數學集合的含義（數學:集合的概念）

2023-11-30 09:49:21

題記

美國有原子彈，那也沒有什麼了不起。它有它的原子彈，我有我的手榴彈；它打它的原子彈，我打我的手榴彈。我們堅決相信，我們的手榴彈，最後一定可以打敗美國的原子彈。有些人只看到美國原子彈在廣島爆炸的厲害，不懂得它在廣島的爆炸毀滅的也是它自己，歸根結底不是原子彈消滅人民，而是人民消滅原子彈。我相信原子彈無非是個紙老虎。

——毛澤東

要注意教育和科學技術。對科學技術的重要性要充分認識。科學技術是第一生產力，知識分子是工人階級一部分。

——鄧小平

大家好！我是小劉童曉，今天複習集合的知識。

一 知識內容

（一）集合

把一些能夠確定的不同的對象匯集在一起，就稱由這些對象構成一個集合。常用大寫字母表示，如A、B、C...

（二）元素

組成集合的每個對象，都是這個集合的元素。常用小寫字母表示，如a、b、c...

（三）集合的簡單表示

將元素寫在花括號中，用逗號隔開，{元素1，元素2，元素3}。例：集合A 集合{6,7,8} 集合A={6,7,8}。

（四）元素與集合的關係

只有兩種關係:元素在集合中，即元素屬於集合，符號∈；元素不在集合中，即元素不屬於集合，符號∉。

（五）元素的性質

有3個性質：確定性，即集合中的元素是確定的，要能夠判斷元素是否屬於集合，不能模稜兩可；

無序性，即集合中的元素可以任意排列；

互異性，是最重要的性質，即集合中的元素必須互不相同。

（六）涉及的其它知識點

1.多項式因式分解的十字相乘法

x² （a b）x ab=(x a)(x b),即1與b，1與a十字相乘；

acx² (ad cb)x bd=(ax b)(cx d),即a與d，c與b十字相乘。

我們可簡單用口訣理解為：首尾分拆為兩，兩兩十字相乘再相加，成中間；十字相乘以驗證，平行相加以成式子。十字相乘法在運用中是要不斷嘗試的，不可能一蹴而就！

2.一元二次方程根的判別式及其應用

（1）只含有一個未知數（一元），並且未知數項最高次數是2（二元）的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程經過整理都可化成一般形式ax² bx c=0(a≠0)。其中ax²叫做二次項，a是二次項係數；bx叫做一次項，b是一次項係數；c叫做常數項。

（2）在一元二次方程ax² bx c=0中，b²-4ac就是其判別式，進行方程根個數的判斷。當判別式大於0時，方程有兩個不相等的實數根；當判別式等於0時，方程有兩個相等的實數根；當判別式小於0時，方程沒有實數根。

（3）如上所述，那為什麼我們又常常遇到稱一元二次方程只有一個實數根的情況呢？

嚴格來說，不管何時都不可能只有一個實數根，只存在兩種情況：①沒有根，即判別式Δ=b²-4ac小於0；②有兩個根，即判別式Δ=b²-4ac大於或等於0。我們說的一個實根只是當判別式等於0時，兩實根相等罷了，於是習慣稱為一個實根。

二次方程的根必然有兩個，成對出現，我們可以將方程分解為兩個一次因式的乘積。此外，實方程也是一種特殊的複方程，也要滿足複方程n次n解的原則。

（4）一元二次方程的求根公式導出過程如下：

1 ax² bx c=0（a≠0）......方程兩邊同時除以a

2 x² b/ax c/a=0 ......為了配方，兩邊各加(b/2a)²

3 x² 2×x×(b/2a) (b/2a)²=-(c/a) (b/2a)²......運用公式法：a² 2ab b²=（a b）²

4 〔x (b/2a)〕²=(b²/4a²）-（c/a

）......將方程右邊的平方化開

5 〔x (b/2a)〕²=(b²/4a²）-（4ac/4a²）......將方程右邊通分

6 〔x (b/2a)〕²=（b²-4ac

）/4a²......將方程兩邊同時去平方

7 x (b/2a)=±√〔（b²-4ac

）/4a²〕......移項

8 x=±√〔（b²-4ac

）/4a²〕-(b/2a)......將方程右邊去根號

9 x=±√{〔（b²-4ac

）〕/2a}-(b/2a)......將方程右邊通分

10 x=〔-b±√（b²-4ac

）〕/2a......最後結果

一元二次方程的求根公式在方程的係數為有理數、實數、複數或是任意數域中適用。

一元二次方程中的判別式Δ=√（b²-4ac）。

二 例題部分

第一題：已知集合A由m 2和2m² m兩個元素構成.若3∈A，則實數m的值為( ) .

解析：

（1）分類討論

題目中說集合A有兩個元素，分別用兩個代數式表示，且其中一個元素是3。這樣我們不知道究竟哪個代數式的值是3，必須展開分類討論。

①當m 2=3時，則m=3-2=1。

②當2m² m=3時，可變換成一元二次方程的形式：2m² m-3=0，運用多項式因式分解的十字相乘法，可變換成：（2m 3）（m-1）=0，可得m1=-（3/2），m2=1。

（2）檢驗

綜合（1），我們知道m的取值有-（3/2）或1，但集合中的元素有互異性，必須互不相同，我們便將這兩個數值分別代入兩個元素的代數式中進行檢驗。

①取m=1時，m 2=1 2=3且2m² m=2×1² 1=3，則A={3,3}，故不滿足互異性，不可取。

②取m=-（3/2）時，m 2=2 〔-（3/2）〕=（4/2）-(3/2)=1/2且2m² m=2×〔-（3/2）〕² 〔-（3/2）〕=2×（9/4）-（3/2）=(9/2)-(3/2)=6/2=3,則A={1/2，3}，故可構成一個集合。

答案為〔-（3/2）〕。

第二題：由方程ax² x 2=0的解構成的集合中只有一個元素，則實數a的值為 （ ）.

解析：我們知道一元二次方程的一般形式為ax² bx c=0(a≠0)，則題中方程ax² x 2=0其實是一個偽二次方程，可以分成兩種情況討論。

①題中方程只有一個解，即判別式Δ=0，可得等式為：b²-4ac=1²-4a×2=1-8a=0，所以a=1/8。

②加上一個前提條件，若參數a=0時，題中方程將變成只有一個解的一次方程：x 2=0，所以x=-2，也符合集合中只有一個元素的題意。

答案為1/8或0。

第三題：由a,-a,|a|，√（a²）構成的集合中，最多含有 個元素，最少含有 個元素.

解析：這道題可以直接通過賦值法解答，我們設a=1，則四個元素分別為1，-1，|1|，√（1²），結果即1，-1,1,1,所以一共有1,-1兩個元素。這裡我們要知道|a|=√（a²），即兩者其實是等價的關係。

那我們再設a=-1，則四個元素分別為-1，1,1，1，所以還是一共有1，-1兩個元素。綜上可知，題目中集合最多含有2個元素。

另外，我們若設a=0，則四個元素皆為0，可知題目集合中最少有1個元素。

答案為2；1。

今天就到這裡了，謝謝大家！

下回再見吧！