戴德金分割定理例題（實數理論的建立）

2023-04-27 18:11:04 2

戴德金提出利用集合分類的方法來定義實數。定義是從有理數出發的，我們仍然用Q表示有理數的集合。把Q分為上下兩個不相交的集合，即沒有共同元素的集合。比如說分為集合A和集合B，使得A∪B=Q，並且對任意a∈A和b∈B都有a<b，其中A∪B表示集合A的元素和集合B中的元素，稱這樣的做法為一個劃分，記為A|B。這時可能會出現下面三種類型：

1. A中有最大值，B中無最小值

2. A中無最大值，B中有最小值

3. A中無最大值，B中無最小值

類型1和類型2的成立是顯然的，比如，A={a;a≤2,a∈Q}和B={b;2<b,b∈Q}；類型3是可能的，比如，集合A為平方小於2的所有有理數，集合B為平方大於2的所有有理數，因為√2是無理數，所以√2既不屬於集合A也不屬於集合B，這樣集合A中就無最大值而集合B中無最小值。

為了說明僅有上述三種類型，還必須說明不會出現「A中有最大值，B中有最小值」的情況。如果A中有最大值，B中也有最小值，令它們分別為a和b，則a和b均為有理數，並且由劃分定義知a<b。令c=(1/2)(a b)，應為a<c<b，所以c既不屬於A也不屬於B，這是不可能的，因為c是有理數，而A和B包括了所有的有理數。

現在我們約定：類型3的劃分定義一個無理數，比如我們剛才得到的√2。實數的定義仍然是「有理數與無理數統稱為實數」，於是一個劃分A|B就代表了一個實數。

前面我們曾經談到，數量的本質是多與少，與此對應，數的本質是大與小。那麼，如何來判斷通過劃分定義的實數的大小呢？令兩個劃分A|B和C|D得到的實數分別為a和c，那麼，

a=c等價於A=C

ac等價於A≠C，且C被A包含

現在，我們證明這樣一個非常有意義的命題：雖然有理數集合Q被實數集合R包含，但是Q在R中是稠密的。也就是說，對於任意兩個實數a和c，如果a≠c，比如說a<c，則必然存在一個有理數r，使得a<r<c。證明如下：由戴德金分割，a<c等價於A被C包含且A≠C，則至少存在一個有理數r∈C但不屬於A，因為A和B包含了所有的有理數，於是r∈B。由戴德金分割定義有a<r；再由戴德金分割定義，r∈C意味著r<c，這就證明了命題。

下面我們來討論實數的連續性，類似對有理數的分割，把R分為上下兩個不相交的集合，比如說集合A和集合B，使得A∪B=R並且對任意a∈A和b∈B都有a<b。我們說，現在只能出現下面兩種類型：

1. A中有最大值，B中無最小值

2. A中無最大值，B中有最小值

現在我們證明上述類型情況必有一個成立。令A』和B』分別表示被A和B包含的有理數的全體，由A和B的定義有A』∪B』=Q，並且對於任意a∈A』和b∈B』都有aγ。由我們剛剛證明了的有理數的稠密性，至少存在一個有理數γ∈A』，使得a>r>γ，這是與戴德金分割矛盾的。用類似的方面可以證明γ屬於B的情況。

對於實數的戴德金劃分，只能出現上述兩種情況就意味著實數是連續的。

與基本序列方法一樣，戴德金分割對於計算法則也是沒有新意的。同樣，戴德金分割也有讓人困惑不解的地方。戴德金分割在本質上是一種操作，而在數學上所有的操作都必須是有限步的，我們不可能用無限步的操作去闡述一個命題，比如我們曾經討論過的古希臘的「劃圓為方」的問題，總不能制定一個操作規則，然後說只要按照規則操作下去就能得到所需要的結果。這樣，任何一個基於有理數的，步驟有限的操作，原則上只能得到以有理數為係數的方程組的解，即得到代數數。那麼，如何用戴德金分割去得到超越數呢？比如我們曾經談到過的自然對數的底e，這個數是用極限表示的：

e=lim(n→∞)(1 1/n)n

此外，戴德金分割方法多少給人一種先入為主的感覺：先有一個數存在在那裡，然後再製造一個劃分來表達這個數。問題是，如何用戴德金分割去發現一個新的數呢？

我們已經能夠很好地刻畫實數以及實數的運算法則了。因此，也能夠建立基於實數理論的數學，特別是分析學方面的一系列理論了。但是，由於好奇心的本性，人們總是要對許多事物刨根問底，比如還希望知道，整數集合Z，有理數集合Q以及實數集合R的元素的個數都是無窮多的，可是在無窮多之間是否還有差異呢？因為集合之間到底是存在包含關係的。