幾何圖形輔助線一覽表（有句話叫解立體幾何）

2023-04-18 18:44:13

很多參加過高考數學的人說,解決立體幾何問題，關鍵在於添加輔助線，甚至一些人認為「解立體幾何，得輔助線者得天下」。這樣的話或許有些誇張，但也表明解決立體幾何問題關鍵在於要學會添加輔助線。

事實上，如何添加輔助線一直是很多學生學習幾何難點和痛點，一些同學由於沒有掌握好添加輔助線的基本方法,給解題帶來很大的困擾。在添加輔助線過程中，很多同學都是片面憑解題感覺、盲目亂添，不僅沒能幫助解決問題，甚至給解題帶來錯誤的引導。

其實掌握立體幾何添加輔助線的方法，大家可以牢記這麼一段口訣：「有了中點配中點，兩點相連中位線；等腰三角形出現，頂底中點相連線；有了垂面作垂線，水到渠成理當然。」

解決有關線面平行、面面平行的基本問題要注意：

1、判定定理與性質定理中易忽視的條件，如線面平行的判定定理中條件線在面外易忽視．

2、結合題意構造或繪製圖形，結合圖形作出判斷．

3、舉反例否定結論或用反證法推斷命題是否正確．

在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從「低維」到「高維」的轉化，即從「線線平行」到「線面平行」，再到「面面平行」；而在性質定理的應用中，其順序恰好相反，但也要注意，轉化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過於「模式化」．

輔助線(面)是求證平行問題的關鍵，注意平面幾何中位線，平行四邊形及相似中有關平行性質的應用．

典型例題2：

判定面面垂直的方法：

1、面面垂直的定義。

2、面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．

在已知平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化，轉化為線面垂直或線線垂直．

轉化方法：在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然後進一步轉化為線線垂直．

在證明兩平面垂直時，一般先從現有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決，如有平面垂直時，一般要用性質定理．

幾個常用的結論：

1、過空間任一點有且只有一條直線與已知平面垂直．

2、過空間任一點有且只有一個平面與已知直線垂直．

解決此類問題常用的方法有：①依據定理條件才能得出結論的，可結合符合題意的圖形作出判斷；②否定命題時只需舉一個反例；③尋找恰當的特殊模型(如構造長方體)進行篩選。

求異面直線所成的角一般用平移法，步驟如下：

1、一作：即找或作平行線，作出異面直線所成的角；

2、二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；

3、三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角。