻率為γ3，其動質量就是m3=hγ3/c²……光子頻率為γn，其動質量就是mn=hγn/c².
現在假設γ1為所以光子頻率中最小，且γn=n×γ1，則有
mn=hγn/c²=nhγ1/c ²=n×m1.
這說明光子動質量描述的實質還是一種能量，即光子不同能量就體現在它們的動質量不同上，而且在頻率γ1下所對應光子的動質量m1最小，它的能量ε=m1×c²也最小，我們以此為基本能量單元，可以用它衡量其他不同動質量光子的能量為εn=n×m1c².
而對於不同頻率的諧振子，上述我們已給出可以用εn=h×nγ1來定量描述，也就是說，在所有不同頻率的電子諧振子中總有一個最小振動頻率γ1，其對應的最小能量是E1=hγ1，它振動輻射出的光子能量就為ε1=h×γ1=m1×c²，如此以來，其他頻率下的電子諧振子振動輻射的光子能量就有εn=h×nγ1=mn×c²的等價描述形式，因此，一維電子諧振子振動輻射光子的能量就都可以表示成εn=h×nγ1的形式，而這種描述的本質是將h看做是同振幅下不同振動頻率的電子諧振子振幅旋轉矢量圓中的最小角動量，即h=2πr1×me×v1.
當然，對給定頻率的電子一維諧振子振動由于振幅不同，也可以輻射出不同能量的光子，這些光子能量的差異性可以用εn=h×nγ1=mn×c²來定量描述，這裡h還是表示最小振幅下的諧振系統能量用振幅旋轉矢量圓來定量描述時的最小角動量.
由此可見，普朗克常數h的物理本質應是將電子諧振子振動輻射光子的能量用振幅旋轉矢量圓來描述時的最小角動量h=2πr1×me×v1；同時也表明，一維電子諧振子振動輻射出光子的能量就是這個諧振系統的振動能量，這就是說，光子能量定量具有一維諧振子振動的頻率性，是一種固有能量，但這並不是說它被電子諧振系統發射出來後的運動具有天然頻率性，只是說光子運動動能ε=mc²可以用ε=nhγ來描述，也就是說光子運動所謂的「波粒二象性」是由其能量用ε=nhγ來描述後臆猜出來的，這不是一種真實存在，光子運動本質就是粒子性的，並沒有所謂的「波粒二象性」。
請謹記：任何波能描述公式都離不開波源的振動頻率，即波頻就是波源固有的振動頻率，如果將光子、電子、中子等粒子的運動都看做是有波頻的話，那這個波頻一定是輻射它們的波源振頻。
5、一維諧振子與愛因斯坦光量子
1905年期間，為了解決光電效應實驗規律與經典物理學理論的矛盾，愛因斯坦對光的本質提出了新的理論，他認為：
光本身可以看成是由微粒組成的粒子流，這些粒子叫做光量子，以後就稱為光子；在真空中，每個光子都以光速c=3×10^8m/s運動，對於頻率為γ的光束，光子的能量為ε=hγ，h為普朗克常數；按照愛因斯坦的光量子假設，頻率為γ的光束，可看成是由許多能量均等於hγ的光子所構成；頻率γ越高的光束，其光子的能量越大；對給定頻率的光來說，光的強度越大，就表示光子的數目越多。
圖-27
如圖-27，愛因斯坦對光電效應的解釋，使我們對光的本性在認識上有了一個飛躍；光電效應顯示了光的粒子性，這就是說，某一頻率的光束，是由一些能量相同的光子所構成的光子流，在光電效應中，當電子吸收光子時，它要吸收光子的全部能量，而不能只吸收一部分，光子與電子一樣，也是物質的基本單元。
光子的質量靜m0=0、動質量m=hγ/c²，動能E=hγ，動量P= hγ/c，後來量子力學發現，光子還有自旋角動量和軌道角動量。
對光電效應（還有康普頓效應）等實驗的成功解釋，證實了愛因斯坦光子假設的正確性，光具有粒子性，但在光的幹涉，衍射及偏振等現象中，又明顯地表現出光的波動性，這說明光既具有波動性，又具有粒子性，這就是說，光具有波粒二象性；一般來說，光在傳播過程中，波動性表現比較顯著，當光和物質相互作用時，粒子性表現比較顯著，光所表現的這兩重性質，反映了光的本質，然而，光的這兩方面性質是經典物理不能容許的。
至此，愛因斯坦關於光運動具有波粒二象性的觀點由然而出，即光是由光子組成的，借用普朗克能量子描述就是光子可由黑體中的電子諧振子振動發射出來，被發射出來的光子具有電子諧振子的頻率性，這種頻率下光子所具有的能量是固有能量，即ε=hγ.
雖然愛因斯坦光量子思想起源於普朗克的能量子假說，但能量子與光子最大不同就在於，普朗克能量子是指電子諧振子振動一個周期下所發射的可獨立存在和運動的電磁波片段（又稱量子化電磁波），它只有能量沒有質量，靠電磁場交變而產生運動；愛因斯坦將普朗克的這種電磁波能量片段引申為可獨立存在和運動且與電磁波片段能量等量的光量子，不過這種光量子在運動中還保留電磁波片段中的波動性特點，同時為了與普朗克能量子概念相一致，愛因斯坦又假設，光子只有動質量，沒有靜質量，它所謂的動能、動量等都是動質量下的產物，光子運動中表現出的頻率正是電子諧振子的振動頻率，其運動波長正是電子諧振子振幅的2倍；可見，愛因斯坦是將能夠獨立運動的普朗克電磁波段(能量子)壓縮成了一個能量波動點，這個能量點被稱為光量子確實可以看做是粒子，如圖-28所示。
圖-28
不過這裡要明確的是，一維諧振子運動可以將振子振幅A看做是一個旋轉矢量，其矢端的旋轉速度就是以振幅為半徑的旋轉矢量圓速度，其大小為諧振子振動的最大速度，但這個旋轉矢量本身並不做諧振動，而是旋轉矢量端點的投影點在做諧振動，這樣就將一維諧振動轉換成了二維圓運動的描述形式；同樣地，我們也可以將真實的圓運動看做是一維諧振動，即將二維圓上質點運動在其平面坐標軸上的投影就是一維諧振動，但這個一維諧振動並不是圓運動，而是圓半徑上的質點在作圓周運動，這樣二維真實圓運動就轉換成了一維諧振動，也就是說，一維諧振動與圓運動具有通融性，這就為以後的玻爾能級軌道理論及薛丁格波函數來描述電子運動問題墊定了紮實的物理基礎。
我們在普朗克能量子理論中很難看出普朗克常數h所包含的實際物理意義，但放到愛因斯坦光量子理論中就可以看出它鮮明的物理意義了，因普朗克能量子概念沒有辦法制定出角動量概念來，而光量子就可以制定出角動量概念，這正是愛因斯坦光量子理論比普朗克能量子理論更進一步的原因所在；比如，一個動能為ε1=m1×c²的光子，它是所以光子中動質量最小的一個，其從電子諧振子中被發射出來時，用諧振子振幅A1作旋轉矢量圓，就會得出這個光子被發出的能量另一種定量描述ε1=hγ1=m1×c²，這裡h=2π×me×v1×A1=2π×me×v1×r1，v1是電子諧振子的最大振動速度，r1是最大振幅矢量圓半徑，me是電子靜質量，m1是所以光子中最小動質量。
愛因斯坦雖然將普朗克能量子看做是光子，但它還不是真正的粒子，因為它沒有靜質量，而且運動速度為常數c，故對其運動所具有的能量只能用輻射它的電子諧振子振幅的旋轉矢量來描述，即頻率為γ的電子諧振子振動輻射出的光子自由運動所具有的動能可以描述為ε=hγ，也正因如此，光子自由運動才被認定為有波動性，這正是「光具有波粒二象性」思想的起源源頭所在！
其實，光子自由運動所具有的動能可用電子諧振子的固有頻率γ來定量，但這並不是說光子自由運動就具有頻率γ性，從而認為它的運動具有波粒二象性；如果光子運動真的具有波粒二象性的話，那光子運動豈不就成了一個帶上輻射它的振動波源一起的運動，這種運動怎麼可能存在呢？
普朗克一維電子諧振子其實就像電磁波發射中的偶極振子一樣，它只是一個傳遞能量器；我們給黑體加熱時，黑體吸收能量也是以光子形式被黑體中自由電子或靜態電子所吸收，電子吸收光子後將產生熱運動，並與其他電子構成一個諧振系統，然後振動並對外界將吸收來的光子再釋放出去，不論是黑體吸收的光子還是釋放的光子，其本身所具有的固有能量都可以用ε=hγ來定量描述。
目前，波粒二象性已被主流物理界所接受，於是他們給出了諸多不可思議的詮解，比如，光子平動速度為c，也是宇宙粒子最大速度，如果把光子運動看做是一種橫波運動，則它在波形上的速度就會超光速；如果將光子波動看做是縱波，即光子在以c速運動中還帶有電子諧振子的特性，即作一個電子諧振波長的左右擺動，但光子在擺動時，擺動態光子的矢速合仍會超過速度c；難道光子在波動中有2倍c速度性？
為此，他們又給出了相速度與波速度概念，即認為光子在波動線上的速度是光子波動的相位速度，它並不表示光子平動的真實速度，只是反映相位隨時間變化的快慢，而在波長線上的速度為波速度才是光子平動的真實速度——這種解釋只會徒增人們對波粒二象性認知的更大困惑。
其實，相速度之說是對光子被一電子維諧振子發出時所具有能量ε=hγ的解釋，並不是對光子運動真正具有波動性的解釋，這是忽略了光子固有能量與光源固有振動頻率有必然聯繫性的結果。
特別提醒：光子概念出現後，人們在研究光問題時，倒是把光的發射源—一電子維諧振子忘得一乾二淨了，其實一級光或稱光子固有頻率永遠是發射它的一維諧振子的固有頻率！
我們還應該清醒地看到：愛因斯坦假設中，光子沒有靜質量，還可以勉強看做是一種電磁波，但後來德布羅意提出物質波就不可思議了，因為一維電子諧振子中發射電磁波、光子都是只有能量沒有靜質量，而用一維諧振子模型去探討有靜質量的電子發射就不一樣了，因為我們不知道電子波動頻率將從哪裡來？這就是說，德布羅意波才是真正迷人心智的波！
其實，對於光子運動的所謂「波粒二象性」問題，我們從一維電子諧振子輻射光子的機制中就可以看出來，光子運動的所謂波動性，只是體現於在電子諧振子振動所具有能量等於其輻射光子能量的描述，這並不是對光子自由運動軌跡的描述，自由運動的光子根本不可能有波動性；人們之所以認為它自由運動是波動前進的，其根原因就在於人們沒有辦法解釋光的幹涉、衍射、偏振等波動行為才具有的現象；其實，從現代物理學角度來看，光子有自旋和軌道角動量，我們可不可以假設光子運動有自旋磁動量，就像它運動有動質量一樣，我們再結合空間磁場因素，這樣就可以不用其所謂的波動性，而直接用其粒子磁性就可以完整解釋它的幹涉、衍射、偏振等現象了，而且，這種思路也完全可以推廣到電子、中子等實體粒子的「幹涉、衍射、偏振」等現象詮解上，如-29所示。
圖-29
6、一維諧振子與德布羅意波
在1923年到1924年期間，光的波粒二象性作為一個普遍概念，已為人們所理解和接受，路易•德布羅意認為，如同過去對光的認識比較片面一樣，對實物粒子的認識或許也是片面的，二象性並不只是光才具有的物理屬性，實物粒子也具有二象性，德布羅意說道：「整個世紀以來，在光學上，比起波動的研究方面來，是過於忽視了粒子的研究方向；在物質粒子理論上，是否發生了相反的錯誤呢？是不是我們把關於『粒子』的圖像想得太多，而過分得忽視了波的圖象？」德布羅意把光學中對波和粒子的描述，應用到實物粒子上，他假設一個質量為m的實物粒子，以速度v作勻速運動，一方面可以用能量E和動量P對它作粒子的描述，另一方面也可以用頻率γ和波長λ作波的描述。能量E與頻率γ，動量P與波長λ之間的關係，和光子的能量E=hγ，動量P=hγ/c公式相類似，德布羅意假設為E=hγ和P=h/λ，h是普朗克常數。這兩個方程既含有反映粒子的量，又含有反映波的量。描述粒子性的量是能量E和動量P，描述波性的量則是波長λ和頻率γ，所以，上兩式給出了粒子性和波動性的聯繫。
圖-30
如圖-30所示，按照德布羅意假設，與勻速運動的實物粒子相伴隨的波之波長為：λ=h/p，p=mv，所以有λ=h/mv；這種波叫做德布羅意波，P=h/λ或λ=h/mv叫做德布羅意公式，他給出了與實物粒子相聯繫著的波，其波長和粒子質量、速度之間的關係。
仔細閱讀教科書上的這段敘述，我們可以看出，德布羅意粒子波思想起源於愛因斯坦的光量子假說，而光子所具有的波動性（即頻率性）起源於普朗克的一維電子諧振子假設，但德布羅意假設電子也有波動性（頻率性），那麼電子的波動頻率來自於哪裡呢？它的運動為什麼可以被認為有波粒二象性呢？……
回答這些問題，首先就需要搞清楚，電子是從哪裡被發射出來的？
按照普朗克的一維電子諧振子發射能量子的觀點來看，如果電子運動有頻率性，則這個頻率也應該是發射電子的諧振系統頻率，一個電子不可能在平動中無緣無故地具有頻率性。
為此，我們按照普朗克的思路，將原子核振動看做是一維諧振動，這種諧振因核之間的強作用力，與電子諧振相比較就會表現出振幅小、振頻高的特點，即從中輻射出的電子波長短、頻率高，將電子運動看做波動來驗證的話，結果確實如此！
可事實證明，原子核振動並不發射電子，現代物理學認為，電子一般是由摩擦、撞擊、核裂變或衰變等方式產生，可見，將電子賦予波粒二象性是沒有發射理論依據的，也就是說，電子自由運動中所謂的波動頻率沒有出處，只能算是臆猜而來的；現在物理學唯一能夠證明電子運動有所謂波動性的是來自實驗「判斷」，因為電子通過晶體空隙或窄縫時會產生所謂的幹涉、衍射等波行為圖案，這用圖案用經典的電子粒子性是無法給予合理解釋的。
但我們應該知道，在德布羅意提出實體粒子具有波粒二象性之時，電子有自旋和自旋磁矩性的實驗和結論還沒有出現，而且在那之前，我們只把電子看做是有質量、空間、電荷屬性，並沒有發現它有自旋和自旋磁矩屬性，也就是說，他們對電子的「幹涉、衍射」等現象的解釋是無法從自旋和自旋磁矩高度去認識的；那個時代得出的結論延續至今，我們是不是應該從電子自旋磁矩性角度去反思一下這種結論合不合理呢？
圖-31
現代物理學已證明，構成窄縫或小孔的周圍物質都是由原子或分子組成，而原子或分子又都是由電子、質子、中子等帶有自旋磁矩的粒子組成的，它們在納米尺度下構成的空間都會有明顯的磁場性；如果我們再結合電子的自旋磁矩性，就可以用磁場梯度力和洛倫茲運動相結合的辦法去完成解釋電子通過窄縫或小孔時會產生所謂的「轉彎」—幹涉、衍射等運動現象了，如圖-31所示。如此以來，電子、質子、中子等實體粒子的運動到底有沒有波動性的問題就可以塵埃落定了，甚至光子運動也是如此！
圖-32 圖-33
其實，戴維遜-革末和G.P湯姆遜所作的「電子衍射」實驗，如圖-32所示，他們只是證明電子束照射晶體表面或通過銫晶片能夠產生「轉彎」運動，而且隨電子束中的電子運動速度不同，「轉彎」大小也不同，至於電子「轉彎」是由電子具有「波粒二象性」造成的還是由電子自旋磁矩與晶體空間磁場相互作用造成的？憑現代的物理學實驗手段應該能夠給出一個明確的答案了。
至於德布羅意給出的機率波解釋問題，他在解釋電子通過窄縫或小孔空間分布強度不均性時，倒是忘記了電子束中電子運動的速率具有麥克斯韋機率分布性特徵，如圖-33所示，也就是說，電子強度分布的機率性來源於電子束中電子速率的機率分布性，而不是他假設的所謂物質波屬性，更不是哥本哈根解釋的薛丁格方程「機率模方」的形式。
7、一維諧振子與玻爾角動量量子化的駐波解釋
在舊量子力學中，駐波理論是德布羅意為了解釋玻爾原子理論中的角動量量子化問題而引入的理論，這個理論的本質是從一維諧振子諧振能量用振幅矢量圓來描述的思想過渡而來的，是將諧振子旋轉矢量圓看做是粒子真實運動的圓，是為了維護他的實物粒子也有波粒二象性而強加進來的觀點；其實，從現代物理學角度來看，駐波觀點在解釋玻爾角動量量子化方面並沒有實質性作用，反而給人帶來更多迷惑！
7.1、玻爾原子理論
為了解決盧瑟福原子行星模型與經典電磁學之間的矛盾，丹麥物理學家玻爾提出了三個假設：
（1）、電子在原子中可以在一些特定的圓軌道上運動，而不輻射光，這時原子處於穩定狀態，並具有一定的能量；
（2）、電子繞原子核運動時，只有電子的角動量L等於h/2π的整數倍的那些軌道才是穩定的，即L=mvr=nh/2π，h為普朗克常數，n=1，2，3，4……，n叫做主量子數，L=mvr=nh/2π叫做量子化條件，也叫量子條件。
（3）、當電子從高能量Ei的軌道躍遷到低能量Ef的軌道上時，要發射能量為hγ的光子，即hγ=Ei﹣Ef.
在這三個假設中，假設1是經驗性的，它解決了原子穩定性的問題；假設3是從普朗克量子假設引申來的，因此是合理的，它解釋了氫原子線光譜的起源；至於假設2所描述的角動量量子化，原先是人為加進去的，後來知道它可以從德布羅意假設得出。
不過，值得注意的是，玻爾理論只能很好地解釋只有一個電子的氫原子或一階鹼金屬的光譜分布規律，但對具有多電子的原子光譜分布的解釋就與實驗結果存在比較大的差異，即玻爾理論就不正確了，因為玻爾理論中的粒子概念是經典粒子；對此，建立在波粒二象性基礎之上的新量子力學拋棄了經典粒子概念，就可以正確地解決多電子原子光譜分布問題了；其中，新量子理論將電子軌道角動量量子化值定義為
其中l=0、1、2、3、4……（n-1），軌道角動量L成了在電子能級軌道n下可能有多個角動量軌道l離散形式的平均值，.這就與玻爾軌道角動量L=nh/2π有根本性差異了。
7.2、德布羅意駐波
德布羅意認為，電子運動也有波粒二象性，當它以半徑r繞原子核作穩定的圓軌道運動時，就相當於電子波在此圓周上形成了穩定的駐波，即穩定圓周周長與電子波動波長的關係為：2πr=nλ，λ為電子在圓周上波動的波長，如圖-34所示，將它代入德布羅意物質波公式λ=h/mv中，就可以得出2πrmv=nh，由此得出電子繞核運動的角動量分布公式就是：L=mvr=nh/2π；以此他認為這就是玻爾假設中電子軌道角動量量子化提出的物理本質，即認為電子之所以能夠繞核穩定運動是因為電子在穩定軌道上能夠形成駐波波動，並由此推理出玻爾能級軌道半徑分布為rn=n²×r1，軌道能級分布是En=E1/n².
圖-34 λ=2πr/n
從上述描述中可以看出，德布羅意給出的電子繞核運動的駐波分布形態實質是指在一個確定的圓軌道上，電子繞核以波動形式運動的波長是λ=2πr/n，這說明電子在給定軌道上波動的波長是可以變化的，如圖-33所示，電子在給定軌道半徑時的波長可以變化為：
λ1=2πr，λ2=2πr/2，λ,3=2πr/3……λn=2πr/n.
而德布羅意公式λ=h/mv是由E=hγ=mv²得來的，即h=2πrmv，γ=1/T=v/2πr,λ=2πr，將它們代入hγ=mv²中可以得出λ=h/mv；但我們要明白，E=hγ=mv²本質是指電子繞核作圓周運動時，其動能即可以用E=mv²來定量描述，也可以用E=hγ來定量描述，這並不是說電子繞核運動具有波動性，而是說圓周運動動能可以用圓周運動的頻率γ性來定量描述。
德布羅意將確定半徑的圓軌道以駐波形式描述後，認為電子波動任意波長為λn=2πr/n，將它代入λ=h/mv就會得出nh=2πrmv，即這個軌道的角動量就可以描述為L=mvr=nh/2π，但這裡就犯了一個致命的錯誤：電子繞核運動的角動量變化只有在電子產生橢圓運動或發生軌道躍遷時才會出現，即曲線運動半徑r和動量mv都產生了變化；而德布羅意駐波描述的卻是在固定半徑的圓軌道上電子以波動形式運動可以產生不同的波長，這與玻爾角動量量子化假設的本意是相違背的。
玻爾角動量量子化假設是指圓軌道半徑r產生變化後，其軌道動量mv也會產生相應地變化，即2πr×mv=nh=n×2πr1×mv1得v=nh/2πrm，將它代入有心力的圓運動方程mv²/r=e²/4πε0r²中就會得出rn=n²×r1.
圖35 n^2軌道拓展形式
如圖-35所示，不同穩定軌道周長之間按n=n²×r1規律拓展的本意是，電子第一軌道周長是L1=2πr1，第二軌道周長就是第一軌道周長的4倍，即L2=4×2πr1，第三軌道周長就是第一軌道周長的9倍，即L3=9×2πr1……以此類推，第n軌道周長就是第一軌道周長的n²倍，即Ln=n×2πr1，n∈[1、2、3、4…….]；其實，這種軌道按n²倍式拓展與電子在穩定軌道上是否作駐波波動根本沒有什麼內在聯繫。
不過，德布羅意駐波理論使我們看到了玻爾角動量量子化的本質就是當第n軌道周長或半徑是第一軌道周長或半徑的n²倍時，其軌道角動量就有Ln=nh/2π的描述形式存在，也就是說，電子軌道躍遷是以周長n²倍形式躍遷的，這種躍遷下的軌道角動量變化必然是Ln=nh/2π，軌道能級變化也必然是E1=n²En.
那麼，假如電子繞核運動真存在德布羅意駐波形式，那麼這種運動形式是如何產生的呢？即如何給德布羅意駐波的形成找出一個物理理由？
對此，我們不妨從普朗克的電子一維諧振子理論去解讀一下，如此就會得出如圖-36所示的電子諧振 繞核運動的復動形態；不過，用這種一維諧振子描述的駐波，只是電子在穩定軌道上作複合式簡諧振動，並不能看出電子軌道躍遷的情況。
圖-36
因此說，德布羅意駐波理論是個臆猜理論，從電子諧振子角度而言，玻爾的角動量量子化與德布羅意駐波根本沒有關係；不過，玻爾的電子軌道躍遷並釋放光子這一解釋也可以看做是繞核運動的電子與原子核之間可構成一個偶極子諧振系統做簡諧振動的結果。
我們從圖-35中還可以看出，玻爾電子穩定軌道周長按第一軌道周長n²倍拓展時，不具有對稱；依據自然運動遵循的最基本規律——埃米·諾特對稱與守恆及拉格朗日最小作用量原理，電子繞核運動的周長拓展應該呈對稱性，即是以最小圓周長的2^n倍形式向外拓展的，而「電子 原子核」組成的偶極諧振子振動的周期也將以2^n倍的形式增加，如圖-36所示。
由此推理，如果多電子原子核外的電子穩定軌道遵循rn=2^n×r1的拓展規律，n∈[0、1、2、3、4……]，就應該有如圖-37所示的軌道對稱拓展分布形式。
圖-37 2^n軌道拓展形式
其實，繞體繞中心體運動軌道的周長（半徑）以2^n形式拓展情況在太陽系中也存在，如圖-38所示，太陽系行星軌道半徑分布符合皮丟斯法則(Titius)，即rn=0.4 0.3×2^n天文單位，這正符合行星軌道周長對稱性拓展的原則，這也說明，微觀與宏觀世界的運動規律是一樣的，並不存在二套不能兼容的支配規律，也就是說微觀與宏觀的運動規律具有統一性。
圖-38 行星軌道2^n拓展形式
關於太陽係為什麼會遵循皮丟斯法則，我們會在《自由落體運動、圓周運動與人造衛星、行星、電子軌道能級分布芻議》一文中進行詳述。
由此也可以看出，玻爾理論只能很好地解釋氫原子的電子軌道躍遷問題，不能解決多電子原子電子軌道分布及躍遷問題的根源就在於他的電子核外軌道角動量規定為L=nh/2π後，其軌道周長拓展就不全具有對稱性，即存在奇數軌道周長的拓展形式。
至於後來的量子力學將核外電子軌道角動量定義為
這只是遵循「可能存在」的機率概念需要而得出的一種平均值化的描述，這種描述本身就不是「真實」的東西。
8、一維諧振子與薛丁格波方程
我們在研究電子繞核或其他形式的曲線運動時，之所以可以用薛丁格波動方程，就是因為電子繞核會作圓運動或電子通過外磁場空間可以作柱螺旋運動，這個運動軌跡在x軸或xy平面上的投影點具有簡諧振動性，如圖-7、圖-8所示。
我們知道，薛丁格波函數可以用機械波方程加德布羅意公式推導出來，即：
將普朗克能量子方程ε=hγ=mv²及德布羅意波公式p=mv=h/λ代入複數表示的機械波方程中，就可以得出薛丁格波函數：
將這個波函數放到引力場中就會得出薛丁格方程，即
薛丁格方程推導中引用的德布羅意波公式λ=h/mv，其本身是由普朗克一維諧振子模型得出的，也就是說，薛丁格波函數所描述的粒子運動也應與一維諧振子振動相關聯，而一維諧振子是一個有動能和勢能守恆且相互轉化的運動，因此，由薛丁格波函數必須與勢能場聯姻才會表現出其真正的意義，這可以從量子力學在解決一維勢阱的電子運動機率分布和氫原子電子繞核運動的機率分布（電子云）中看出這種聯姻的作用，如圖-39所示；當然，現代用電子自由運動的薛丁格方程去求解電子衍射問題時還是存在明顯不足的，因為在解釋電子通過窄縫產生衍射時並沒有考慮電子自旋磁矩與縫空間所應具有的勢能場的作用，故會出現對衍射、幹涉等實驗現象的五花八門地解釋，但這些解釋還都是站在電子為經典粒子角度進行的，故仍都不得要領。
圖-39
關於薛丁格方程的物理意義、電子雙縫幹涉實驗及電子云概念形成的具體論述和剖析，我們會在《重新解讀和修正薛丁格波函數方程——對電子衍射形成的物理機制及薛丁格波函數方程物理意義的探討》一文中詳述，由於篇幅限制這裡就不做傲述了。
總之，薛丁格方程在描述粒子運動方面有它明顯地優勢，但由於經典粒子觀念與「波粒二象性」思想的幹擾，人們對它物理本質的解讀越發撲朔迷離，要想真正看清這個方程內在的物理本質，就必須拋棄經典粒子觀念與「波粒二象性」思想，以場、自旋磁矩、動勢能與角動量守恆等為依託，這樣，薛丁格方程迷惑的外衣才會被撥下，量子力學的天空才會呈現出一個豔陽天！
9、結束語
現代物理學認為，光在傳播過程中波動性表現比較顯著，當光和物質相互作用時，粒子性表現比較顯著，這就是說，光子運動時表現為普朗克的能量子，即電磁波片段，當這個電磁波片段與物質作用時，就呈現出粒子性來——這種描述真是不可思議！
為什麼不直接把光描述成粒子呢？因為現代物理學無法用經典的粒子現象去解釋光的幹涉、衍射、偏振等帶有波性的自然現象；其實，對實物粒子，如電子、中子等，對它們表現出的所謂幹涉、衍射、偏振等現象是可以用粒子的自旋磁矩性予以解釋。
如果說，普朗克提出的能量子觀點與愛因斯坦所提出光的波粒二象性觀點都是為了挽救麥克斯韋的「光也是一種電磁波」理論話（普朗克能量子表示不連續的電磁波片段，愛因斯坦光量子則是對普朗克的電磁波片段壓縮成一個點來看待的結果），這到情有可原，而且光被愛因斯坦賦予粒子性後，他又規定光子沒有靜質量、運動速度恆為c，有自旋卻沒有自旋磁矩；但作為電子、中子等這些實實在在的粒子，它們不僅有靜止質量，而且還有自旋磁矩，可我們研究這些粒子運動及所謂的「幹涉、衍射、偏振」等現象時為什麼對它們的「自旋磁矩性」視而不見呢？現在物理學卻要「費盡周折」地去借用所謂的「波粒二象性」解釋來解釋去，結果還是讓人處於「知其然不知其所以然」的尷尬境地。
如果從自旋磁矩性方面來考慮粒子所謂的幹涉、衍射、偏振等現象，這種運動現象的出現純粹就是粒子自旋磁矩與空間磁場相互作用的必然結果，也就是說粒子運動只有粒子性，根本不存在波動性，至此，「波粒二象性」將會真正退出物理史舞臺，「波粒二象性」的曠世之爭才會真正地塵埃落定。
圖-40
例如，圖-40所示，施特恩-革拉赫實驗中的銀原子束通過非均勻磁場空間後所產生的粒子分布圖案及後來將其中一條銀原子束再作多次通過同樣的非均勻磁場的實驗結來看，它們展現出了分離後的銀原子束通過這種磁場空間都具有所謂的「衍射和偏振」性，但量子力學在解釋這些實驗現象時並沒有觸及銀原子束中銀原子運動的所謂「波動性」，而是將它們看做是實實在在的自旋磁粒子，而且量子力學給出的這種解釋給給人的感覺也很合理，很經典。
其實，「波粒二象性」掩蓋了現代物理學更深層次的矛盾，這種觀念阻礙了現代物理學向縱深探索的步伐；如果現代粒子物理學研究還緊抱著「波粒二象性」觀念不放，那將是一種災難！
我們相信，對微觀粒子運動的研究終將會回到粒子性上來，不必要再將所謂的波動性攪進來，僅以粒子自旋磁矩和空間磁場為基石去探討粒子運動問題，則波粒二象性、薛丁格方程等所帶來的諸多物理困惑與怪異結論都將會變得那麼自然與美妙了。
我們期待著這一研究潮流早日到來！
【參考文獻】：
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〔8〕徐龍道等/著《物理學詞典》，科學出版社2004年5月第1版。
司 今：男，1966年10月出生，皖蚌埠市人，機械工程師，主要從事理論物理學研究，著有《關於地球橢圓軌道和自旋變化成因的探討》、《物質自旋與力的形成》、《波粒二象性的本質》、《量子力學磁矩的含義》等多篇論文發表。
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The origin and physical nature of wave-particle duality from the perspective of one-dimensional harmonic oscillator
Si jin
(Anhui Bengbu College, Bengbu 233000)
Abstract: One-dimensional harmonic oscillator is an important model in physics. It is not only reflected in classical mechanics, classical electromagnetism, but also in quantum mechanics. It can be said that since Planck used one-dimensional harmonic oscillator After the successful model study of black body radiation, Einstein's light quantum, de Broglie's matter wave, Bohr's classical atomic theory, and Schrödinger's wave function equation are all related to the harmonic oscillator model. " wave-particle duality" is exactly the product of using the one-dimensional harmonic oscillator model to study the motion of particles. Without the harmonic oscillator model, there is no so-called wave-particle duality conclusion.
It is through the understanding and analysis of one-dimensional harmonic oscillators that this paper explores the origin and essence of wave-particle duality, and opens up a new way of thinking for modern physics.
Key words: one-dimensional harmonic oscillator electromagnetic wave, energy quantum photon de Broglie wave Schrodinger wave function wave-particle duality
CLC number: 0441 Document identification code: A
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