導數單調性的經典例題及答案（導數的單調性和連續性還有這樣的關係）

2023-10-09 07:24:50

今天老黃要利用拉格朗日中值定理的推論3，證明導函數單調則導函數必連續。即：

設f在(a,b)上可導，且f'單調，證明：f'在(a,b)上連續。

分析：我們不妨設f'在(a,b)上單調遞增，單調遞減也是一樣的道理，則在(a,b)上的任意一個自變量x0, 都存在某一鄰域U(x0)，包含於(a,b). 則在右鄰域中，導函數單調增，就有下界；在左領域中，導函數單調增，就有上界。根據極限的單調有界性定理，就可以知道導函數在x0的兩側極限都存在。

接下來就可以運用拉格朗日中值定理的推論3了。即導數極限定理：設函數f在某U(x0)內連續, 在U⁰(x0)內可導, 而且lim(x->x0)f』(x)存在, 則f在點x0可導, 而且f』(x0)=lim(x->x0)f』(x).

我們來看看f和它的導函數f'是否符合這個推論。f在U(x0)上顯然是連續且可導的，導函數在這個點的兩側極限剛剛被證明存在，因此這裡僅能得到，導函數在這個點兩側都連續。

由於函數在這個點可導，因此左右導數相等，都等於函數在這個點的導數，所以導數的左右極限也相等，也都等於這個點的導數，這就說明導函數的確在這個點連續。

最後由x0的任意性，就可以證明導函數在(a,b)連續。接下來組織證明過程：

證：不妨設f』在(a,b)上單調遞增，則

對任一x0∈(a,b)，必存在的x0某一鄰域U(x0)⊂(a,b).

∵f』在U (x0)內單遞增，∴有下界f』(x0)，

又f』在U-(x0)內單遞增，∴有上界f』(x0)，

∴lim(x->x0^ )f』(x)和lim(x->x0^-)f』(x)都存在，由拉格朗日中值定理的推論3，有

lim(x->x0^ )f』(x)=f 』(x0)；lim(x->x0^-)f』(x)=f-』(x0)；

而f 』(x0)=f-』(x0)=f』(x0)，

∴lim(x->x0^ )f』(x)=lim(x->x0^-)f』(x),

由x0的任意性知，f』在(a,b)內連續.

當導函數單調減時，證明的方法類似，請自己嘗試一下，加深印象。