梳狀函數和矩形函數的卷積怎麼求（由它可構造不可積的有界導函數）

2023-04-20 20:43:07 1

原文作者，Evelyn Lamb，數學及科學普及自由作家。

翻譯作者，e^iπ 1=0，哆嗒數學網翻譯組成員。

校對，donkeycn

關注哆嗒數學網 每天獲得更多數學趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

上回我們寫了一篇關於康託集的文章，它是一個將小與大統一起來的有趣的數學空間。

說小是因為它的長度只有零，但是說大是因為它本身是個不可數的集合。

一旦一個數學家著手處理一個數學對象，直覺上第一步便是試著擺弄它，然後看看會發生什麼。這使我們得到了胖康託集（編者註：Fat Cantor Set 正規教材上譯為類康託集，但是本文要顯示他比康託集「肥碩」於是就這樣翻譯了）。

當有人提起康託集時，他們指的是標準三分康託集，也就是我之前提到的那個康託集。

這個集合的構造是通過將區間[0,1]中間三分之一的部分移除，只留下區間[0,1/3] 和 [2/3,1]。

然後將剩下的每個區間再去掉各自的中間三分之一，這樣的操作一直重複下去。

令人驚奇的是，這樣的操作使得這個區間還有一些東西留下，卻沒有長度。

第一個能想到的符合邏輯的操作就是將康託集移除三分之一這個比例換成其他的比例。

如果我們只移除每個區間中間的四分之一會產生什麼樣的結果呢？

我們同樣從區間[0,1]開始操作。

第一步，我們只留下區間[0,3/8] 和 [5/8,1]。

然後我們繼續移除每個區間中間四分之一的區間（移除的區間長度變為3/32）。

你可能會認為會有更多的東西被留下，因為我們每步移除了更短的區間，但這個想法是不對的。

如果你將所有移除的區間長度都加在一起，我們仍舊得到1。

這個康託集實際上並沒有比我們之前那個集合更有趣。

當然我們也沒有變得更不幸運。

如果我們保證每次移除區間所用的比例都是一樣的，那我們總能得到移除的區間長度總和為1。

當然有很多方法區別那些移除中間三分之一，四分之一，或者任何一個比例的康託集，但是現在我們準備試著對康託集做很不一樣的操作。

第二件我們可以做的事情是改變每次移除區間時所用的比例。

我們將再次從區間[0,1]中移除中間四分之一的區間，這樣我們留下區間[0,3/8]和[5/8,1]。

但是到了第二步，我們將從每個剩餘的區間中移除它中間一個長為十六分之一的區間。

這時候，情況已經發生了些許變化。

之前的時候，我們從每個剩餘區間移除了長為三十二分之三的區間，這比起十六分之一稍微長上一些。

在新的構造中，我們將不斷改變每一步裡剩餘區間需要去除的區間長度。

在第一步中，我們移除了初始區間的四分之一。

在第二步中，我們從每個剩餘區間移除長為十六分之一的區間，相較於初始區間，共移除了八分之一。

在第三步中，我們每個剩餘區間移除了長為六十四分之一的區間，相較於初始區間，共移除了十六分之一。

我們可以繼續這樣的操作，到了第n步的時候，我們將移除整段區間1/2n 1的長度。

如果這個步驟無限地做下去，我們總共移除的長度將會是1/4 1/8 1/16 …，而它的和則是1/2。

這時候我們的確得到了一些新的東西！

這個結構被稱作史密斯-沃爾泰拉-康託集合，或者是胖康託集。

康託集的一維測度是0，這是因為我們移除的區間長度和等於一開始的區間長度，但是胖康託集還留下了一些東西——從整個[0,1]區間裡留下整整一半。

那這些是從哪裡來的呢？

根據構造過程，胖康託集不包含任何區間。

每當我們看到一個區間，我們都要移除這個區間中的一部分。

某種程度上，有一些長度是被留下了，但不是以我們熟悉的方式留下的。

如果我們試圖用手去抓，只能抓到一把灰塵。

康託集挑戰了我對小與大的直覺認識。

胖康託集更將我的直覺完全吹散了。

一個沒有任何微小片段的一維物體究竟是怎樣獲得一定長度的？

當然，這樣說其實不完全公平。

在區間[0,1]上的所有無理數組成的集合，它的一維測度為1，長到居然與整個區間一樣，但是這個聽上去並沒有那麼的違反直覺。

無理數無處不在。

所以，你在數軸上隨便一掃，都能掃到無理數。

在數學上，我們把這種情況叫做區間上稠密，或者在所有實數構成的集合中，無論怎麼樣選擇一個子區間，無論有多小，都會包含著無理數。

是否稠密這一問題使得胖康託集變得更奇怪。

胖康託集在[0,1]區間上不是稠密的，而且他們甚至在任何更小的區間上都不是稠密的。

無論你的區間取得多麼小，你都能找到一個完整的區間，其中任何一點都不在胖康託集中。

我們將這種情況叫做無處稠密(nowhere dense)。

這樣胖康託集的長度是1/2就沒什麼稀奇的地方了。

事實上，調整每一步需要移除的區間長度，我們可以得到一個按照我們想要的任意長度的康託集。

我們不能得到一個長度為1的胖康託集，但是我們可以得到一個長度趨近於1的胖康託集。

無論我們將胖康託集塑造的多大，他們都不會佔滿任何一個區間，並且會無處稠密。

那我們可以在哪裡看到他們呢？

我第一次遇到康託集的地方就是康託函數，這我提到過了。

康託函數，或者說是魔鬼的樓梯，向我們展示了聯繫了微分與積分的微積分基本定理的局限性。

事實上胖康託集也能做到這一點。

特別地，義大利數學家沃爾泰拉 (Volterra ,1860-1940)利用胖康託集構造了一個可微函數但是導函數不可積。

關注哆嗒數學網 每天獲得更多數學趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa