數學史上的第四次危機：無限循環小數悖論（0.999...=1）
2024-07-12 23:09:46
導語：說到，大家應該都有所耳聞。但是說到第四次可能很多人都摸不著頭腦，實際上第四次危機爆發時間至今已經20多年了，不過當時因為網絡不發達的緣故，所以不為人所知，下面探秘志小編帶大家深刻了解一下。
數學史上的第四次危機
第四次數學危機準確來說是數論，主要是說數論的研究對象不僅僅是數。假如有一門學科分別研究：人、樹、花，那麼這門學科叫花學，相應理論稱為花論，實際上這並不合理，主要討論的還是第三次數學危機，有關集合論的相關問題。
集合的類名用集合中的元素命名實際上並不十分合理，雖然強行命名沒有太大的關係，但是有些地方還是比較奇怪。
無限循環小數
無限循環小數是小學數學中的一些知識，在很多時候會出現除不盡的情況，比如
19 = 0.111111…(數字1無限循環)
13 = 0.333333…(數字3無限循環)
11.3 = 0.769230769230769230…(數字串769230無限循環)
無限循環小數具有特殊的性質：
(1)它的循環體至少有一位數字;
(2)它沒有最後一位，永遠寫不到頭。
無限循環小數0.999…更是奇怪。現有的數學體系既能證明它等於1，又能證明它不等於1。
我們首先證明無限循環小數0.999…等於1。
數學課本上寫著：無限循環小數可以轉化為分數
0.111… = 1/9 (1)
兩邊同時乘以9，得
0.999… = 9/9 (2)
故有
0.999… = 1 (3)
證畢。
現在，我們再證明無限循環小數 0.999… 不等於1。
設 n 是無限循環小數0.999…中9的個數，根據數學歸納法
n = 1時，0.9 ≠ 1成立;
n = 2時，0.99 ≠ 1成立;
n = 3時，0.999 ≠ 1成立;
……
n = ∞時，0.999… ≠ 1成立;
於是
0.999… ≠ 1 (4)
證畢。
這兩種辦法都是現在數學中比較嚴謹的證明方法，但是得出的結論卻截然不同，互相矛盾，這一悖論被稱為「無限循環小數悖論」。這一悖論的出現嚴重影響了當代數學，並且帶來了比較嚴重的危機，甚至給摧毀當代數學體系。
結語：在人類數學的發展中，一共出現了三次比較嚴重的危機，每一次都為數學帶來了更多的發展，可以預見經過這次悖論，數學將更加發展進步。
