畢達哥拉斯的定理記載在哪兒（被畢達哥拉斯從音樂中所發現的調和級數）

2023-05-05 15:48:55 1

我們曾經在學校裡學過兩種級數：

● 等差級數(arithmetic series)，例如:

● 幾何級數(geometric series)，例如:

有一個同樣基礎的級數，稱之為調和級數(harmonic series)：

調和級數雖然形式上很簡單，但是包含了許多有趣的數學、一些具有挑戰性的奧數題、幾個出人意料的應用、甚至一個著名的未解決的問題。而有關調和級數的許多問題背後的答案都與我們最初的直覺相違背，因此非常值得了解與學習。

▌為什麼該級數稱為"調和"？



▲ 五度音程

這個名字起源於希臘人，我們知道希臘人在許多學科上都造詣頗深。畢達哥拉斯是第一個研究由各種長度的弦所發出的音符的人。如果將一根撥弦時發出中央 C 音的弦，它的長度剪至原來的 2/3，這根弦便能發出 G 音符（音樂家們稱從 C 到 G 為一個*五度音程*）。如果弦的長度減半,它將發出高音 C，即高出一個倍頻程。這些音符和它們對應的弦長是畢達哥裡斯的和聲學基礎。

在調和級數中，1，1/2，2/3 的調和均值為 2/3。現在將這些數字取倒數，即

形成等差數列，因此,那些取倒數即為等差數列的數列，也就是調和級數。



▲ 立方體和八面體

畢達哥拉斯的思想由數學佔主要地位，但它也非常接近於神秘主義。例如,他指出立方體有 6 個面、8 個頂點和 12 個邊。由於 6、8 和 12 是調和級數，畢達哥拉斯立方體是一個「和諧」物體。還有其他"和諧"物體嗎？有得——八面體，它有 8 個面，12 個邊和 6 個頂點。還有其他的嗎？雖然這是個簡單的問題，但我還沒深入地思考過，這部分還需要了解歐拉的多面體公式和佩爾方程的解的內容。

▌調和級數的值

不像等差級數和幾何級的公式，調和級數的值沒有簡單的公式對應

即便如此，我們也可以回答這個問題：調和級數「取極限」究竟是怎樣？

也許你會認為調和級數收斂於某個常數，因為隨著項的增多，所增加的項在逐漸變小。確實如此，但是如果你用簡單的計算器或桌上型電腦試著計算，你會得到一個有限的數字。這是因為一般的運算器只能處理一定大小(通常為

)的數字,並且將

視為零。這樣的計算器會告訴你，調和級數的總和是大約 230，如果你讓它運行足夠長時間的話。

然而，實際情況恰恰相反——這個數列的和會無休止地增長。這個令人驚訝的結果首先被600多年前的法國數學家尼克爾·奧裡斯姆（Nichole Oresme）使用比較審斂法所證實。他指出，如果你把該級數

中的某些項換成更小的項

並將它的某部分括起來，這個級數就變成

這個總和就顯而易見地比我們原認為的調和級數還要小。

用 H(n) 表示調和級數的 n 項部分和，也叫作第 n 個調和數。奧裡斯姆認為

因此，隨著增加的項越來越多，H(n) 增長的速度越來越慢。可以觀察到一個很有意思的現象，便是除了 H(1)=1，以外，H(n) 不再等於任何整數。我看到這個問題在不止一篇數學奧林匹克試卷中出現過，而這個問題的解答，因其推理的嚴謹，同樣是值得研究的。

當乘以這個最小公倍數時，等式左側的所有項都將是整數，但有一項除外：

不是整數，因為 P 是奇數，所以等式左側不是整數。因此等式右側也不是整數。這意味著這 H(n) 不是整數。

▌創紀錄的降雨量

想知道天氣記錄多久被刷新一次？調和級數也給出了答案。

如果我們手頭有張空白的百年降雨量表格。現在預計百年內會有多少次打破降雨紀錄？當然假設降雨量是隨機的，因為任何一年的降雨量對以後任何一年的降雨量沒有影響。

第一年無疑是創紀錄的一年。在第二年，降雨量有同等的可能性大於或小於第一年的降雨量。因此，第二年也創紀錄的可能性為 1/2 。因此，在保存紀錄的頭兩年，預計創紀錄的年數為 1 1/2。繼續到第三年。第三次觀測的概率為 1/3，因此三年內記錄的降雨量創紀錄預期數量為

繼續這一推理，得出的結論是，經過 n 次觀測對應的預期創記錄年數是

你猜一百年的降雨量表中打破降雨量記錄的次數是多少？如果是 5，那幾乎是正確的，因為調和數列的前一百個項的總和是 5.19。

即使在某一年降雨量創紀錄之後，沒有人會懷疑這一紀錄將在未來某個時候被打破——也許在明年。因為無限次的觀測對應創紀錄年數顯然是無窮大。我們有直觀的理由相信調和級數是發散的。

以下是 n 取不同的值時所對應的 H(n)：

[遇見數學翻譯小組] 核心成員: 劉雄威

,