當今最強的數學家（當畫家遇到數學家）

2023-10-13 17:20:43 1

繪畫和數學看起來像是兩個風馬牛不相及的領域，畢竟數學靠理性，繪畫靠想像力，其實不然呀，數學和繪畫還是有相通之處的，那就是兩者都需要腦洞，數學家的腦洞大起來也有些可怕，什麼三角形內角和大於180°了，兩點之間線段最短了，這些都是數學家的腦洞，不過話說回來，數學家的腦洞還是要建立在嚴格的邏輯推理基礎上的，要是一個畫家去接觸數學呢？那就會創造出一個奇異瑰麗的神奇世界。

這個畫家就是埃舍爾。

數學家們很早就研究了平面鑲嵌問題。平面鑲嵌問題其實就是如何鋪地板磚，我們腳下的地板磚的鋪設都是用相同的圖形完全覆蓋地面，一般都是用正方形，其實用全等的任意四邊形就可以了，用全等的任意三角形也可以，對於五邊形和六邊形來說，就不能是任意的了，得是特殊的，另外它們之間的組合也可以做到無死角無遺漏的完全鋪滿平面，經數學家證明，只有17種方式可以滿足平面鑲嵌。

譬如這樣的。

還可以是這樣的。

但不管怎麼說，也只有17種方式，這是數學家證明了的，但是在埃舍爾的刻刀下，居然還可以有這樣的。

和這樣的。

注意到了嗎？畫中的空白也構成了鳥和魚的形象，這樣的畫埃舍爾還有一大堆呢，比如這樣的。

這樣的。

對埃舍爾的腦洞嘆為觀止了嗎？還不夠，再看看這個。

先不說平面鑲嵌的問題，先找一找圖中有幾張臉吧，這是埃舍爾的第一張平面鑲嵌的話，圖中一共有八張臉，這幅畫的名字也叫做《八張臉》，後來的那麼多的找一找圖中有幾個人幾匹馬都是學的埃舍爾。

可以嘆為觀止了吧，在平面鑲嵌上確實可以了，不過埃舍爾怎麼會只滿足於一個簡單的平面鑲嵌呢，他又對曲線下手了。

說到螺線，最著名的應該是阿基米德螺線了，不過對螺線研究最深的還是雅各布.伯努利，他的墓碑上都刻著一幅對數螺線，但是畫的最好看的還得是埃舍爾。

這就是埃舍爾的《漩渦》，看起來有點平平無奇吧，確實有點，這腦洞開的一般呀，不過看問題要看細節，我們放大看的話，就可以發現這都是魚構成的，而且是從大到小的魚，這意味著什麼？這就是科克曲線呀。

科克曲線就是一個邊長為1的等邊三角形，取每邊中間的三分之一，接上去一個形狀完全相似的但邊長為其三分之一的三角形，這樣如此一直重複下去，冬天的雪花就是一種科克曲線。

科克曲線就是自相似性，曼德勃羅把這個叫做分形。

分形幾何對數學的貢獻就是突破了人們對維度的認識。一般情況下我們認為直線是一維的，平面是二維的，空間則是三維的，這就是說維度都是自然數，而在分形幾何中，維度就不是自然數了，就可能是小數了，比如科克曲線就是1.26維。

既然知道了分形這個概念，埃舍爾怎麼可能撒手呢。

這是不是比曼德勃羅的分形還酷炫。

既然都知道了維數不是自然數了，那麼從一維到二維是怎麼過渡的，二維又是如何變道了三維呢？這個問題還得埃舍爾來回答。

在這幅《蜥蜴》中，二維的蜥蜴爬出了畫面變成了三維，溜達了一圈以後又進入了畫稿，從三維變成了二維。

還有這幅《魔鏡》，也是二維和三維之間的變化。

再看看這一幅《天鵝》

這到底是幾個意思？是平面鑲嵌嗎？還是二維到三維的轉化？都是，那不就是個重複嗎？當然不是，仔細看中間，黑天鵝和白天鵝交匯的地方，你能看出來是黑天鵝轉化成白天鵝還是白天鵝轉換成黑天鵝嗎？這又是什麼數學概念呀？

這是拓撲學。

拓撲學是個什麼玩意呀？咱們用一句話就可以解釋了，就是莫比烏斯帶呀。

莫比烏斯帶就是把一個帶子交叉後兩端粘結在一起，這個帶子有很多奇異的特性，最奇異的就是走不到頭，咱們想像一下一隻小螞蟻在莫比烏斯帶上，這隻悲催的小螞蟻會發現它永遠爬不到頭，聽起來有點不好理解，是吧？還是請埃舍爾畫出來吧。

現在明白了吧。

既然玩開了，那就繼續玩，再看看埃舍爾的《結》。

這還是拓撲學，其實就是剪開的莫比烏斯帶，這就是莫比烏斯帶的第二個特性，要是沿著帶子剪一刀的話，莫比烏斯帶不會變成兩條，而是還是一條，不過是更複雜了。

都說到三維了，咱們就看看埃舍爾是如何對立體伸出魔掌的。

從歐拉定理就是頂點數-稜長數表面數=2可以推導出，正多面體只有五種，分別是正四面體立方體正八面體正十二面體和正二十面體，正多面體就是每一個面都是相同的正多邊形，比如正四面體的每一個面都是三角形，立方體每一個面都是正方形。

要是放寬點條件呢，就是每一個面可以不是相同的正多邊形，那麼就可以有十三種，這種多面體又叫阿基米德多面體。

可是對於埃舍爾來說，阿基米德就是個渣。

到現在為止，不管怎麼埃舍爾挖空心思都還是在歐幾裡得幾何的腳下徘徊，這怎麼可能滿足他的野心呢，除了歐幾裡得幾何之外還有沒有別的什麼新奇東西嗎？當然有了，那就是非歐幾何。

非歐幾何是由俄羅斯的羅巴切夫斯基還有高斯和他的學生黎曼共同創造的，其實高斯應該排在最前面，只是他有了這個想法沒有偷偷地寫在了筆記本裡，並沒有公布，反而讓羅巴切夫斯基搶了先。

歐式幾何認為過直線外一點只能有一條直線和這條直線平行，而非歐幾何認為不是這樣，羅巴切夫斯基認為過直線外一點可以有無數條直線和這條直線平行，黎曼幾何認為過直線外一點沒有直線和這條直線平行，神奇不？腦洞大不？

但是腦洞大也大不過埃舍爾，他把非歐幾何給畫出來了。

嗯？不對呀，沒看出什麼平行線呀，確實沒有，不過非歐幾何還有一個推論，就是三角形內角和不等於180°，四邊形內角和也不等於360°，那咱們再仔細看看，這幅畫中的三角形內角和是不是小於180°，所以說埃舍爾畫的就是非歐幾何。

非歐幾何都出來了，相對論不出來是不是有點不合適了，畢竟相對論的數學基礎就是非歐幾何，埃舍爾還真畫了一幅《相對論》。

感覺到什麼了？迷茫？確實是的，因為在這幅畫哄根本就分不出什麼是上什麼是下，據說彭羅斯受其感召，畫出來了彭羅斯樓梯。

彭羅斯樓梯和莫比烏斯帶一樣是永遠走不完的，而且是一直向上走，走著走著就回到了原點，這怎麼可能呢？在現實中當然不可能，不過在夢中還是有可能的。

在電影《盜夢空間》中，就使用了彭羅斯樓梯來表現夢境的詭異。

彭羅斯沒想到的是他不但啟迪了電影，也惹了埃舍爾，埃舍爾本來就對數學概念感興趣，現在彭羅斯送上門來他怎麼捨得放過呢。

來看看這幅《瀑布》，誰來說說這瀑布是怎麼從下面流到上面去的，這不就是永動機嗎？

誰又來解釋一下這個梯子是怎麼從觀景樓裡面搭到外面去的？

這簡直就是顛覆了物理學。

埃舍爾不但能顛覆物理學，還能顛覆數學。

第三次數學危機的起源就是羅素的理髮師悖論，大意就是小鎮上的理髮師說他只為小鎮上不給自己刮臉的人刮臉，那麼這個理髮師應該給自己刮臉嗎？要是他給自己刮臉了，那麼他就不是不給自己刮臉的人，那就不該給自己刮臉，要是他不給自己刮臉的話，那麼他就是不給自己刮臉的人，他就該給自己刮臉，對於理髮師來說這就陷入了兩難境地。

埃舍爾又從這裡得到了靈感，他畫出了《手畫手》。

那你說這兩隻手是誰在畫誰呢？這是不是就是自我指謂？這是不是就是理髮師悖論？

埃舍爾不僅對數學感興趣，就是科幻的東西他也感興趣。

《三體》中對小宇宙的描述是這樣的：「他們決定先熟悉周圍的環境再進入這些房子，於是繼向前走，很快來到了這個小世界的邊緣。現在，他們面對著前面的複製世界，最初，他們以為那是個映像，雖然無法解釋它的方向，但走到一半時就否定了這個想法，因為那個複製世界太真切了，不像在鏡子中。果然，他們向前邁一步就毫無阻礙地進入了複製世界，四下看看，程心的心中升起了一絲恐懼。

　　一切都恢復到他們剛進入時的狀態:他們身處一個與剛才一模一樣的田園中，前方、兩側都是這個田園的複製世界，在這些複製世界中，他們也存在。回頭看看，在他們剛剛邁出的田園中，他們正在田園最遠的一側，也在回頭看。」

這是個什麼樣的世界？書中關一帆做出了解釋，這就是米什內爾空間。

「他（米什內爾）是公元世紀的一個物理學家，他是最早想像出這種東西的人。我們所在的世界其實很簡單，是一個正立方體，邊長我估計在一千米左右，你可以把它想像成一個房間，有四面牆，加上天花板和地板。但這房間的奇怪之處在於，它的天花板就是地板，在四面牆中，相對兩面牆其實是一面牆，所以它實質上只有兩面牆。如果你從一面牆前向對面的牆走去，當你走到對面的牆時，你立刻就回到了你出發時的那面牆前。天花板和地板也一樣。所以，這是一個全封閉的世界，走到盡頭就回到起點。至於我們周圍看到的這些映像，也很簡單，只是到達世界盡頭的光又返回到起點的緣故。咱們現在還是在剛才的那個世界中，是從盡頭返回起點，只有這一個世界，其他都是映像。」

看起來還是有點不好想像，那就把這個任務交給埃舍爾吧。