有理數的概念例題（從有理數到連續統）

2023-10-18 09:46:33

(作者：劉嶽老師）

有理數有無數個

無理數也有無數個

那誰更多？還是一樣多？

無窮與無窮，是否可以比出誰多誰少？

數軸上的點對應有理數或無理數？

那有理數和無理數又是如何在數軸上分布？

當我們比較有限的數量時，只要比較具體的數字誰大即可。雞有兩條腿，兔有四條腿，所以兔子腿更多。有理數有無數個，無理數也有無數個，或許我們可以認為是都是無數個，都是數不完的，那就一樣多唄，但實際上無限也可以分出大小，因為比較有限數量的方法並不能用於無窮的情況。

如何比較無窮？

所有的正數和負數一樣多。

在正數集裡任取一個正數，在負數集合裡都能找到唯一確定的一個負數與其相對應，比如正數集中取1，負數集裡會有-1，正數集裡取π，負數集裡會有-π，有一個正數，就會有一個相應的負數。

我們可以在正數集和負數集間建立一種一一對應的關係。所以正數與負數是一樣多。

同樣的道理，我們可以得出奇數和偶數是一樣多的。

任取一個奇數2n-1，都會有一個偶數2n與其相對應，同樣我們可以在奇數集和偶數集之間建立這種一一對應的關係，所以奇數和偶數也是一樣多的。

我們把集合裡元素的數量稱為集合的基數，比如集合{1}的基數為1，集合{1,2}的基數為2。

判斷無窮集合基數相等的方法便是：能夠兩個集合之間建立起一種一一對應的關係。

如果關於無窮的比較都像上面那麼簡單就好了，接下來我們繼續看。

所有的偶數和所有的整數一樣多。

What？偶數不是和奇數一樣多嗎？奇數和偶數一起構成了整數，偶數怎麼和整數也一樣多了？

整數集合裡任取一整數n，在偶數集合裡都會有一個數2n與其相對應，所以我們依然可以在整數集和偶數集之間建立起一一對應的關係，在偶數集裡任取一個偶數，在整數集裡都會有一個唯一確定的元素與其相對應。

整體等於部分！這是我們在有限裡不可能存在的情況，但在無窮集合裡，卻真真實實地發生了。

如果對於數沒感覺我們再來看個圖形的例子，在△ABC中，假定BC邊為2，DE是BC邊所對的中位線，所以DE=1，在BC邊上任取點M，連接AM，則AM必與DE有一交點，記為N。任取一個M點都會有一個N點與其相對應。

這說明：長度為2的線段上的點與長度為1的線段上的點是一樣多的！！！

格奧爾格·康託爾甚至以此作為無窮集合的定義：如果一個集合能夠和它的一部分構成一一對應的關係，它就是無窮集合。

了解了無窮這一性質，那我們得出這麼一個結論：自然數、偶數、整數都是一樣多的。或許你會質疑既然他們都無窮，那就數量都一樣唄，還需要討論這麼多嘛？

需要，之所以說這幾個集合基數相等，是因為它們還有一個共同的特點：可數。

所謂可數，可以理解為能夠找到一種規則把所有的數列出來，然後就可以按著這個順序一直數下去。

比如自然數，0,1,2,3,4,5……，比如偶數，0,2-2,4-4,6-6……而只要能全部列出來，就可以建立一一對應的關係，依次按順序對應就好了，甚至都不用弄明白具體的規則是什麼，所以只要是可數無窮，就可以說集合裡元素數量是一樣多的。

可數

有理數可以表示為q/p的形式，取正有理數部分，我們可以按p q的值由小到大來列出所有正有理數，具體的順序可以參照下圖。

按上述規則，可列出所有正有理數，負有理數亦可以列出來。

所以有理數集也是可數集。

補充一下可數集概念：能與自然數集建立一一對應關係的集合。

可數集的基數是最小的無窮量，康託爾把這個量記為ℵ0（希伯來文，讀作「阿列夫零」）。同時康託爾指出，阿列夫零是最小的無窮量，那比阿列夫零更大的無窮在哪呢？

無理數可數嗎？或者說實數可數嗎？

答案是：NO

康託爾運用對角線法來論證這一點，證明過程很短，卻堪稱精妙絕倫！（媽媽問我為何跪下看書系列）

考慮整個實數集是否可數，我們先考慮0-1之間的所有實數是否可數。假設存在某種規則能夠列出0-1之間的所有實數：

0.1598545445……

0.6589745454……

0.5968974132……

0.9887946456……

0.3521587487……

0.1659842412……

……

以上的數隨便寫的，此時康託爾問，0.267865……在什麼位置？

這個數是怎麼取的呢？取第一個數的第一位小數加1，取第二個數的第二位小數加1，取第三個數的第三位小數加1，取第四個數的第四位小數加1……，也就是上面數中紅色的數字加1。

假如0.267865……在第n個位置上，則它的第n位小數應該等於第n個數（也就是它自身）的第n位小數加1。

簡單說，這個數的第n位小數等於它本身第n位小數加1。顯然這是不可能存在的！

所以不存在任何一種方法能夠把0-1之間所有的實數全部列舉出來，當然也不可能存在一種方法能夠把全體實力列出來。

像這樣的無窮稱為不可數無窮，不管你承認還是不承認，同樣是無窮，也能分出不同種類。無理數集、實數集稱為不可數集。

在數軸上任取一段線段，由這些連續著的點構成的集合均為不可數集，又稱連續統。基數記為c。

既然已經明確了有理數代表著可數無窮，而無理數則代表著不可數無窮，那可數與不可數到底誰更多呢？換句話說，ℵ0與c誰更大呢？

事實上，從概率的角度來看，在數軸上任取一點，取到有理數的概率為0。

無理數是無限不循環小數，有理數包含整數、有限小數和無限循環小數，我們可以把整數和有限小數看成後面的小數位均為0的數，舉個例子，1.8=1.800000……，後面的小數位都是0。

現在我們給一個數填充小數位，有無數個小數位需要我們填充，而填充的數字都是隨機取的，所以說都取0或者說取到一列循環數的概率為0。藉助於這樣一個想法，無理數不僅比有理數多，而且多得多！

怎麼樣能夠比無窮還要多？

對於集合{1}，它有兩個子集：空集、{1}，子集組成的集合的基數為2^1；對於集合{1,2}，它有四個子集空集、{1}、{2}、{1，2}，子集組成的集合的基數為2^2，以此類推，若一個集合的基礎為n，則其子集構成的冪集基數是2^n。

那如果原集合的基數是ℵ0呢？

事實上，康託爾已經證明出，c=2^ℵ0，這裡的ℵ0是無窮大的，所以能想像c有多大嗎？

康託爾所做的事情不止於此，他還猜想，在ℵ0和c之間不存在其他的無窮，即在ℵ0後的下一個無窮量便是c，即c=ℵ1（ℵ1即ℵ0後一個無窮量），這就是著名的「連續統假說」。1900年世界數學家大會上，希爾伯特把這個問題排在了20世紀23大有待解決的重要數學問題之首。

關於數軸，我們都知道數軸上的點與實數是一一對應的，或許會存在這樣的想法，任意兩個有理數之間還存在無數個有理數，此外有理數與有理數之間還會有縫隙，那便是無理數，這個縫隙有多少並不為我們所知，但兩有理數之間還存在著無數個有理數是必然的。

所以有人會說有理數像磚，構成了數軸的主體，無理數像是膠水，把磚與磚之間的縫隙補充完整，構成一條完整的數軸。

從兩者的數量對比來看，顯然以上的想法大錯特錯，無理數更像是構成數軸的磚，佔據著數軸的絕大部分。說來說去其實就是這麼一個問題：有理數和無理數在數軸上是如何分布的？

借用一下狄利克雷函數：

這就是把有理數與無理數作個分離，那函數圖像長啥樣？也許是這樣？

顯然這只能是一種美好的想像，要是能畫出來就好了，我就知道有理數和無理數如何分布了。真實存在卻畫不出來說得就是這個函數，數軸上見不了分曉。

說了老半天可數與不可數，卻連數軸上的都無法作劃分，區別這兩個無窮又有什麼意義？

有些時候是得區分一下的，比如在解釋什麼叫長度的時候。

線段由點構成，那為什麼點的長度為0而線段長度卻不為0？

造成這一誤解的主要原因是我們錯誤地以為既然線段由點構成，那線段的長度就等於點的長度之和。即不斷地計算0 0 0 0 ……，按這麼算結果應該始終為0才對。

怎麼去計算0 0 0 0 ……？先用第一個0加第二個0，再用結果加第三個0，一直這麼加下去，以上計算的前提是這裡所涉及的無窮必須是可數無窮，只有能先夠把它們都先列出來，才能依次進行相加，先有可數才有可加。

然而問題是，線段上的點是可數無窮嗎？不，它們是不可數無窮，是不能夠列舉出的，所以0 0 0 ……的結果與線段的長度沒有半毛錢關係，因為它們本來就不存在因果關係。

謝謝閱讀。

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