數學是理性思維（數學是思維的科學）

2023-10-04 15:33:41 1

作者 | 單墫來源 | 數學通報 2001 年 第6 期

數學是思維的科學。這句話，大概不會有什麼反對的意見。誰都知道，數學能夠啟迪、培養、發展人的思維。雖然也有其他學科或其他方式可以培養人的思維，但在深度、廣度、系統性等方面，是無法與數學相比的。

然而，在實際運作時，卻有一些人忽視這一點，他們只看重數學是一門實用性的科學。提到式的恆等變形，他們會問：這有什麼用?提到不等式的證明，他們更搖頭表示懷疑：沒有用的東西，學它幹什麼?

在這些人看來，小學的四則運算日常生活少不得，當然是有用的，要學。目前初中的內容約有二分之一還有些用處(其中幾何證明都是絕對無用的)。高中內容，大部分是為了應試，都應當取消，只有一小部分可以保留。

這種觀點，由來已久。早在60年代，即已出現輕理論、重實用，過分強調理論必須聯繫實際的思潮。在文化大革命中，更發展到頂峰。當時有的地方，中學數學課已經被取消掉，少得可憐的一點數學內容納入一門叫做「工業基礎知識」的課裡面。

僅將數學當作實用科學就是不懂得培養思維能力正是數學的一大功用，即使只談實用性，也決不可忽略思維能力的培養。

明朝的徐光啟先生(1562—1633)，見解就很高明。他在萬曆三十五年(公元1607年)與利瑪竇合譯了歐幾裡得的《幾何原本》。在譯本卷首的《幾何原本雜議》中，徐先生指出：「人具上資而意理疏莽，即上資無用；人具中材而心思縝密，即中材有用；能通幾何之學，縝密甚矣，故率天下之人而歸於實用者，是或其所由之道也。」

最近我見到一篇文章《數學與文學》，作者是一位在人文科學方面卓有成就的朱正先生(著有《魯迅傳略》(1956年)、《魯迅回憶正談》(1979年)、《小書生大時代》(1999年)、《辮子、小腳及其他》(1999年)等書)。朱先生對數學的作用認識非常深刻，他說：「我在學術研究方面所做的工作，憑仗的也就是當年數學『體操』所訓練出來的思維能力。我的一本《1957年的夏季：從百家爭鳴到兩家爭鳴》，程幹帆先生看了，許我為漢學家，說那本書深得段戴錢王之妙，卻不知道其實是得益於數學的。」(朱正著《字紙簍》，120-121頁，廣東人民出版社，2000年出版)。

即使一個人「從事的幾乎是同數學沒有什麼關係的職業，原來學的代數幾何三角中的定理定律幾乎全忘記了」(朱正先生語，同上120頁)，然而數學對思維的訓練還是有用的，這才是數學的最廣泛的「實用性」，這才是我們要學數學的主要原因。

我國古代曾有過四大發明，在數學方面也有很多成就，並出現了《九章算術》、《周髀算經》等重要著作，但後來我國的自然科學卻停滯了，遠遠落後於西方。這當然有很多的原因(特別是政府的腐敗)，但其中有一點是很重要的，即過於強調實用，而缺乏理性的思維。

希臘人比古代的中國、埃及、巴比倫前進了一大步，他們「具有重理知的特性，概括並簡化各種科學原則，希望由此求出這些科學的道理」，「柏拉圖堅持研究幾何學，並不是為了幾何學的實際用途，而是想發展思想的抽象力，並訓練心智使之能正確而活潑地思考。柏拉圖把思想的抽象力和正確的思考能力應用在倫理與政治上，結果奠定了西方社會哲學的基礎；亞里斯多德把它們應用在研究具體事物的真實性上，結果奠定了物質科學的基礎。」

「自然科學之能發展到目前的階段，首先歸功於希臘人對大自然的觀念以及對有系統的智力訓練的愛好，中問經過文藝復興、宗教革命、法國革命，後來又受到工業革命的大刺激。工業革命使工具的技術逐漸改進。西歐在自然科學的後期發展中，從未忽視科學的實際用途。不斷的發現和發明更進一步刺激了科學研究。理論科學和應用科學齊頭並進，而相輔相成。」

應當承認我國在理論思維方面不及希臘與西歐。數學方面，這樣的例子很多。我們古代很早就知道了勾3股4弦5，但沒有證明一般的勾股定理(即畢達哥拉斯定理)，也沒有找出勾股數(滿足 的整數組

曾在北京大學任過十多年校長的蔣夢麟先生(1886—1964)，在他的名著《西潮》中早就說到這一點，他說：

「在中國，發明常止於直接的實際用途。我們不像希臘人那樣在原理原則上探討：也不像現代歐洲人那樣設法從個別的發現中歸納出普遍的定律。現代歐洲人的這種習慣是從古希臘繼承而來的，不過較諸希臘時代要進步而已。中國人一旦達到一件新的發明的實用目的，就會馬上止步不前：因此中國科學的發展是孤立無援的，也沒有科學思想作為導向明燈。科學發展在中國停滯不進，就因為我們太重實際」(《西潮》第七部：現代世界中的中國。本節的引文均出自該處，不一一列舉)。

他又說：「我們中國人最感興趣的是實用東西。......，如果有人拿東西給美國人看，他們多半會說：『這很有趣呀！』；碰到同樣情形時，中國人的反應卻多半是：『這有什麼用處?』......，我們中國對一種東西的用途，比對這種東西的本身更感興趣。」

時至今日，情況當然與蔣夢麟先生的時代有了很大的不同。但忽視理論、太重實際的傾向仍然值得注意。因此，在我們考慮中學數學教材、大綱或是課程標準時，不能僅考慮實用性，不能簡單地羅列數學知識，而更應當考慮需要培養哪些思維品質，如何去進行思維的訓練，充分發揮數學是思維的科學的特點。

數學有眾多的分支，在中小學階段涉及到的有算術(理論)、代數、幾何、三角、解析幾何、函數論、組合數學、概率統計等等。各個分支在數學中都有一定的地位和作用，它們的思維方式各有特點，不盡相同，彼此之間並無高下之分，而是相輔相成，組成一個整體。不宜過分強調其中的某一個，而忽略其它，對各種思維方式在什麼時候引入最為適宜也應當深入研究。這裡對幾個問題談談我們的想法。

3.1 算術與代數

在小學階段(即九年義務教育的前五、六年)，用算術方法解應用題是我國數學教育的一個傳統內容，解題方法多種多樣，極富巧思，有利於培養學生的學習興趣，發展學生的思維。例如「和差問題」：

「大、小二數的和是18，差是4，求大數與小數各是多少？」

算術的方法可以先將小數加上4，使小數變成與大數相等，從而大數=(18 4)÷2=11

也可以先將大數減去4，使大數變成與小數相等，從而小數=(18-4)÷2=7

甚至還可以先求平均數：18÷2=9 再加上(或減去)2(=4÷2)，便得大數(或小數)。

用代數的方法，通過設未知數、列方程(組)解應用題，方法統一簡單，其優點是顯然的，但能否就肯定代數方法高於算術方法，甚至取消算術解法而統統代之以代數方法呢？恐怕不能。就思維的品質來說，統一性與多樣性，各有千秋，不相軒輊。統一、簡單固然好，「百花齊放」也不壞，從教育的觀點看來，理解統一方法的優點需要一定的基礎，低年級尚難做到這一點，而算術解法多變，易培養他們的興趣，比冷冰冰地「設 ，列方程」有「人情味」，有美學價值，這是極為重要的。因此過早地在小學引入方程，效果可能是西望長安不見家(佳)，反倒容易使思維簡單化，甚至僵化，而且要引入方程，就不能不講方程的解法，從而需要了解方程的性質，式的變形，更要引入負數的概念，容易破壞系統性，自亂章法。

3.2 平面幾何的地位與所佔比重

平面幾何原來在中學數學佔有相當大的比重，它的地位是歷史上形成的。幾何學有很完整的公理體系，又有優美的圖形，推理較有規律可以遵循，對培養學生的思維能力是有好處的。完全取消幾何，「打倒歐幾裡得」當然不對，但隨著歷史的發展，幾何學已經不能在中小學獨佔一大塊地盤。應當減少幾何的課時，已經成為共識。但怎樣縮減方法為合理?用什麼來代替幾何?

文革前，初中幾何主要講全等形與平行線，高一講相似形與比例線段，當時不升高中的人，雖然少學了一些幾何內容，但已經基本上掌握了幾何的推理方法。因此，可以採取類似的做法，即對幾何內容採用兩種要求，一部分內容，如三角形全等，需要學生很好掌握，能解決有關的習題，包括較難的習題：其餘內容，則只需了解，不花或少花功夫去做題。了解的內容不應太少。現在連"傍心"是什麼，學生都不知道，這是不恰當的。傍心這一名稱介紹給學生並不增加負擔，反而可以體現幾何學的優美。再如三角形的內角平分線的性質也應當介紹，不應刪去。

幾何課時減少後，用什麼來代替幾何培養學生的推理能力呢?首先，應當指出代數、三角或者算術，都有培養推理能力的作用，並不比幾何遜色，需要進一步開發。其次，可以考慮增加其它內容。六十年代莫紹揆先生曾提議用數理邏輯來代替幾何，這是一種好想法，或許更可行的是用組合數學來代替幾何，因為組合數學的很多內容有趣味，易為學生接受，而且靈活多變化，對培養思維能力極為有益，比如「抽屜原理」，在小學低年級就可以引入。像「三隻襪子，兩種顏色，其中必有兩隻同色」，小朋友都能理解。還可以採用「圓周式」的講授，在小學、初中、高中都有抽屜原理，但內容逐步加深，再如「奇偶分析」，「圖論初步」，不但有趣，而且也很有用(無論在實用，還是在思維方面)。

3.3 「函數為綱」與離散數學

函數為綱，是一個不很明確的口號，在眾多的數學內容中，突出函數既無必要，也沒有太好的藉口。相反地，隨著計算機等的發展。離散數學的內容反倒應當增加，國外已有人認為大學(尤其一年級)I沒有必要非學微積分，或許大學一年級學離散數學更合適一些。中小學也應引入這方面的內容，包括上面所說的組合數學，初等數論等等。初等數論(算術)講數的性質，可以結合代數進行，如

這個簡單的代數式，初中學生人人知道，然而將它理解為「每一個奇數可以表示成平方差」的恐怕寥寥無幾。再如

即表明勾股數有無窮多組。這些，都可以提高學生的興趣與思維能力。

3.4 引入新內容要考慮能否提高學生思維能力

有人主張增加一些統計、建模等等內容，並以美國小學生調查冰激凌的口味，測定自己脈搏等等為例，我們看不出這些做法對培養思維能力有什麼好處。有些內容僅僅是羅列一些名詞與公式(法則)，不如統統去掉以節省課時。因為思維能力是要花很多時間、花大力氣去培養的，而那些套公式的事，待用到時再學也為時不晚。

我們並不反對讓學生動手，但動手能力主要依靠理化生物等實驗科學來培養，而數學應側重培養「動腦」，培養智慧。

「磨刀不誤砍柴工」。數學能使人變得聰明，就好像磨刀，使刀變得銳利，學知識就好像砍柴，刀磨好了，砍柴不難。

再如微積分，有人主張不用極限理論，我們覺得取消了極限理論，等於取消了微積分的核心，剩下部分味同雞肋，對思維的培養沒有多大意思。講微積分就應當講極限思想，只不過應當採用學生易於接受的方式，不一定非用 語言。比如可以先講無窮小量的求和(一個典型的例題是拋物線 、 軸、直線 所圍的面積，從中引出 ,,, 在 無限增加時，極限分別為 0，0，0，1)。先講積分再講微分，也就是一種可以考慮的方案。

不一定追求形式上的新，原有的內容也可以用新的觀點去考察，特別應當進一步挖掘它們在培養思維方面的作用，比如前面所說的和差問題，可以結合計算機，採用嘗試法，編好程序，經過幾次嘗試，調整得出結果。

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