費馬大定理：一個傲嬌法國人的詭異故事
2023-03-31 10:05:16 2
這個故事正如數學科普作家西蒙·辛格在一個「數字狂」(Numberphile)視頻中所說：這個十七世紀的法國數學家，皮埃爾·德·費馬，坐在他的私人圖書館中正讀著一本書。他激動地寫下了他的一個新發現，就在書的角落裡——一個咱們現在稱為費馬大定理，或簡寫為FLT的斷語——但他緊接著寫道，書的邊角當地太小以至於寫不下他的證明。在他還沒能跟任何人溝通這個問題的細節之前，「他就暴斃而亡了。」
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關於這個版別的費馬大定理故事，我有兩個疑問，而且它好像在暗示是主人公的逝世才導致這個重要的數學秘密被久久塵封。首先，咱們看過太多遍「秘密在臨死前始終說不出口」的電影片段了；這很做作可笑，不是嗎？第二，並沒有依據標明費馬死前寫過那樣一段話。咱們無法回到過去確定他所使用過的墨水，由於在他的注釋被人轉錄之後原書就不見了，可是從費馬的函件中咱們能夠得知，他讀這本書是在職業生涯前期，大約1630年代。大多數學者以為這個傳奇的注釋寫於他逝世之前二十年。所以辛格在他的視頻2分15秒開端杜撰了一個過於戲劇性的故事。他仍然確信費馬是帶著一個沒有向任何人提醒的他所宣稱的證明歸於塵土的。
多虧了現代數學家安德魯·懷爾斯，咱們才能夠知道費馬的宣稱是正確的，他也由於在費馬大定理上的著名作業而在不久前獲得了阿貝爾獎。可是，費馬真的有那個絕妙的證明嗎？這正是我今日想要評論的。當咱們評論這個費馬沒有提醒的最著名的證明時，我將要告知你費馬確實創造了一個證明辦法——一個能夠美好地處理其它的與此類似辦法數論問題的辦法。
這本使得費馬很丟面子的書是他私人抄本的《丟番圖算術》。而吸引了費馬注意力的那一頁上評論的問題是：將一個平方數分解為兩個平方數的和。（5?2;=4?2;+3?2;，20?2;=16?2;+12?2;，再不然分數也行，4?2; = (16/5)?2; + (12/5)?2;，由於丟番圖對分數和整數都相同滿足。）
費馬在書的邊上寫道：「然而，你卻不或許將一個立方數寫成兩個立方數之和，也不能將一個四次冪數寫成兩個四次冪數之和，或者更一般的，任何一個高於二次冪的數都不能寫成兩個和它同次冪的數之和。我現已發現了一個絕妙的證明，可是這裡太窄了，我寫不下了。」用現代的記號標明即：若n是一個大於2的正整數，則方程x^n + y^n = z^n (x^n 標明x的n次方)沒有非零的有理數解（你或許會想為什麼我會說「有理數」而不是「整數」？細心想一想）。費馬的兒子在費馬1665年去世之後整理出書了父親的手稿和筆記，才使得這個斷語公之於眾。
費馬是仔細的嗎？
考慮到費馬在今人中的名聲很大一部分源自於這個宣稱，一些人想知道是否有或許他故意誤導後世的人們以贏得身後的榮耀——他明知這是個困難無比的問題，但在心裡察覺到，若他宣稱有一個辦法，那他身後就會像一個無與倫比的聖人那般著名。他的所謂的證明會是純粹的虛張聲勢嗎？
這是個有意思的觀念，但這並不符合咱們了解的費馬和他那個年代的人。像費馬大定理這樣的問題並不能激起費馬時期那些頂尖的數學家太多的愛好。微積分正在歐洲文化的子宮裡孕育，那些導致了微積分被創造出來的問題才是人們的愛好所在。費馬在解析幾許、核算範疇、光學、最優化上的創造性作業——正是這些讓他享有巨大的聲譽。
相反，費馬在企圖讓人們信任比方他的大定理之類的問題有很大價值時遇到了重重困難。他用以構造「佩爾-費馬方程」解的進程確實引起了一些人的愛好，比方約翰·沃利斯，可是沃利斯覺得費馬否定性的效果索然無味。布萊斯·帕斯卡，他很欣賞費馬在概率論上先驅性的作業，然而對費馬在數論上的作業卻是嗤之以鼻。
假如我活在費馬的年代，我會很同情費馬盡力所做的作業，可是恐怕我很或許會站在那些置疑者的一邊。我能幻想我自己會說：「數學難道不該是解出方程，而不是證明它們無解嗎？假如企圖找出所有數字解導致咱們要去考慮那些壓根就沒有解的方程，那麼從一開端，企圖尋覓它們的解不便是個過錯嗎？難道這不是告知咱們費馬在問一些過錯的問題嗎？」
費馬敦促他的同年代人在解方程時參加有理性和整數性的要求，並沒有其他原因，純粹是為了使方程更具挑戰性。在實數範圍內簡略解出的方程，在加上比方有了解或整數解等附加條件後會變得極端困難而精妙。後代人開端視這種精妙為一件好事；這些問題很難但仍然可解的現實標明了這些問題值得研討。隨後世紀裡最巨大的數學家們，比方萊昂哈德·歐拉、卡爾·弗雷德裡希·高斯，對費馬的作業十分感愛好，乃至對他遺留下來未完成的作業更加有愛好；他們的認可使得費馬關於整數疑團的凌亂口袋變成了數學中一個叫數論的分支，並賦予了這個範疇自己的合理性和無尚榮耀。應當闡明高斯對費馬大定理並不傷風，他曾清晰指出（在對n=3的景象找到一個證明後）在數論中能夠很輕易地提出許多這樣很困難的問題。
到十九世紀前期，數學家們現已處理了費馬所有的猜測——除了這一個，這也致使這個遺留的問題被冠以「費馬大定理」的名號。（不妨告知你，費馬「倒數第二大定理」是被柯西在1813年證明了。）費馬宣稱他關於費馬大定理的證明是「絕妙的」給人類知識的距離增添了額外的悽美。
讓咱們返回十七世紀，費馬問題的巨大困難使得許多數學家以為他們應該把心血盡力轉移到別的當地。正如費馬的同代人克裡斯蒂安·惠更斯寫道，「有別的更好的東西等著咱們去做。」所以，要是費馬想用不誠實的斷語來使人們佩服，那他就不該打費馬大定理的主見。
你仍能夠尖刻的置疑，費馬的緘默便是他底子沒有那個證明的依據。不過你得知道，關於費馬而言，對一個出題不給出證明是一件尋常的事，並不是什麼例外。他沒有發表任何關於數的作業，但他經過和其他數學家的通訊來是自己滿足。（不錯，費馬是一個「業餘的數學家」，不過話說回來，誰不是呢？）他就像在和他的通訊者玩一個美妙的遊戲，他提出一個問題而且暗示假如對方無法處理他就會提醒答案。所以，很有或許費馬確有一個關於他的「大定理」的證明，可是在他人費盡心機徒勞無益之前他不肯揭秘，這樣就更能顯現他自己的聰明。
總之，我從未見過任何可信的依據標明費馬在冊頁邊角寫下的評註是在誤導後人。我以為費馬是真的找到了一個論據而且他覺得是一個有效的證明。那絕不是安德魯·懷爾斯和理察·泰勒的手法，他們的手法包含了太多的數學新概念（像是「橢圓曲線」）和歷代數學研討者的出色效果，這些都是在費馬身後才被發展出來的。數學史專家們以為費馬一定擁有一個他自己確信無疑的證明。
假如咱們想要了解當費馬說他證明了某個數論中的問題時他是什麼意思，咱們需求了解他用了何種辦法。幸運的是，這一點費馬能夠親身告知咱們，由於在他一生中，他確實給出了這麼一個數論問題的具體證明進程。他使用了一種辦法，他以為是他對數論這門學科最重要的貢獻：在1657年給皮埃爾·德·卡爾加維的一封信中，費馬稱其為「無量遞降法」。
無量遞降法
很簡略給出一個後項比前項大的無量正整數序列：如素數序列、完全數序列或者1，2，3，4……但你能想出一個後項比前項小的無量正整數序列嗎？只需稍微想想你就會回答「不或許」。比方，取第一項是一百萬，那麼第二項至多是999999，第三項至多是999998，一向下去；在一百萬項之後（不會更多），這個序列就會發現自己被逼到了角落裡，這是由於每一項都要求是正整數。假如第一項不是一百萬，是個更大的數，比方十億，那麼這個序列仍然會抵達結尾，儘管要許多許多項之後。這便是說，不存在無限長的正整數遞減序列；不管首項多麼大，一個正整數的遞減序列遲早都會完結。這個好像不起眼的費馬原理卻有著含義深遠的效果。
舉個比方，讓咱們把費馬的辦法運用到這個方程：xy + y?2; = x?2; ，咱們來證明它沒有正整數解。費馬會用純代數的辦法來陳說他的證明，而我將選用幾許的途徑，來使證明的邏輯更明晰。要提醒的是，費馬從未將他的無量遞降法用在這樣簡略的方程上，他創造這個辦法是為了敲開更硬的堅果，例如方程x^4 + y^4 = z?2;,在他給卡爾加維的信中清晰的展示了這個辦法。
為了咱們對方程 的剖析，首先把「x」用「a」代替，把「y」用「b」代替，這樣方程就變成了ab + b?2; = a?2;；然後將它變形為(a+b)/a = a/b;接下來將這個方程標明為幾許辦法，咱們能夠畫一個a×(a+b)的矩形，它裡面包含了一個a×a的正方形和一個a×b的矩形。
方程(a+b)/a = a/b標明大矩形類似於小矩形：行將大矩形旋轉90度，再把它按比例縮小就得到了小矩形。因而，這個大矩形便是古希臘人所說的「黃金矩形」：它包含了一個正方形和其本身的縮小版。相同，這個小矩形也類似於大矩形，它也是個黃金矩形；正如下圖所示。所以，這個小矩形也能夠分解為一個正方形和一個更小的矩形；這個更小的矩形還能分解成一個正方形和一個更更小的矩形……能夠將這個進程一向無限進行下去。
當你第一次看這張圖或許會有點暈厥，但這在數學上不成問題。假如從一個黃金矩形開端，你能夠畫越來越小的正方形和越來越小的黃金矩形，直到你實在沒耐心了（或者找不到更尖細的鉛筆了）。可是，假如你不是從一個黃金矩形開端會怎樣樣呢？要是你想徒手畫一個黃金矩形，怎樣畫呢？乃至假如你要求你的黃金矩形每邊都是整數個單位長，這又會怎麼呢？
這樣的話，你就陷入了麻煩之中，而費馬的無量遞降原理會告知咱們為什麼。可是首先，咱們需求對圖一做一個好像很天真的調查：假如大矩形的邊是整數，那麼小矩形的邊也是整數（代數言語：若a+b和a是整數，則a和b是整數。這是由於咱們能夠將b寫為(a+b)-a,這是兩個整數的差。）為了看出這將導出什麼，來看接下去的下面那張圖中的小黃金矩形。假如最大的是整數邊，那麼小的也是，更小的也是，一向下去都是。這樣，咱們就得到了一個無量遞減的整邊矩形序列。看出問題了嗎？拿出每個矩形的短邊，咱們能夠得到一個無量多項遞減的正整數序列——可是這是不或許的，這由無量遞降原理可知。所以，不存在一個整數邊長的黃金矩形。
直接證明
咱們剛剛所展示的證明便是一個直接證明：為了闡明某個出題在數學上是不成立的，咱們只需闡明它的成立會與本身產生對立或與已知的產生對立即可。舉個比方，為了證明不存在整數邊長的黃金矩形，咱們證明了要是這樣的矩形存在就會導致存在無量遞降正整數序列，而這一點與無量遞降原理對立。
假如這是你第一次領略非直接證明，你或許會感到有些不安——這似乎在哄人！假如你這麼覺得（有這種感覺很正常），那我告知你這是一種和咱們現實國際並不十分相等的推理辦法，在這種推理辦法下，事物的性質是受到置疑的，這樣你或許會感覺好一些。這或許便是為什麼你的大腦會對這種辦法有所警惕。可是在數學中咱們處理的是經過準確定義的抽象概念，而不是憑經歷的調查所得，因而運用對立來證明是一種合理的推理辦法。在構建可數數這一數學論據時，咱們被允許作出沒有無量遞減的可數數序列這一假定——不是由於咱們在實際生活中沒有遇到這樣的序列，而是當咱們說可數數時它就現已暗含了這一性質。
假如你以為要是沒有直接證明數學會發展的更好，這就有一個問題值得深思：那你還能用什麼辦法去證明某個東西是不存在的呢？經過遍尋它或許存在的當地然後發現哪兒都沒有它？當這樣的當地是無限多個時，這種辦法就不管用了！
直接證明的一個優點是，在你緊接著的推理進程中提供了十分寬廣的目的地：你只需抵達其中任意一個對立的當地，那就完成了證明。能夠把推理的進程幻想成地理位置依賴於知識狀況的導航進程。假如你企圖證明「若出題P，則出題Q」，那麼你就會從P動身嘗試樹立一條通往Q的道路；或許只要惟一一條道路，找到它或許要很高超的技巧。可是，假如你試著去證明出題P和出題Q的否定放在一起能夠產生一個對立，不管是什麼樣的對立都行，都能夠使你抵達原來的目的地。你能夠立刻就試試從一些前提假定作一些隨機的定論，再看看它們把你帶到了何處！所以這種證明辦法常常能給你提供比直接證明更大的前進空間。
假如你喜歡上面那個沒有整數邊長的黃金矩形的證明，你能夠用相同的辦法試著證明，不存在五條邊和五條對角線都是整數的正五邊形。
費馬知道什麼？他什麼時候知道的？
費馬有找到了一個正確的證明的或許性，可是這一點隨著時刻流逝變得越發不可信。由於那些掌握著費馬所知道的所有數學東西的業餘數學家們，滿足聰明也花了滿足多的時刻在數學上，都沒能找到費馬大定理的一個初等證明。要是真有那麼一個簡略的證明，會時至今日還沒被發現嗎？
大多數歷史學家傾向於費馬犯了個過錯這一觀念。（這或許不是他唯一的過錯；參看參閱列表中的文章「費馬的過錯」。）這一假定會更可信假如歷史學家們能夠重現關於費馬大定理的那些貌同實異的費馬式的過錯證明。其中之一是費馬之後兩個世紀，數學家拉梅的那個過錯證明；儘管它包含著一些費馬那個年代所沒有的主意（如將複數引進數論），不過費馬很或許有一些基於直覺的、奇怪的辦法去處理數，而不使用咱們今日的辦法，比方精巧的三角學辦法。所以費馬或許有一個天才的辦法比拉梅早兩個世紀犯了那個過錯。
即使沒有拉梅的那個比方，咱們也能夠看出費馬是在企圖處理一個極其簡略犯錯的問題。證明一個東西不存在簡直總是要用到直接證明，當你構建了一個直接證明，找出任意一個對立就行了。這就使得很簡略構建出一個虛偽的直接證明：只是犯了一個代數過錯，就推出了一個對立，而這個對立卻並不能由你最開端的前提假定推出，它只是只是起源於你推理中的一個小過錯。
大多數對費馬的證明抱有愛好的數學家都得出了和我相同的定論，這也是我在文章標題的挑選中所暗示的。這個詞組「深夜小狗奧秘事情」來自於《福爾摩斯》裡的故事《銀斑馬》，在這個故事裡，福爾摩斯向蘇格蘭警察廳的偵探格雷戈裡解釋了他的推理。
格雷戈裡：「你還有其他東西想引起我的注意嗎？」
福爾摩斯：「 這隻狗在晚上的奇怪舉動。」
格雷戈裡：「這隻狗夜裡什麼都沒做。」
福爾摩斯：「那才是一件奇怪的事。」
關於咱們而言這個奇怪的事是，在他所有的函件中，包括他1659年最終一封給卡爾加維的信（在這封信中他在總結了他一生在數論中的所做的作業），費馬也沒有說到他證明了費馬大定理。他確實證明了x^4 + y^4 = z?2;沒有正整數解，由此能夠推出n=4時的費馬大定理成立。費馬也宣稱用他的無量遞降法他也證明了x?3; + y?3; = z?3;沒有正整數解。可是關於方程x^n + y^n = z^n,當n大於4的時候，他沉默了。是否有或許在他原以為自己證明了費馬大定理後，突然意識到實際上他並沒有？而他也忘記了在那一頁書上重新作個聲明，或者他底子就不記住自己寫過那段評註？
咱們永遠也不或許知道真相了，可是除非直到有更多的依據，那好像是這個數學疑團形似最真實的答案了。
