排列中的定序問題如何講解（怎麼去理解排列組合中的定序和除重）

2023-10-10 09:21:44 1

回答一下同學不止一次提出的排列組合中的定序倍縮法以及分組分配問題中均勻分組為什麼要除重的問題，這些問題在同步教學中也會有同學經常問到，今天把這兩個問題以案例舉證的形式給出解釋，先回答定序問題。

定序問題：

如果將標號為1,2,3,4,5的五張牌打亂順序任意排列，則標號為1,3,5的牌順序一定共有多少種可能。

要先理解這裡的1,3,5順序一定是什麼意思，1,3,5排序共有六種排法，即1,3,5/1,5,3/3,1,5/3,5,1/5,1,3/5,3,1,假如以1,3,5這種排法為例，用列舉法寫出符合要求的情況如下：

上述滿足1,3,5排序的共20種，滿足其它五種排序也分別有20種排法，所以題目問1,3,5順序一定時不需要考慮究竟是1,3,5還是1,5,3，如果用數學表達式怎麼去處理？

上面是用概率的形式解釋的，通俗一點就是五個數字全排列，無論怎麼排列總是1,3,5/1,5,3/3,1,5/3,5,1/5,1,3/5,3,1這6種排序中的一種，若順序指定，直接除6即可，不知道理解了沒有，舉個案例：

除重問題：

這裡需要區分隔板法和分組分配問題的區別，或者說隔板法也是一種特定的分組分配問題，這兩種方法很類似都是將XX分組然後再分配，所不同的是隔板法中的XX是無差別的，例如名額，機會等這種較虛的類別，而分組分配法中的XX是有差別的，例如將不同的任務，不同的書本分組再分配，而分組分配時需要注意是均勻分組還是不均勻分組，當均勻分組時要除重，這裡就有同學理解不了為什麼要除重，依舊以案例舉證的形式予以說明，此次只說明分組問題，不討論分配問題。

如何將四本不同的書分成兩組，再分給兩個人？

設這四本書為A,B,C,D,分成兩組時的情況如下：

AB,CD/AC,BD/AD,BC/BA,CD/BC,AD/BD,AC共六種，但AB,CD和BA,CD重複，AC,BD和BD,AC重複，AD,BC和BC,AD重複，因此真正的分組只有三種，通俗地講為什麼除重時要除2(A22)，可以理解為把四本書分成兩組放到兩個籃子裡，左右兩個籃子交換位置時不影響分組，所以是除以籃子數量的全排列。

如果是六本書分成三組，情況也類似，設六本書分別為A,B,C,D,E,F，若指定的分組情況為AB,CD,EF，把上述分組放到三個籃子裡，從左到右這三個籃子裡可能情況是AB,CD,EF；AB,EF,CD; CD,AB,EF; CD,EF,AB; EF,AB,CD; EF,CD,AB，這種特定分組情況根據放到籃子的位置不同共6種，但這六種其實是一種相同的分組方式，重複六次，除6即可，即此時需要除以籃子個數的全排列A33

上述兩種情況如果不理解當然也可以把方法直接記下來，但只有在真正理解後才能靈活運用，排列組合問題要結合實際考慮需不需要順序，需不需要除重。