什麼是左右對稱（什麼是對稱）

2023-10-21 05:21:41 4

編者按 液態什麼結構都沒有，它有最高的對稱性。固態可以有各種各樣不同的結構，這反映在其較低的，各種各樣不同的對稱性上。所以從液態到固態的轉變，是一個從高對稱到低對稱的對稱性破缺過程。我們發現幾乎所有的物質態(如液態、固態、鐵磁態、超導態)和它們之間的轉變，都可以用這一對稱性的觀念來描寫。物質態和對稱性，這兩個看來完全不相干的東西，其實卻有深刻而緊密的聯繫。對稱性是描寫各種物質態的基石。今天這兩篇文章從數學和物理的角度介紹了對稱性。

——文小剛

作者羅伯特·庫爾曼 ( Robert J. Coolman )
翻譯高斌
校對雨遇
在幾何學中，如果一個物體經過一個變換(transformation)，例如反射或者旋轉，仍能和以前看起來一樣，我們就稱這個物體具有對稱性(symmetry)。對稱性是所有圖案背後都會表現出的基本數學原理，它對於藝術（用於建築、陶器、絎縫（布藝）、地毯製造）、數學（涉及幾何、群論和線性代數）、生物學（有機體的形狀）、化學（分子形狀和晶體結構）和物理學（對稱守恆量）都是非常重要的。「symmetry」一詞是一個十六世紀的拉丁詞語，由希臘語「syn-」（一起）和「metron」（度量）派生而來的。
反射類(Reflective)
一般來講，對稱通常指的是鏡面對稱(mirror symmetry)或稱為反射對稱(reflective symmetry)，即一個物體可以被一條直線（二維時）或一個平面（三維時）分成彼此鏡像的兩半，例如等腰三角形和人臉就分別是一個二維和三維對稱圖形的例子。數學上來講，一個物體表現出鏡面對稱性是指「在反射下保持不變」，也就是在某種特定方式下反射物體並不會改變它的外觀。
Figure 1 等腰三角形和蝴蝶是具有反射對稱性的例子。二維物體有一條對稱線，三維物體有一個對稱面，它們在反射下都是不變的。
在生物學中，反射對稱性通常被稱為雙側對稱性(bilateral symmetry)，這些例子很容易在哺乳動物、爬行動物、鳥類和魚類中找到。
旋轉類(Rotational)
生物學中另一種常見的對稱形式是徑向對稱(radial symmetry)，在花類和許多海洋生物中我們都可以發現它，例如海葵、海星和水母。在數學上，這樣的物體因為「在旋轉下保持不變」而被描述為能夠表現出旋轉對稱性(rotational symmetry)，它們可以通過一個點（二維時）或一個軸（三維時）旋轉某些量而保持不變。
Figure 2 陰陽符號和風車是具有旋轉對稱性的例子。二維物體有一個對稱中心，三維物體有一個對稱軸，它們在旋轉下是不變的。
平移類(Translational)
想像一下，如果我們把所有方向都延伸到無窮遠，一個二維或三維圖形「在平移下保持不變」，我們就稱它具有平移對稱性(translational symmetry)。所有的棋盤花紋、大多數攀爬架以及地毯和壁紙的圖案都具有平移對稱性。
Figure 3 壁紙的圖案和攀爬架是具有平移對稱性的例子，如果把所有方向都延伸到無窮遠，那它們在平移下是不變的。
其他形式的對稱
儘管一些例子說明物體可以具有不止一種對稱性（例如六角星具有六條反射對稱線和一個六重旋轉不變點），但是有一些物體和圖案只在兩種變換同時進行的條件下保持不變。
瑕旋轉(Improper Rotation) = 反射旋轉
一個帶有定向邊緣的五角反稜柱（pentagonal antiprism）在瑕旋轉下保持不變（在下面的例子中，水平旋轉36°，再沿著中心水平面面反射）。
滑移反射(Glide Reflection) = 平移反射
如果我們延伸任意方向至無窮遠，則下圖中的腳印圖案是滑移反射不變的（平移加反射）。
螺旋旋轉(Screw Rotation) = 平移旋轉
同樣的，如果我們延伸任意方向至無窮遠，則下圖中的一個由四面體構成的螺旋結構是螺旋旋轉不變的。（平移加一個131.8°的旋轉）
分類物體和圖案
數學家和晶體學家們根據使物體保持不變的各種變換方式來對物體和圖案的對稱性進行分類。一個二維或三維物體的「點群(point group)」是指能使物體在反射和旋轉（三維時，瑕旋轉）變換下保持不變的所有變換方式全體。當一個物體使用一個主題圖案時，我們可以很容易地確定出它的一個晶體學點群(crystallographic point group)：在二維中，有10種（下圖）；在三維中，它們有32種。
Figure 4 二維中的十種晶體學點群
上圖中的通用記號叫作Schoenflies記號，來自於德國數學家Arthur Moritz Schoenflies。
「C」代表「cyclic（循環）」。這些對象都有旋轉對稱性，但是沒有反射對稱性。下標數字代表具有幾重旋轉對稱性，例如C2表示兩重旋轉對稱性。所有的循環都有反向旋轉的鏡像。
「D」代表「dihedral（二面角）」。這些對象同時具有反射和旋轉對稱性。下標數字表示它有幾重旋轉對稱性，也就同時意味著有幾條反射對稱線。
晶格(Lattices)
晶格是空間中點的一種重複圖案，其中的物體可以被重複（更精確來講，指平移，滑移反射或者螺旋旋轉）。在一維時只有1種晶格，二維時有5種，三維時有14種。
通過二維圖案（分配給它10種晶體學點群中的一種）沿一維或二維晶格重複，我們可以得到一個圖案。當一個二維物體沿一維晶格重複時，我們可以得到7種飾帶群(frieze group)中的一種，當沿三維晶格重複時，可以得到17種壁紙群(wallpaper group)的一種。
三維圖案更為複雜，並且很少在晶體以外被發現。不同的三維點群沿著各種各樣的三維晶格重複組成了230種不同的空間群。三維物體也能夠沿一維或二維晶格重複，分別產生杆群(rod group)或圖層群(layer group)。
分形(Fractals)
第四種變換——縮放(scaling)下的不變性也同樣重要。直徑保持幾何增長的同心圓在縮放下保持不變。當一個物體在平移、反射、旋轉和縮放的特定組合下保持不變，我們就把這種新圖案稱作分形。
Figure 5如果我們把上圖向內和向外延伸至無窮，則科赫曲線(Koch curve)在特定的平移，旋轉和縮放變換下保持不變。
原文地址：http://m.livescience.com/51100-what-is-symmetry.html
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