從不同視角看哥德巴赫猜想，數學未解之謎的等價公式
2023-03-31 08:56:56
哥德巴赫猜測是數學中最令人著迷的未解之謎之一。在這篇文章中，我將帶你踏上穿越時刻和數學的旅程。
除了最初的界說之外，我將介紹一些看待這個猜測的其他辦法。視覺上和代數上都有。咱們將證明一個等價性，並對它進行一些研討。
質數（素數）
哥德巴赫猜測是關於質數的，在一頭扎進數學中最古老、最「可怕」的問題之前，讓咱們先試著理解一下為什麼咱們應該首先關懷質數問題。
回想一下，質數是大於1的整數，只要1和它自身能除它。
前幾個質數是2、3、5、7、11，…
在數學中，特別是在數論領域中，咱們研討的是整數，而且咱們常常把咱們的研討約束在被稱為自然數的正整數上。也便是說，咱們對1、2、3、4、5、……等數字感興趣。
在數學和自然界中，研討不同目標的一個辦法是研討一切目標組成的根本構件。算術根本定理標明，每一個大於1的自然數都能夠僅有地寫成素數的乘積。也便是說，每個自然數都由一組僅有的質數組成。僅有的質因數分解。
例如，數字6可僅有寫成23，28可僅有寫成 227。從這個意義上說，假如咱們理解了質數的全部，那麼許多關於自然數的信息就會隨之而來。
作為類比，物理學家研討物質和力的根本構件，如夸克、弦、量子場、動搖方程等。為了了解自然及其規則，化學家研討原子怎麼結合成分子，以更好地了解它們之間的反響，生物學家研討細胞及其組成部分，以更好地了解生命自身。
咱們研討質數是由於它們是自然數的基礎。
一個看似乏味的問題
1742年6月7日，德國數學家克裡斯蒂安·哥德巴赫給史上最巨大的數學家之一萊昂哈德·歐拉寫了一封信。儘管乍一看，這封信看上去毫無意義，但卻蘊含了數學中最巨大的疑團之一。
他在信中提出了下列猜測：
每一個能夠寫成兩個素數和的整數，也能夠寫成恣意多個素數的和，直到一切項都是1停止。
其時，數字1被以為是質數。
然後他在信的空白處提出了第二個猜測。
每一個大於2的整數都能夠寫成三個素數的和。
歐拉在1742年6月30日的一封信中回復了哥德巴赫，並提醒他他們之前的一次談話，哥德巴赫在那次談話中說，這兩個猜測中的第一個將從他的陳說中得出
每一個正偶數都能夠寫成兩個素數的和。
從歷史的視點來看，在數論中，重要的東西總是在邊緣。想像費馬。
下面是哥德巴赫1742年寫給歐拉的信原件。
哥德巴赫1742年6月7日致歐拉的信（拉丁德文）哥德巴赫信中空白處的猜測現在被稱為哥德巴赫猜測，用現代言語來說，它陳說了以下內容。
哥德巴赫猜測：每一個大於2的偶數都能夠寫成兩個素數的和。
讓咱們在前幾例中測試一下。
4 = 2 + 26 = 3 + 38 = 3 + 510 = 3 + 7 = 5 + 5在某些情況下，有一種以上的辦法來將數字寫成兩個素數的和。這個猜測沒有說到這一點，所以當然是答應的。
這個猜測一直是許多數學家的創意來源，為了研討這個問題，人們創造了許多東西。然而，近300年來，它打敗了世界上最好的數學家，至今仍未得到解決。
歐拉自己說：
關於每個偶數都是兩個素數的和，我以為這是一個完全確認的定理，雖然我不能證明它。
這個猜測到底說明晰什麼？
在數學中，你常常能夠從不同的視點來看待一些定理，有時某些視點比其他視點更清晰，這叫做等價。
假定你有兩個出題A和B，假如說A和B是等價的，也便是說，假如A為真，那麼B也為真，假如B為真，那麼A也為真。
例如：
設S是實數的子集。然後是兩個表述
A：你能夠用1除以S中的任何數B：0不在S裡
A和B是等價的。由於假定A為真。那麼0不能在S中，由於1不能除以0，因而B也是正確的。反過來，假定B為真，然後咱們能夠用1除以S中的任何數由於僅有不能用1除以的實數是0，因而A一定是正確的。
留意（至少對我來說）上面的陳說B比陳說A更清楚更簡單理解。這僅僅兩個表述等價的一個簡單例子。但在現實生活中，它們往往更難證明。
哥德巴赫猜測的幾許學
咱們來看看這個猜測到底是什麼樣子的。
一個數是偶數當然意味著它能被2整除。那麼兩個數的和是偶數是什麼意思呢？咱們能夠從幾許的視點來看，首先留意到，出題p+q = 2n等價於(p+q)/2 = n，也便是說，p和q的平均值等於n。
這在幾許上說明晰什麼？想像一下實線，中間是0，左面是負號，右邊是正號，包含了你一般以為的一切數字。
由以上陳說可知，實數線上存在一個以n為圓心的圓與實數線上的p和q相交，即p和q在數軸上與n的間隔持平。咱們稍後會用到這個事實，記住這對任何數字p和q都建立，而不僅僅是質數。
簡而言之：設p、q、n為滿足p + q = 2n的任何自然數，則p和q對稱地散布在n周圍。
咱們能夠把哥德巴赫猜測用這種言語表述：
關於n≥2的整數，在以n為圓心的平面上存在一個圓，圓的半徑r使0≤r≤n-2而且n是質數，那麼r = 0或圓與實數相交於兩個素數。
這實際上等同於哥德巴赫猜測。
這是一個更好的看待它的視角嗎？或許不是，但至少它給了一個關於這個問題的很好的幾許直覺。它說在整數和質數之間存在一種潛在的對稱性。
請留意，咱們並不需求這些圓，咱們只需求這些數字對稱地散布在直線上n的周圍。然而，我以為這些圓圈給了咱們一種很好的幾許直覺來描述這一現象。
在下一節中，咱們將從這個觀點中得到啟發，並實際證明另一個等價性。
半素等效
在數論中，咱們傾向於把問題分紅兩組。加法問題和乘法問題。例如，咱們質因數分解一個大於1的自然數便是一個乘法問題。孿生素數猜測和哥德巴赫猜測在本質上更具有可加性。
假如哥德巴赫猜測有一種更乘法的辦法呢？
科普一下，半素數是兩個素數的乘積的自然數。
前幾個半素數是4、6、9、10……
半質數不像質數那樣被廣泛評論，但在某種意義上，它們「接近」於質數，這自身就使它們值得研討。我斷言下面的表述和哥德巴赫猜測是等價的。
表述1：關於一切n≥2，存在一個整數m，使0≤m≤n-2且n- m是一個半素數。
讓咱們來證明以下出題：
出題：表述1等價於哥德巴赫猜測。
證明：
假定哥德巴赫猜測建立，假定有一個整數n≥2。然後咱們假定關於一些質數p和q 2n = p + q。然後咱們假定關於一些質數p和q ，2n = p + q。
假定p≤q不失一般性，則經過以上評論，存在一個整數m，使0≤m≤n-2且
p = n - mq = n + m即n - m = (n - m)(n + m) = p q。
所以n- m是一個半素數。
反過來，假定表述1建立，假定有一個數2n， n≥2。咱們需求證明2n能夠寫成兩個素數的和。
經過假定，咱們能夠找到一個0≤m≤n-2且n- m為半素數的數m。既然n- m= (n - m)(n + m)那麼n - m和n + m都是質數，然後咱們有：
2n = (n - m) + (n + m)，因而2n是兩個素數的和。
Q.E.D.
這當然意味著，假如你證明晰表述1，那麼你就暗示著證明晰哥德巴赫猜測（反之亦然）。
可視化哥德巴赫猜測
這在視覺上是怎樣的？
事實證明，你能夠把整數想像成由小立方體構成的1、2或3維的盒子。
例如，數字6能夠用1 × 6的一維立方體或2 × 3的二維立方體構成，
27能夠用3 × 9的二維立方體或3 × 3 × 3的三維立方體來構成。
想像你有一個二維的小立方體的正方形。
依據上面的哥德巴赫猜測，不論你的正方形有多大，你都能夠移除一些較小的正方形（或不移除），這樣得到的形狀只能被重建成一維或二維的盒子，而不是三維的。
咱們在圖中看到9-4。這些粉色方塊在三維上不能構成一個盒子，二維上只能構成一個5 × 13的盒子，一維上只能構成一個1 × 65的盒子。好奇心和籠統的重要性
質數的研討很重要，由於，正如開頭說到的，他們建立了一切其他數字，這種哲學已經延續了2000多年。但其時希臘人不知道的是，2300年後，質數的信息在網絡安全和在線買賣中扮演了至關重要的角色。歐幾裡得很巨大，但他不或許預見到網際網路的發明。
這標明，儘管一些純數學學科的研討或許沒有直接應用於社會或影響咱們的日常生活方式，但它或許改變2000年後人類的生活方式。
好奇心是科學中最重要的禮物。
