兩個劍橋學派之爭內容（學派興衰劍橋分析學派）

2023-04-18 23:16:57 2

——從格林到麥克思韋

分析學會一掃牛頓以後英國數學僵化、沉悶的空氣，為劍橋歷史上一個新的光輝時期揭開了序幕。然而學會成員們本身，他們後來的工作領域大都離開了分析：巴貝奇(Charles Babbage)長期為設計製造他的計算機而奔忙，赫歇爾(William Herschel)成了天文學家，皮考克(G. Peacock)也許是同數學保持了最密切關係的一位，但他的興趣轉移到代數方面。沿著分析學會開闢的道路前進，在分析 領域中攀上新的高峰而使劍橋數學威名重振的任務，是由劍橋數學物理學派來擔當的， 而其中一位承前啟後、繼往開來的人物，就是喬治·格林(George Green) 。

圖1 牛頓

（一）喬治•格林(1793-1841)

格林是一位自學成材的的數學家，他的父親是諾丁漢市的磨坊主。格林很早就在父親的磨坊裡做工，他的數學知識幾乎全是通過業餘閱讀得來的。法國數學書此時已不再像過去那樣難得。格林把磨坊頂樓當作自己的書齋，攻讀從市裡的一個叫勃隆利的圖書館借來的拉普拉斯、拉格朗日等人的名著，並於1828年寫成了他的第一篇也是最重要的一篇論文——《數學分析在電磁理論中的應用》。當時是他的朋友們集資幫他印發了這篇論文，訂閱者中有一位恰好是早年分析學會的發起人之一勃隆海德。勃隆海德也是諾丁漢市的地方貴族，他認識到格林的才能，鼓勵格林進一步鑽研，並向劍橋大學推薦了格林。這樣，1833年，格林在四十歲進了劍橋岡維爾凱斯學院，四年後獲碩士學位。

在劍橋期間，格林相繼發表了一系列重要論文。他的工作的主要特色，是尋求解決物理問題的一般數學方法，這也正是後來劍橋數學物理學派的特徵。格林最重要的貢獻是他的位勢理論。拉普拉斯在引力計算、泊松在電磁問題中都曾用到過這樣的函數V，它與力場分量(X, Y, Z)有關係：

拉普拉斯指出函數V滿足方程

並採用球調和方法來解方程(1)。但拉普拉斯和泊松的方法都只適用於特殊的幾何形體。格林認識到函數V的重要性，首先賦予它「位勢」(Potential)的名稱。格林發展了函數V的一般理論，特別是建立了許多對於推動位勢論的進一步發展極為關鍵的定理與概念，其中以格林公式

和作為一種帶奇性的特殊位勢的格林函數的概念影響最為深遠。〔7〕這樣，格林同高斯一起成為現代位勢理論的創始人。然而，格林作為劍橋數學物理學派的開山祖師，他的貢獻遠不止此。格林短促的一生共發表過10篇數學論文。這些原始著作數量不大，卻包含了許多對現代數學來說極其寶貴的思想，它們的意義和影響，還大大有待於探討。

以格林關於光的折射與反射理論的論文為例。光的波動的數學描述，在十九世紀數學家中始終是一個時髦的課題。在格林的時代,科學界所持的一種普遍的意見是把光看作彈性固體以太的振動。柯西在光以太的研究中採用了以吸引與排斥形式相互作用的數學系統的機械模型。格林對於柯西和其他學者對以太中力的性質作特殊假設的作法持批判態度，他的論文開門見山，有如下一段深刻的論述：「我們對於發光以太元之間相互作用的方式知道得如此少，因而最可靠的辦法還是以某種一般的物理原理作為推理的基礎，而不要去假定特殊的模式。」

格林提出作為「推理基礎」的一般原理是什麼呢？他表述如下：「任一物質系統的元素間不論以何種方式相互作用，若以所有的內力分別乘以相應的方向元，則對該物質系統的任一指定部分，此乘積之總和將永遠等於某函數的恰當微分。」這實質上相當於能量守恆原理。格林是第一個將這種一般形式的守恆原理引入彈性力學的學者。他由此出發推導了描述光媒質振動規律的偏微分方程。在格林寫成他的光學論文時，法拉第的電磁感應還剛發現不久，格林關於光波動的數學研究還不具備突破舊的機械以太觀的條件，但他選擇一般數學原理作為推導光媒質運動方程的基礎而避免對以太的力學性質作人為假設的作法，說明他比同時期的其他數學物理學家要高出一等。

n維空間的概念是格拉斯曼(Grassmann)在1844年首先提出的。但在格林的著作中已經出現高維幾何的思想。格林1835年發表的論文《論橢球體的引力》，率先發展了n元函數分析， 其中格林使用s個坐標{x1,x2……,xs} 來代替通常的三維歐氏坐標，並使用S維球體和橢球來代替相應的三維圖形。在現代分析中扮演重要角色的所謂狄裡希萊原理，溯其源亦為格林首創。在上述同 一篇論文中，格林假設積分（用格林本人的記號）

存在一個極小化函數V0並指出V0滿足方程

這正是n維情形的狄裡希萊原理。湯姆森(William Thomson)在1847年也闡述了同樣的原理。湯姆森的 文章發表在劉維爾(Liouville)的「數學雜誌」上，因此我們就不能忽視它對歐洲大陸國家數學家的 影響。而湯姆森本人，正如我們後面將要看到的那樣，對於格林的工作是十分熟悉的。 這樣，所謂狄裡希萊原理實際上應該稱為「格林原理」。

現代數學物理可以從格林著作中吸取營養的另一個例證是他關於水波的研究。我們 知道，一種叫孤立波的現象在現代物理的許多分支中正越來越受到重視。這現象最先由一位英國工程師羅素(S.Russell)所發現(1837)，而它的第一個非線性表述一般追溯到科特維克(D.J.Kotteweg)和代福裡斯(G.Devries)合作的一篇論文(1895)。 然而，如果我們調查一下十九世紀水波方面的文獻，那就可以看出一條線索，說明科特維克、代福裡斯的理論，乃是近一個世紀以來一系列研究的結果，而格林的工作則一馬當先。羅素1844年第二次在不列顛科學協進會上作淺水波問題報告時，曾埋怨數學家們未能預報他所觀測到的現象。但在這之前，格林已經發表了兩篇這方面的論文，其中第一篇幾乎是同羅素的第一份報告同時發表的，格林導出的淺水波方程為：

上述方法同今天數學物理中廣泛使用的所謂WKB方法完全一致。格林的貢獻在數學物理史上是不可磨滅的，但他生前卻一直默默無聞。他在1839年 被選為凱斯學院的成員，但一年後就不幸病故。他的第一篇重要論文，在他去世十年以後才得以正式發表。然而，格林的工作直接啟導了兩位強有力的人物，由於他們的影響，劍橋的數學物理開始變得名聲斐然。

(二)湯姆森(1824-1907 )和斯託克斯(1819-1903 )

格林的第一篇論文因未正式發表而瀕於失傳。威廉•湯姆森(William Thomson，即後來的開爾文勳爵)在劍橋當學生時，有一次從牟菲(Murphy)的一篇論文的文獻索引中知道了格林這篇文章的題目，但四處尋覓原作而不得。1845年，湯姆森從劍橋畢業，在行將離校 的前夕將此事告訴了他原先的數學輔導老師，出乎湯姆森意料，老師細心地收藏著格林這篇著作的非正式傳本，並給了他幾本。湯姆森帶著這篇著作踏上了赴法國考察的旅途，在巴黎，他向著名數學家劉維爾(Liouville)和施圖姆(Sturm)等介紹了格林的論文，二者閱後立即意識到此文的特殊價值，認為格林已為位勢論及其應用奠定了完整的基礎。後來，在德國數學家克雷爾(Crepe)的親自贊助下，格林這篇論文終於發表在克雷爾主辦的《純粹與應用數學雜誌》上(1850)，湯姆森並為此撰寫了介紹格林生平與工作的導言。

湯姆森本人從格林的工作中受到了重要的啟迪。早在學生時代，湯姆森就企圖尋求適當的數學理論，以對某些不同的物理領域進行統一的數學處理。1842年，湯姆森發現熱平衡問題的數學解答可以被形式地移用到靜電分布理論中去並且反之亦然。大學畢業前後，湯姆森著手考慮法拉第電磁感應的數學描述。就在這時，他看到了格林的著作，立即意識到格林的位勢概念正是他多年尋求的普遍工具。藉助於位勢論，可以從數學上有效地將某些不同的物理現象溝通起來，而毋需依賴那些在當時相當流行但在他看來卻很不可靠的特殊的物理假設（如泊松的電流體假設等），這同格林的想法是一脈相承的。湯姆森還發現他本人1842年關於熱平衡與靜電分布理論的數學等價性的證明，實質上正是在將溫度分布看作位勢函數的基礎上進行的。湯姆森沿著自己這條推理路線前進，在1847年邁出了重要的一步。這一年，湯姆森利用斯託克斯(George Gabriel Stokes)導出的流體力學與彈性力學方程，建立了彈性固體內線性位移與靜電力之間以及旋轉位移與電流、磁力之間的數學等價關係。這樣，湯姆森通過數學途徑，把不同性質的力（電和磁）與同一媒質的內部過程聯繫起來，為從數學上表述當時眾所矚目的法拉第的偉大發現指明了道路，湯姆森這方面的工作，強烈地影響了麥克斯韋(James Clerk Maxwell)早期的研究。

湯姆森發展了格林的位勢理論，將位勢理論的應用範圍拓廣到電磁學、流體力學、弾性力學等許多領域。從數學史的角度需要特別指出的是，湯姆森利用位勢論去確立一系列物理現象的形式等價關係，在這過程中，他同時也確立了偏微分方程在相應物理理論中的重要地位。湯姆森還論證了在靜電學中藉助於格林位勢函數的微分表述形式相比用庫倫定律計算超錐作用力的積分形式所具有的優越性，進而又通過自己的工作大大擴展了可用微分定律表述的物理問題的範圍，對於推動偏微分方程的發展是有重要貢獻的。

格林的另一位後繼人喬治•斯託克斯(George Gabriel Stokes)，也是在劍橋學習數學的，比湯姆森早畢業四年。斯託克斯在劍橋也曾拜霍普金斯為師（此人就是向湯姆森提供洛林第一篇論文的那位私人教師，他後來又當過麥克思韋的輔導老師，可以說是哺育劍橋數學物理學派的無名英雄）。大概是由於霍普金斯的影響，斯託克斯熟悉了格林在劍橋發表的論文特別是關於水波理論的工作，並選擇流體力學作為自己最初的研究領域，而流體力學後來便成為他最擅長的分支。斯託克斯於1846年向不列顛科學協進會提交的一份《關於流體力新發展的報吿》，使他作為英國科壇的新秀而嶄露頭角，斯託克斯在報告中多次引用了格林的著作，表現出他對格林的欽佩。

斯託克斯在1845年獨立導出了著名的粘性流體運動方程，接著又發展了格林的水波理論。1850年，他將其粘性流體理論應用於擺在粘性流體中的行為，結果之一是解釋了大氣中雲的形成。他還藉助微分方程研究地球引力的問題，揭開了一個曾使當時許多學者不解的謎——為什麼陸地上的引力要比島嶼上小。斯託克斯在聲音與光傳播的研究中也運用了他的流體力學方程。所有這些，使他成為運用偏微分方程解決問題的權威，以致常有許多人在這方面請求他的幫助，而他不論對於團體還是個人，總是不厭其煩，儘可能地予以答覆。

湯姆森和斯託克斯是十九世紀典型的應用數學家。他們的主要目標，是發展求解重要物理問題的有效和一般的數學方法，而他們手中的主要武器就是偏微分方程。湯姆森也許比斯託克斯更「應用」，作為熱力學第二定律的發現人之一，人們往往把他看作物理 學家而忽視其在數學史上的地位。實際上，湯姆森具有強烈的應用數學家的素質。他通過自己的工作，向同時代人顯示了數學的威力。這方面最膾炙人口的一段佳話便是大西洋海底電纜的安裝。此項工程於1854年開始，湯姆森是領導委員會的成員。在此之前, 他已在與斯託克斯的通信中討論過長導線中信號延遲的數學解釋。1855年，他從理論上解決了這一問題，並據此指出橫越大西洋的海底電纜只宜使用小電流。湯姆森還為此專門設計了一種可用以測量微電流的電流計，然而負責的總工程師懷特豪斯(E.O.W. Whitehouse)卻拒絕湯姆森的意見，導致了安裝工作的失敗。懷特豪斯後來被迫承認了湯姆森的數學預報的正確性。1865年，依據湯姆森的方案，第一條橫越大西洋的海底電纜終於安裝成功，轟動了當時的整個科學界。

作為應用數學家，湯姆森和斯託克斯有時也在解決實際問題的過程中作出純數學的貢獻，甚至處理一些十分精細，往往只有純數學家才加以考慮的問題。例如，在分析的嚴格化中扮演重要角色的一致收斂性，一般主要是歸功於柯西(Augustin Louis Cauchy)和魏爾斯特拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass)的研究。而實際上，在柯西之前，斯託克斯己在1847年一篇論周期級數的應用性論文中提出了這一概念。此外，斯託克斯在1848-1849年間答覆他人關於聲音傳播理論的問題時，引進了媒質中速度與密度的不連續曲面，這就是後來的衝擊波(有趣的是，當時這一發現並未 獲得人們的理解，湯姆森等人提出質疑，認為斯託克斯的發現不符合能量守恆定律，以致斯託克斯又收回了自己的想法)。又如湯姆森，除了位勢理論方面的貢獻外，他也是所謂反演幾何的創始人之一。與幾何學家不同，湯姆森是通過靜電學的物理途徑提出反演思想的，他稱自己的發現為「電象方法」。

斯託克斯與湯姆森是一對科學密友，他們有著共同的興趣，保持了終身的科學通訊，他們的個人經歷也十分類似。兩人年輕時皆受過良好的教育。他們的工作在生前都受到了普遍的承認，並因此而獲得了巨大的榮譽(斯託克斯於1889、湯姆森於1892年分別獲得英王的加爵，斯託克斯長期作為劍橋大學的代表出席國會)。特別是倆人生前都擔任過科學與教育方面的要職，湯姆森長期任格拉斯哥大學(University of Glasgow)自然哲學教授，斯託克斯則從1847年起一直保持了劍橋盧卡辛教授的位置，而他的任職使盧卡辛教授的交椅恢復了 牛頓時代的光採。斯託克斯於1885年出任皇家學會會長，1890年後由湯姆森接替。同格林坎坷的一生相比，斯託克斯與湯姆森可以說是時代的幸運兒，他們的科學活動產生了廣泛的社會影響，特別是對新一代的青年。在這種影響下，劍橋的沃土上開放的一枝最絢麗的花朵，便是麥克思韋。

(1831-1879)

這樣，我們便來到了十九世紀劍橋數學物理學派的頂峰。克拉克•麥克思韋(James Clerk Maxwell)出生於愛丁堡，其家庭是蘇格蘭地方望族。麥克思韋少時聰慧，十四歲發表第一篇論文，發明了一種畫卵形線的方法並討論了卵形線的幾何與光學性質。同格林一樣，麥克思韋壽不永年，只活了48歲。然而他一生共發表了一百多篇論文及四部巨著，其中關於電磁場的數學理論，使他成為牛頓以來數學物理領域中一顆最明亮的星而名載史冊。

對麥克思韋電磁學說的歷史評述多不勝數。這裡僅作數學史上的考察。麥克思韋本人曾指出，他創立電磁理論的主要動機乃是對十九世紀以法拉第為代表的一批物理學家們在電磁領域中的重大發現作數學上的概括。我們感興趣的是這種數學綜合的具體實現及其在數學史上的意義。給法拉第電磁感應論以數學表述的努力並不是始於麥克思韋。前面已經提到，湯姆森就曾作過這種嘗試，並提出了從形式上統一某些不同物理領域的數學推理方式。麥克 思韋高度評價並且推廣了湯姆森的推理方式。

麥克思韋將電磁學中的物理量分成了兩大類——強度(Intensity)與通量(flux)，這種分類是「建立在對不同量作數學的或形式的類比的基礎之上，而不是以它們所從屬的物質為基礎」。隨後的任務就是建立這兩類物理量之間的關係。麥克思韋在《電磁學 通論》中寫道：「在物理學的許多部門裡，人們發現同一形式的方程可以被應用於本質上完全不同的現象，例如通過介質的電感應，通過導體的傳導以及磁感應等。在所有這些情形中，強度與所產生的效應之間的關係是用一組同一類型的方程來表述的，以致當某一學科中一個問題得到解決後，該問題及其解答可以被翻譯成其它學科的語言，而以新形式出現的結論依然成立。」[8]麥克思韋所確立的關係主要有三條：

這裡D為位移電流，可通過位勢的梯度來計算；B為磁感應，可通過向量勢的旋度來計算；K是傳導電流。

麥克思韋採用偏微分方程作為物理實在的自然表述，而上列通量-強度間的關係實 質上就是斯託克斯關於連續介質系統的一般運動的三個部分。位勢論在這裡又一次扮演了關鍵的角色。正如麥克思韋本人指出的那樣：「位勢被看作是滿足一定偏微分方程的量，整個位勢理論實質上屬於我曾稱之為法拉第方法的那種方法。」

按照麥克思韋的看法，「積分形式是超維作用的 適當的數學表述，而偏微分方程則是描寫介質中鄰近部分相互作用的理論的最合適的工具」。

愛因斯坦在一次紀念麥克思韋的講演中曾經指出：「偏微分方程進入理論物理學時是婢女，但是逐漸變成了主婦」。他認為這是在十九世紀開始的，而麥克思韋在實現這一轉化中作出了有決定意義的貢獻。[9] 這不僅意味著偏微分方程在科學中的作用的實 質性提高，而且也極大地推動了作為數學本身的一個分支——偏微分方程論的發展。由上述可知，麥克思韋之所以能夠完成牛頓以來物理學的一次新綜合，在數學上主要是利用了十九世紀以來位勢論和偏微分方程論的成果。他的這種綜合，是從法拉第等人發現的物理定律出發，預報了物理學家們未能觀察到的事實，以致許多人甚至包括湯姆森在內，雖然承認麥克思韋的天才，卻在很長一段時間內不能理解他的學說。

因此，只有像麥克思韋這樣具有數學頭腦的學者，才能最終完成電磁理論的數學表 述。不過作為數學家，麥克思韋卻並不恪守純粹演繹的嚴密性。在這裡，讓我們來看一看十九世紀的另一位大數學家克萊茵(Felix Christian Klein)對麥克思韋科學素質的評論[10]是很有意思的。克萊茵寫道：「麥克思韋並不是一位邏輯上無瑕可擊的人。他的論證常常缺乏充分的說服力。他的高度發達的歸納思維勝過了他的演繹思維。……麥克思韋出類拔萃之處，很 大程度是在於他的強有力的直覺，這種不時出現、引導他作出科學預見的直覺能力，是 同他的豐富的想像力並駕齊驅的」。從某種意義上說，麥克思韋正是數學史上被稱之為 「數學物理家」這樣一個群體的傑出代表。

同斯託克斯、湯姆森不同，麥克思韋是一位性格恬靜、不好社交的學者，很少擔任 行政職務。他一生大部分時間是在祖傳的蘇格蘭莊園裡埋頭研究。1865年以後，麥克思 韋甚至一度從倫敦大學國王學院辭退，隱居田莊專致寫作他的《電磁學通論》。不過，在麥克思韋一生難得從事的科學組織工作中，卻有一件特別重要的事情，就是劍橋卡文迪許實驗室(Cavendish Laboratory)的創建。麥克思韋是該實驗室的第一任主任，他的繼任人則是瑞利勳爵(John William Strutt)，後者可以說是十九世紀劍橋數學物理學派的最後一位代表人物。今天，卡文迪許實驗室已經成為全世界公認的理論物理中心之一，在這個實驗室的陳列廊裡，端放著它的創始人麥克思韋的塑像！

四、結束語

劍橋數學在歷史上有兩個最輝煌的時期，即牛頓時期（十七世紀）與分析學派時期。這兩個時期之間，則是一個漫長的停滯階段。牛頓以其偉大的學說影響了整個自然 科學發展的進程，卻在身後造成了英國科學的巨大真空，這個真空直到麥克思韋時 代才得到真正的填補。上面我們闡說了劍橋數學是怎樣從牛頓之後的停滯狀態中振興起來而煥發出新的光彩。這種振興，起先是受了外部的推動，分析學會是促成這場變革的 的強力催化劑，劍橋數學物理學派則是這場變革的光輝碩果。

新的分析方法的引進，無疑是十九世紀劍橋數學物理發展的重要條件。但人們或許會問：為什麼麥克思韋方程不是首先出現於此種分析方法的故土——歐洲大陸呢？這就需要涉及劍橋數學本身的傳統。我們知道，十九世紀數學發展中，基於數學內部矛盾的演繹傾向佔主導地位。該世紀數學的三大成就——非歐幾何、群論和分析的嚴格化，都是這種傾向的產物，而劍橋數學物理學派卻明顯地不屬於這一傾向。

劍橋數學物理學派的學者，從格林到麥克思韋，他們不同於純粹數學家，主要的興 趣不在於數學的內部矛盾，而在於根據物理的需要發展數學的新概念、新方法或新分支。他們又不同於純粹的物理學家，不是滿足於具體的實驗結果的解釋，而是致力於以數學家特有的思維方式去概括帶普遍性的原則與算法，從數學一般性的角度解釋現象，預報事實。

因此，劍橋數學物理學派是代表著數學史上的另一種傾向——歸納的或算法的傾向。 從實質上來說，牛頓微積分之發明，正是這種算法傾向的勝利。在這一點上，劍橋數學物理學派恰好繼承並發揚了牛頓的傳統，所不同的是：劍橋數學物理學派拋棄了牛頓傳統中僵化的方面而採用了歐洲大陸數學家所發展的分析途徑。其次，牛頓為了描寫他的質點力學只需要藉助常微分方程，而處在向場物理飛躍時期的劍橋數學家們，卻主要依賴偏微分方程，「這些人貢獻於偏微分方程的解到如此一個程度， 以致數學物理學與二 階線性偏微分方程往往看成了一個東西！」 [11]

在數學史上，算法傾向的意義是不能低估的。許多重大的數學真理都是探尋新算法 的結果。算法的創造同時也構成進一步演繹研究的基礎。事實上，數學的發展似乎呈現 出算法與演繹這兩種傾向的交替繁榮。十九世紀特別是後半葉，當然是演繹數學的興盛 時代，然而在劍橋，從格林到麥克思韋的數學物理學派卻獨樹一幟。恰如牛頓給出了古 典物理的數學表述，十九世紀的劍橋學派為以場論為特徵的新物理學提供了數學語言， 這兩件事都發生在劍橋，應該說並不是偶然的。