質數和合數的概念，一切都是為了我們
2023-03-30 13:15:37 1
質數（Prime number，又稱素數），指在大於1的天然數中，除了1和該數自身外，無法被其他天然數整除的數（也可界說為只要1與該數自身兩個正因數的數）。
大於1的天然數若不是素數，則稱之為合數（也稱為合成數）。算術根本定理確立了素數於數論裡的中心地位：任何大於1的整數均可被表明成一串僅有素數之乘積。為了確保該定理的僅有性，1被界說為不是素數，由於在因式分化中能夠有恣意多個1（如3、1×3、1×1×3等都是3的有用約數分化）。
快速導航
知乎精選
概況
知乎精選最新
目
錄
1界說和比如
2算術根本定理
3前史
4素數的數目
歐幾裡得的證明
歐拉的解析證明
5測驗素數與整數分化
試除法
篩法
素數測驗與素數證明
專用意圖算法與最大已知素數
整數分化
6素數散布
素數的公式
一特定數以下的素數之數量
等差數列
二次多項式的素數值
7未處理的問題
ζ函數與黎曼猜想
其他猜想
8運用
模一素數與有限域之運算
其他數學裡呈現的素數
公開金鑰加密
天然裡的素數
9推行
環內的素元
素抱負
賦值
10在藝術與文學裡
1界說和比如
質數又稱素數。一個大於1的天然數，除了1和它自身外，不能被其他天然數整除的數叫做質數；不然稱為合數。
數字12不是素數，由於將12以每4個分紅1組，恰可分紅3組（也有其他分法）。11則無法分紅數量都大於1且都相同的各組，而都會有剩下。因而，11為素數。
數字12不是素數，由於將12以每4個分紅1組，恰可分紅3組（也有其他分法）。11則無法分紅數量都大於1且都相同的各組，而都會有剩下。因而，11為素數。
在數字1至6間，數字2、3與5為素數，1、4與6則不是素數。1不是素數，其理由見下文。2是素數，由於只要1與2可整除該數。接下來，3亦為素數，由於1與3可整除3，3除以2會餘1。因而，3為素數。不過，4是合數，由於2是另一個（除1與4外）可整除4的數：
4 = 2 · 2.
5又是個素數：數字2、3與4均不能整除5。接下來，6會被2或3整除，由於
6 = 2 · 3.
因而，6不是素數。右圖顯現12不是素數：12 = 3 · 4。不存在大於2的偶數為素數，由於根據界說，任何此類數字n均至少有三個不同的約數，即1、2與n。這意指n不是素數。因而，「奇素數」係指任何大於2的素數。相似地，當運用一般的十進位制時，一切大於5的素數，其尾數均為1、3、7或9，由於偶數為2的倍數，尾數為0或5的數字為5的倍數。
若n為一天然數，則1與n會整除n。因而，素數的條件可從頭敘說為：一個數字為素數，若該數大於1，且沒有
2, 3, ..., n − 1
會整除n。另一種敘說辦法為：一數n > 1為素數，若不能寫成兩個整數a與b的乘積，其間這兩數均大於1：
n = a · b.
換句話說，n為素數，若n無法分紅數量都大於1且都相同的各組。
由一切素數組成之調集一般符號為P或。
前168個素數（一切小於1000的素數）為
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997 （OEIS中的數列A000040）.
2算術根本定理
素數對於數論與一般數學的重要性來自於「算術根本定理」。該定理指出，每個大於1的整數均可寫成一個以上的素數之乘積，且除了質約數的排序不同外是僅有的。素數可被以為是天然數的「根本建材」，例如：
23244 = 2 · 2 · 3 · 13 · 149
= 22 · 3 · 13 · 149. （22表明2的平方或2次方。）
好像此例一般，相同的約數或許呈現屢次。一個數n的分化：
n = p1 · p2 · ... · pt
成（有限多個）素因數p1、p2、……、pt，稱之為n的「約數分化」。算術根本定理能夠從頭敘說為，任一素數分化除了約數的排序外，都是僅有的。因而，儘管實務上存在許多素數分化算法來分化較大的數字，但最終都會得到相同的成果。
若p為素數，且p可整除整數的乘積ab，則p可整除a或可整除b。此一出題被稱為歐幾裡得引理，被用來證明素數分化的僅有性。
1是否為素數
最前期的希臘人乃至不將1視為是一個數字，因而不會以為1是素數。到了中世紀與文藝復興時期，許多數學家將1納入作為第一個素數。到18世紀中期，基督徒哥德巴赫在他與李昂哈德·歐拉聞名的通信裡將1列為第一個素數，但歐拉不同意。然而，到了19世紀，仍有許多數學家以為數字1是個素數。例如，德裡克·諾曼·雷默（Derrick Norman Lehmer）在他那最大達10,006,721的素數列表中，將1列為第1個素數。昂利·勒貝格據說是最終一個稱1為素數的職業數學家。到了20世紀初，數學家開始以為1不是個素數，但反而作為「單位」此一特殊類別。
許多數學效果在稱1為素數時，仍將有用，但歐幾裡得的算術根本定理（如上所述）則無法不從頭敘說而依然建立。例如，數字15可分化成3 · 5及 1 · 3 · 5；若1被允許為一個素數，則這兩個表明法將會被以為是將15分化至素數的不同辦法，使得此必定理的陳說必須被修正。同樣地，若將1視為素數，埃拉託斯特尼篩法將無法正常運作：若將1視為素數，此一篩法將會排除掉一切1的倍數（即一切其他的數），只留下數字1。此外，素數有幾個1所沒有的性質，如歐拉函數的對應值，以及除數函數的總和。
3前史
在古埃及人的倖存紀錄中，有跡象顯現他們對素數已有部分知道：例如，在萊因德數學紙草書中的古埃及分數打開時，對素數與對合數有著完全不同的類型。不過，對素數有過詳細研討的最早倖存紀錄來自古希臘。公元前300年左右的《幾許本來》包括與素數有關的重要定理，如有無限多個素數，以及算術根本定理。歐幾裡得亦展現如何從梅森素數建構出完全數。埃拉託斯特尼提出的埃拉託斯特尼篩法是用來核算素數的一個簡略辦法，儘管今天運用電腦發現的大素數無法運用這個辦法找出。
希臘之後，到17世紀之前，素數的研討少有發展。1640年，皮埃爾·德·費馬敘說了費馬小定理（之後才被萊布尼茨與歐拉證明）。費馬亦估測，一切具22n + 1辦法的數均為素數（稱之為費馬數），並驗證至n = 4（即216 + 1）不過，後來由歐拉發現，下一個費馬數232 + 1即為合數，且實踐上其他已知的費馬數都不是素數。法國修道士馬蘭·梅森發現有的素數具2p − 1的辦法，其間p為素數。為紀念他的貢獻，此類素數後來被稱為梅森素數。
歐拉在數論中的效果，許多與素數有關。他證明無量級數1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…會發散。1747年，歐拉證明每個完全數都確實為2p−1(2p − 1)的辦法，其間第二個約數為梅森素數。
19世紀初，勒讓德與高斯獨立估測，當x趨向無限大時，小於x的素數數量會趨近於x/ln(x)，其間ln(x)為x的天然對數。黎曼於1859年有關ζ函數的論文中勾勒出一個程式，導出了素數定理的證明。其大綱由雅克·阿達馬與查爾斯·貞·德·拉·瓦萊-普森所完成，他們於1896年獨立證明出素數定理。
證明一個大數是否為素數一般無法由試除法來達成。許多數學家已研討過大數的素數測驗，一般局限於特定的數字辦法。其間包括費馬數的貝潘測驗（1877年）、普羅絲定理（約1878年）、盧卡斯-萊默素數判定法（1856年起）及廣義盧卡斯素數測驗。較近期的算法，如APRT-CL、ECPP及AKS等，均可作用於恣意數字上，但仍慢上許多。
長期以來，素數被以為在純數學以外的地方只要極少數的運用。到了1970年代，創造公共密鑰加密這個概念之後，情況改變了，素數變成了RSA加密算法等一階算法之根底。
自1951年以來，一切已知最大的素數都由電腦所發現。對更大素數的搜尋已在數學界以外的地方發生出興趣。網際網路梅森素數大查找及其他用來尋覓大素數的渙散式運算計劃變得盛行，在數學家仍繼續與素數理論奮鬥的一起。
4素數的數目
存在無限多個素數。另一種說法為，素數序列
2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
永久不會完畢。此一陳說被稱為「歐幾裡得定理」，以古希臘數學家歐幾裡得為名，由於他提出了該陳說的第一個證明。已知存在其他更多的證明，包括歐拉的分析證明、哥德巴赫根據費馬數的證明、佛絲登寶格運用一般拓撲學的證明，以及庫默爾優雅的證明。
歐幾裡得的證明
歐幾裡得的證明取任一個由素數所組成的有限調集S。該證明的要害主意為考慮S內一切素數相乘後加一的一個數字：
。
好像其他天然數一般，N可被至少一個素數整除（即便N自身為素數亦同）。
任何可整除N的素數都不或許是有限調集S內的元素（素數），由於後者除N都會餘1。所以，N可被其他素數所整除。因而，任一個由素數所組成的有限調集，都能夠擴展為更大個由素數所組成之調集。
這個證明一般會被過錯地描繪為，歐幾裡得一開始假定一個包括一切素數的調集，並導致對立；或許是，該調集恰好包括n個最小的素數，而不恣意個由素數所組成之調集。今日，n個最小素數相乘後加一的一個數字，被稱為第n個歐幾裡得數。
歐拉的解析證明
歐拉的證明運用到素數倒數的總和
。
當p夠大時，該和會大於恣意實數。這可證明，存在無限多個素數，不然該和將只會增加至達到最大素數p為止。S(p)的增加率可運用梅滕斯第二定理來量化。比較總和
當n趨向無限大時，此和不會變成無限大（見巴塞爾問題）。這意味著，素數比天然數的平方更常呈現。布朗定理指出，孿生素數倒數的總和
是有限的。
5測驗素數與整數分化
確認一個數n是否為素數有許多種辦法。最根本的程序為試除法，但由於速率很慢，沒有什麼實踐用途。有一類現代的素數測驗可適用於恣意數字之上，還有一類更有用率的測驗辦法，則只能適用於特定的數字之上。大多數此類辦法只能區分n是否為素數。也能給出n的一個（或悉數）素因數之程序稱之為約數分化算法。
試除法
測驗n是否為素數的最根本辦法為試除法。此一程序將n除以每個大於1且小於等於n的平方根之整數m。若存在一個相除為整數的成果，則n不是素數；反之則是個素數。實踐上，若是個合數（其間a與b ≠ 1），則其間一個約數a或b必定至大為。例如，對運用試除法，將37除以m = 2, 3, 4, 5, 6，沒有一個數能整除37，因而37為素數。此一程序若能知道直至的一切素數列表，由於試除法只查看m為素數的情況，所以會更有用率。例如，為查看37是否為素數，只要3個相除是必要的（m = 2, 3, 5），由於4與6為合數。
作為一個簡略的辦法，試除法在測驗大整數時很快地會變得不切實踐，由於或許的約數數量會跟著n的增加而迅速增加。根據下文所述之素數定理，小於的素數之數量約為，因而運用試除法測驗n是否為素數時，大約會需求用到這麼多的數字。對n = 1020，此一數值約為4.5億，對許多實踐運用而言都過分巨大。
篩法
一個能給出某個數值以下的一切素數之算法，稱之為素數篩法，可用於只運用素數的試除法內。最陳舊的一個比如為埃拉託斯特尼篩法（見上文），至今仍最常被運用。阿特金篩法為別的一例。在電腦呈現之前，篩法曾被用來給出107以下的素數列表。
素數測驗與素數證明
現代測驗一般的數字n是否為素數的辦法可分紅兩個首要類型，隨機（或「蒙特卡洛」）與確定性算法。確定性算法可肯定區分一個數字是否為素數。例如，試除法便是個確定性算法，由於若正確履行，該辦法總是能夠區分一個素數為素數，一個合數為合數。隨機算法一般比較快，但無法完全證明一個數是否為素數。這類測驗依託部分隨機的辦法來測驗一個給定的數字。例如，一測驗在運用於素數時總是會經過，但在運用於合數時經過的概率為p。若重複這個測驗n次，且每次都經過，則該數為合數的概率為1/(1-p)n，會跟著測驗次數呈指數下滑，因而可越來越堅信（儘管總是無法完全堅信）該數為素數。另一方面，若測驗曾失利過，則可知該數為合數。
隨機測驗的一個特別簡略的比如為費馬素數判定法，運用到對任何整數a，np≡n (mod p)，其間p為素數的這個現實（費馬小定理）。若想要測驗一個數字b是否為素數，則可隨機選擇n來核算nb (mod b)的值。這個測驗的缺點在於，有些合數（卡麥可數）即便不是素數，也會契合費馬恆等式，因而這個測驗無法區分素數與卡麥可數，最小的三個卡麥可數為561，1105，1729。卡麥可數比素數還少上許多，所以這個測驗在實踐運用上仍是有用的。費馬素數判定法更強大的延伸辦法，包括貝利-PSW、米勒-拉賓與Solovay-Strassen素數測驗，都確保至少在運用於合數時，有部分時候會失利。
確定性算法不會將合數過錯判定為素數。在實務上，最快的此類辦法為橢圓曲線素數證明。其運算時刻是透過實務分析出來的，不像最新的AKS素數測驗，有已被嚴格證明出來的複雜度。確定性算法一般較隨機算法來得慢，所以一般會先運用隨機算法，再選用較費時確實定性算法。
下面表格列出一些素數測驗。運算時刻以被測驗的數字n來表明，並對隨機算法，以k表明其測驗次數。此外，ε是指一恣意小的正數，log是指一無特定基數的對數。大O符號表明，像是在橢圓曲線素數證明裡，所需之運算時刻最長為一常數（與n無關，但會與ε有關）乘於log5+ε(n)。
測驗 創造於 類型 運算時刻 註記
AKS素數測驗 2002 確定性 O(log6+ε(n))
橢圓曲線素數證明 1977 確定性 O(log5+ε(n))「實務分析」
貝利-PSW素數測驗 1980 隨機 O(log3 n) 無已知反例
米勒-拉賓素數判定法 1980 隨機 O(k · log2+ε (n)) 過錯概率4−k
Solovay-Strassen素數 1977 隨機 O(k · log3 n) 過錯概率2−k
費馬素數判定法 隨機 O(k · log2+ε (n)) 遇到卡麥可數時會失利
專用意圖算法與最大已知素數
除了前述可運用於任何天然數n之上的測驗外，一些更有用率的素數測驗適用於特定數字之上。例如，盧卡斯素數測驗需求知道n − 1的素因數，而盧卡斯-萊默素數測驗則需求以n + 1的素因數作為輸入。例如，這些測驗可運用在查看
n! ± 1 = 1 · 2 · 3 · ... · n ± 1
是否為一素數。此類辦法的素數稱之為階乘素數。其他具p+1或p-1之類辦法的素數還包括索菲·熱爾曼素數（具2p+1辦法的素數，其間p為素數）、素數階乘素數、費馬素數與梅森素數（具2p − 1辦法的素數，其間p為素數）。盧卡斯-雷默素數測驗對這類辦法的數特別地快。這也是為何自電腦呈現以來，最大已知素數總會是梅森素數的原因。
費馬素數具下列辦法
Fk = 22k + 1,
其間，k為恣意天然數。費馬素數以皮埃爾·德·費馬為名，他猜想此類數字Fk均為素數。費馬以為Fk均為素數的理由為此串列的前5個數字（3、5、17、257及65537）為素數。不過，F5卻為合數，且直至2015年發現的其他費馬數字也全都是合數。一個正n邊形可用尺規作圖，若且唯若
n = 2i · m
其間，m為恣意個不同費馬素數之乘積，及i為任一天然數，包括0。
下列表格給出各種辦法的最大已知素數。有些素數運用渙散式核算找到。2009年，網際網路梅森素數大查找由於第一個發現具至少1,000萬個數位的素數，而取得10萬美元的獎金。電子前哨基金會亦為具至少1億個數位及10億個數位的素數別離提供15萬美元及25萬美元的獎金。
類型 素數 數位 日期 發現者
梅森素數 277232917 − 1 23,249,425 2017年12月26日 網際網路梅森素數大查找
非梅森素數（普羅斯數） 19,249×213,018,586 + 1 3,918,990 2007年3月26日 十七或許破產
階乘素數 150209! + 1 712,355 2011年10月 PrimeGrid
素數階乘素數 1098133# - 1 476,311 2012年3月 PrimeGrid
孿生素數s 3756801695685×2666669 ± 1 200,700 2011年12月 PrimeGrid
整數分化
給定一合數n，給出一個（或悉數）素因數的工作稱之為n的約數分化。橢圓曲線分化是一個依託橢圓曲線上的運算來分化素因數的算法。
6素數散布
1975年，數論學家唐·察吉爾評論素數
像成長於天然數間的雜草，似乎不服從概率之外的規律，（但又）表現出驚人的規律性，並有規範其行為之規律，且以軍事化的精準度遵守著這些規律。
大素數的散布，如在一給定數值以下有多少素數這個問題，可由素數定理所描繪；但有用描繪第n個素數的公式則仍未找到。
存在恣意長的接連非素數數列，如對每個正整數，從至的個接連正整數都會是合數（由於若為2至間的一整數，就可被k整除）。
狄利克雷定理表明，取兩個互素的整數a與b，其線性多項式
會有無限多個素數值。該定理亦表明，這些素數值的倒數和會發散，且具有相同b的不同多項式會有差不多相同的素數比例。
有關二次多項式的相關問題則尚無較好之理解。
素數的公式
對於素數，還沒有一個已知的有用公式。例如，米爾斯定理與賴特所提的一個定理表明，存在實常數A>1與μ，使得
對任何天然數n而言，均為素數。其間，為高斯符號，表明不大於符號內數字的最大整數。第二個公式可運用伯特蘭-切比雪夫定理得證（由切比雪夫第一個證得）。該定理表明，總是存在至少一個素數p，使得 n < p < 2n − 2，其間n為大於3的任一天然數。第一個公式可由威爾遜定理導出，每個不同的n會對應到不同的素數，除了數字2會有多個n對應到外。不過，這兩個公式都需求先核算出A或μ的值來。
不存在一個只會發生素數值的非常數多項式，即便該多項式有許多個變量。不過，存在具9個變量的丟番圖方程，其參數具備以下性質：該參數為素數，若且唯若其方程組有天然數解。這可被用來取得其一切「正值」均為素數的一個公式。
一特定數以下的素數之數量
圖中的曲線別離表明π(n)（藍）、n / ln (n)（綠）與Li(n)（紅）。
圖中的曲線別離表明π(n)（藍）、n / ln (n)（綠）與Li(n)（紅）。
素數核算函數π(n)被界說為不大於n的素數之數量。例如，π(11) = 5，由於有5個素數小於或等於11。已知有算法可比去核算每個不大於n的素數更快的速率去核算π(n)的值。素數定理表明，π(n)的可由下列公式近似給出：
亦即，π(n)與等式右邊的值在n趨近於無限大時，會趨近於1。這表明，小於n的數字為素數的或許性（大約）與n的數位呈正比。對π(n)更精確的描繪可由對數積分給出：
。
素數定理亦薀涵著對第n個素數pn（如p1 = 2、p2 = 3等）的巨細之估算：當數字大到某一程度時，pn的值會變得約略為n log(n)。特別的是，素數間隙，即兩個接連素數pn與pn+1間的差會變得恣意地大。後者可由數列 n! + 2, n! + 3,…, n! + n（其間n為任一天然數）看出。
等差數列
等差數列是指由被一固定數（模）q除後會得到同一餘數的天然數所組成之調集。例如：
3, 12, 21, 30, 39, ...,
是一個等差數列，模q = 9。除了3以外，其間沒有一個數會是素數，由於3 + 9n = 3(1 + 3n)，所以此一數列裡的其他數字均為合數。（一般來一切大於q的素數都具有q#·n + m的辦法，其間0 < m
歐拉指出函數
於 0 ≤ n 1為素數，若且唯若階乘 (p − 1)! + 1可被p整除。此外，整數n > 4為合數，若且唯若 (n − 1)!可被n整除。
其他數學裡呈現的素數
許多數學範疇裡會很多運用到素數。舉有限群的理論為例，西羅定理便是一例。該定理表明，若G是個有限群，且pn為素數p可整除G的階的最大冪次，則G會有個pn階的子群。此外，恣意素數階的群均為循環群（拉格朗日定理）。
公開金鑰加密
幾個公開金鑰加密算法，如RSA與迪菲－赫爾曼金鑰交流，都是以大素數為其根底（如512位元的素數常被用於RSA裡，而1024位元的素數則一般被迪菲-赫爾曼金鑰交流所選用）。RSA依託核算出兩個（大）素數的相乘會比找出相乘後的數的兩個素因數簡單出許多這個假定。迪菲－赫爾曼金鑰交流依託存在模冪次的有用算法，但相反運算的離散對數仍被以為是個困難的問題此一現實。
天然裡的素數
周期蟬屬裡的蟬在其演化戰略上運用到素數。蟬會在地底下以幼蟲的形態度過其一生中的大部分時刻。周期蟬只會在7年、13年或17年後化蛹，然後從洞穴裡呈現、飛翔、交配、產卵，並在至多數周后死亡。此一演化戰略的原因據信是由於若呈現的周期為素數年，掠食者就很難演化成以周期蟬為主食的動物。若周期蟬呈現的周期為非素數年，如12年，則每2年、3年、4年、6年或12年呈現一次的掠食者就必定遇得到周期蟬。經過200年今後，假定14年與15年呈現一次的周期蟬，其掠食者的平均數量，會比13年與17年呈現一次的周期蟬，高出2%。儘管相差不大，此一優勢似乎已足夠驅動天擇，選擇具素數年生命周期的這些昆蟲。
據猜想，ζ函數的根與複數量子體系的能階有關。
9推行
素數的概念是如此的重要，致使此一概念被以不同辦法推行至數學的不同範疇裡去。一般，「質」（prime）可在適當的意義下，用來表明具有最小性或不行分化性。例如，質體是指一個包括0與1的體F的最小子域。質體必為有理數或具有p個元素的有限域，這也是其稱號的緣由。若任一物件根本上均可僅有地分化成較小的部分，則這些較小的部分也會用「質」這個字來形容。例如，在紐結理論裡，質紐結是指不行分化的紐結，亦即該紐結不行寫成兩個非普通紐結的連通和。任一紐結均可僅有地表明為質紐約的連通和。質模型與三維質流形亦為此類型的比如。
環內的素元
素數運用於任一可交流環R（具加法、減法與乘法的代數結構）的元素，可發生兩個更為一般的概念：「素元」與「不行約元素」。R的元素稱為素元，若該元素不為0或單位元，且給定R內的元素x與y，若p可除以xy，則p可除以x或y。一元素稱為不行約元素，若該元素不為單位元，且無法寫成兩個不是單位元之環元素的乘積。在整數環Z裡，由素元所組成的調集等於由不行約元素所組成的調集，為
。
在任一環R裡，每個素元都是不行約元素。反之不必定建立，但在僅有分化整環裡會建立。
算術根本定理在僅有分化整環裡依然建立。此類整環的一個比如為高斯整數Z[i]，由具a + bi（其間a與b為恣意整數）辦法的複數所組成之調集。其素元稱之為「高斯素數」。不是一切的素數都是高斯素數：在這個較大的環Z[i]之中，2可被分化成兩個高斯素數 (1 + i)與 (1 - i)之乘積。有理素數（即在有理數裡的素元），具4k+3辦法者為高斯素數；具4k+1辦法者則不是。
素抱負
在環論裡，數的概念一般被抱負所替代。「素抱負」廣義化了素元的概念，為由素元發生的主抱負，是在交流代數、代數數論與代數幾許裡的重要東西與研討目標。整數環的素抱負為抱負 (0)、(2)、(3)、(5)、(7)、(11)、…算術根本定理被廣義化成準素分化，可將每個在可交流諾特環裡的抱負表明成準素抱負（為素數冪次的一適合廣義化）的交集。
透過環的譜這個概念，素抱負成為代數幾許物件的點。算術幾許也受益於這個概念，且許多概念會一起存在於幾許與數論之內。例如，對一擴張域的素抱負分化（這是代數數論裡的一個根本問題），與幾許裡的不合具有某些相似之處。此類不合問題乃至在只關注整數的數論問題裡也會呈現。例如，二次域的整數環內的素抱負可被用來證明二次互反律。二次互反律討論下面二次方程
是否有整數解，其間x為整數，p與q為（一般）素數。前期對費馬最終定理證明之測驗，於恩斯特·庫默爾引進正則素數後達到了高潮。正則素數是指無法在由下列式子（其間a0、…、ap−1為整數，ζ則是能使ζp = 1的複數）
組成的環裡，使得僅有分化定理失效的素數。
賦值
賦值理論研討由一個體K映射至實數R的某個函數（稱之為賦值）。每個此類賦值都能給出一個 K上的拓撲，且兩個賦值被稱為等價，若兩者有相同拓撲。K的素數為一賦值的等價類。例如，一個有理數q的p進賦值被界說為整數vp(q)，使得
其間r與s不被p所整除。例如，v3(18/7) = 2。p進範數被界說為
特別的是，當一個數字乘上p時，其範數會變小，與一般的肯定賦值（亦稱為無限素數）構成明顯的對比。當透過肯定賦值齊備有理數會得出由實數所組成的體，透過p進範數齊備有理數則會得出由p進數所組成的體。實踐上，根據奧斯特洛夫斯基定理，上述兩種辦法是齊備有理數的一切辦法。一些與有理數或更一般化之整體域有關的算術問題，或許能夠被轉換至齊備（或部分）體上。此一部分-全域原則再次地強調了素數對於數論的重要性。
10在藝術與文學裡
素數也影響了許多的藝術家與作家。法國作曲家奧立佛·梅湘運用素數創造出無節拍音樂。在《La Nativite du Seigneur》與《Quatre etudes de rythme》等作品裡，梅湘一起選用由不同素數給定之長度的基調，創造出不行預測的節奏：第三個練習曲《Neumes rythmiques》中呈現了素數41、43、47及53。據梅湘所述，此類作曲辦法是「由天然的運動，自由且不均勻的繼續運動中取得的創意」。
NASA科學家卡爾·薩根在他的科幻小說《觸摸未來》（Contact）裡，以為素數可作為與外星人溝通的一種辦法。這種主意是他與美國天文學家法蘭克·德雷克於1975年閒談時構成的。
許多電影，如《異次元殺陣》（Cube）、《神鬼斥候》（Sneakers）、《越愛越美麗》（The Mirror Has Two Faces）及《美麗境界》（A Beautiful Mind），均反映出群眾對素數與密碼學之奧秘的迷戀。保羅·裘唐諾所著的小說《素數的孤單》（The Solitude of Prime Numbers）裡，素數被用來比方孤寂與孤單，被描繪成整數之間的「局外人」。
荒木飛呂彥所創造的日本漫畫《JoJo的美妙冒險》第六部《石之海》的反派普奇神父喜愛數素數，他以為素數是孤單的數字，並透過數素數安撫他嚴重的心情。
