高等數學無窮小的符號（無窮大的符號像雙扭線）

2023-09-15 23:18:38 1

作者，Geek學院，哆嗒數學網群友

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相信大家對雙扭線的形狀都不會感到陌生，今天我們就來聊聊它的方方面面。

一、作為數學對象的雙紐線

雙紐線 或者說lemniscate ，詞源是拉丁語「lemniscus 」，古希臘語λημνῐ́σκος(lēmnískos)，即指緞帶。確切地說，雙紐線在數學中指代著多種不同緞帶般的8字形曲線，但一般特指伯努利雙紐線 (Lemniscate of Bernoulli )。它不僅是所有雙紐線中最為人們熟知的，同時數學上也是內涵最豐富的幾何對象之一。

直角坐標系下，半徑為a的伯努利雙紐線是由下述四次多項式方程

(x² y²)²=a²(x²-y²)

給出的隱函數的圖像，例如

就是半徑為1的雙紐線，這裡的半徑指的是中心到最遠端點的距離。

由定義可知雙紐線是某個(二元)四次多項式在平面上的零點，所以雙紐線是一條四次平面曲線(quartic plane curve )，從而也是一條代數曲線。對定義稍加分析不難發現，就像圓一樣，不同半徑的雙紐線都是彼此相似的，換句話說雙紐線的形狀是唯一的。應用一元二次方程的知識，容易通過計算發現半徑為1的雙紐線高為√2/4。

二、伯努利雙紐線的誕生

雙紐線的英文單詞「lemniscate」最早於1694年被雅各布·伯努利 (Jacob Bernoulli ,1654-1705)用來描述他所發現的雙紐線，他為了解決萊布尼茲的等時曲線問題，想找到一條和某(工程力學相關的)超越曲線有相同弧長函數的代數曲線提出了這條曲線。1694年9月《教師學報》(Acta Eruditorum )發表了雅各布的這項研究。下圖是1695年12月雅各布發表的研究中的配圖，描繪了伯努利雙紐線與等時曲線的關係：

巧合的是，雅各布·伯努利的弟弟約翰·伯努利 (Johann Bernoulli ,1667-1748)為了解決萊布尼茲的等時曲線問題也獨立發現了伯努利雙紐線，然而1694年10月《教師學報》(同一份期刊)上才發表了他的結果，僅僅晚了一個月。毫無疑問，爭執解答等時問題的優先權成了兄弟間的無數紛爭之一。

值得一提的是，早在1680年著名天文學家卡西尼 (Cassini ,1625-1712)提出過一族曲線即卡西尼卵形線 (Cassini oval )試圖來描述地球與太陽相對運動軌跡(雖然卡西尼對土星研究有著巨大貢獻，但這一點他完全是迷信了)。伯努利雙紐線便是卡西尼卵形線的特例，但畢竟出發動機不同，卡西尼從未注意過它，所以數學史上將伯努利雙紐線的發現歸功於伯努利們是完全合適的。

有一些資料指出，伯努利雙紐線的誕生是對橢圓定義的簡單推廣，也就是到兩定點之積為定值的曲線。雖然這個定義正確並且自然，但這是完全不符合史實的。這種曲線就是卡西尼卵形線，然而不論是伯努利雙紐線還是卡西尼卵形線，上述史料告訴我們歷史上都有著更強有力的動機讓人們提出它。現實數學中，幾乎每個重要概念提出的動機都是只有考察數學史才可能得知的強有力的動機，數學中幾乎沒有任何一個重要概念的提出動機僅僅是由於形式上簡單自然的，因為這不足以讓人有必要去發展它。

三、作為符號的雙紐線

毫無疑問，每個人看到伯努利雙紐線以後都會想到無窮大，很讓人懷疑是不是規定過無窮大的記號就得長成伯努利雙紐線的樣子，然而並沒有過這種規定。

1655年，數學家沃利斯 (Wallis ,1616-1703)在其著作中用符號「∞ 」作為無窮大的記號 ：

失望的是，他完全沒有說明任何理由。有一種推測是它長得像羅馬數字裡的1000，即「CIƆ」，因為有時會用它表示「許多」的概念，還有一種推測是認為和最後一個希臘字母「ω」長得像。

雖然據其形狀可以稱之為雙紐線，但此時和伯努利雙紐線絕對沒有任何關係，因為這是它被發現前39年的事情，此後兩者之間也依舊沒有直接關聯。簡而言之，表示無窮大用的雙紐線就只是一條長得好看點的雙紐線而已。雙紐線作為符號，在社會文化中也逐漸頻繁出現，現在幾乎是無處不在了。它不僅用來表示無窮大，也逐漸承載了越來越多的含義，這些含義往往與各種神秘概念相關。

可以相信的是，在Wallis之前，雙紐線並不會作為符號承擔任何含義。所有以雙紐線作為符號的事情，必定是Wallis之後的了。

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