群論與抽象代數（因為解方程而打開的抽象代數大門）

2023-09-15 06:34:30

西方的幾何公理體系，與東方的代數算法體系，是古代數學的2個不同脈絡。

幾何，早在古希臘時代就已經建立了公理化的體系。

代數，實際上直到近代才真正地公理化。

在群論被創立之前，代數實際上只是一些解方程的算法，更類似工程而不是科學。

一元一次方程：2x = 2，

解：x = 1。

兩邊除以2就行，為什麼？

別說回答這麼複雜的問題，就是回答什麼是乘法、除法、加法、減法，在抽象代數誕生之前，都難以公理化的描述[捂臉]

所以說，古代解方程的方法是應用數學算法，而不是數學理論。

代數的公理化，遠比幾何的公理化更難！

代數脫胎於算術，很早就被人們所熟知，反而更容易讓人忽視，更難對它進行深入的研究。

熟視無睹，直到解5次方程時遇到了困難：給不出求根公式[呲牙]

也就是從這時候，人們才開始研究加減乘除到底是什麼？

這已經到了17世紀，伽利略觀察木星的時代了。

1，方程的誕生，

雞兔同籠問題，是小學數學的基本難題，可能沒有之一。

如果不用方程，用算術怎麼解？

「雞兔同籠，有20個頭，60隻腳，問雞、兔各有多少個？」

解：

假設20隻全是雞，那麼有20x2=40只腳。

腳數跟總數的差額是60-40=20只。

如果把1隻雞換成1隻兔子，可以增加4-2=2隻腳：那麼，要換多少只兔子，才可以補齊20隻腳的差額？

20 / 2 = 10隻兔子。

20 - 10 = 10隻雞。

頭數：10 10 = 20。

腳數：10x2 10x4 = 60。

求兔子只數的總算術式：(60 - 20x2) / (4 - 2) = 10，

進一步獲得雞的只數：20-10=10。

如果使用方程的話，我們使用二元一次方程組，設x只雞，y只兔子：

x y = 20, (1)

2x 4y = 60, (2)

(1)式乘以2，可得：2x 2y = 20x2 = 40，

(2)式減去(1)式，可得：4y - 2y = (4 - 2)y = 2y = 60 - 40 = 20，

進一步可得：y = 10，

最後可得：x = 20 - y = 10。

解方程的步驟，與算術的步驟是一樣的，只是算術更抽象，都是間接運算，而方程是直接運算。

算術，相當於是在剛研究問題的時候，就要展開問題的解法。

所以，算術對人們的思維深度要求更高，對大腦的信息迭代速度要求更高。

如果是一般人不會拿算術求解，很多人會說你笨，但當問題複雜到大牛也沒法拿算術求解的時候，大牛就發明了方程[捂臉]

實際上，大牛的大腦也迭代不動了，然後他就換了思路：既然逆向思考太難了，幹嘛不設個未知數，正著來呢？

於是，以後的所有問題，都變成了解方程的問題。

就算是歐幾裡德辛苦創立的幾何公理體系，也被笛卡爾嫌棄「只能鍛鍊人們的思維」，然後笛卡爾發明了解析幾何[呲牙]給他變成了代數方程。

笛卡爾：「我希望之後人們可以真正地解決問題，而不只是鍛鍊思維。」

「兩點可以確定一條直線嗎？」

ax by = c確定一條直線：又精確，又直接。

2，解方程是個問題，

ax b = 0，解：x = - b / a.

......

代數方程的求解問題，是個因式分解問題。

只要多項式能夠分解成一次式的乘積，那麼就可以獲得n個根（n為次數，包含重根），即：

多項式的分解，當然是依賴於係數的：因為不同的多項式變化的是係數，而次數是固定的，缺項可以看作係數為0。

根與係數的關係，早在16世紀的義大利和法國就被注意到了，即韋達定理：

韋達定理還可以從2次方程繼續擴展到高次方程：根的和與n-1次項的係數有關，根的積與常數項有關（具體的可以查看代數書）。

雖然人們在16世紀就發現了根和係數的關係，但是，5次方程的求根公式就是給不出來。

因為，人們甚至沒法說清楚：加、減、乘、除、開方，到底是什麼？

求根公式，根式解，人們從古代一直用到18世紀，依然說不清這些運算的本質。

3，加、減、乘、除、開方，到底是什麼？

減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，這是人們熟知的。

開方是什麼？

（如果x^n = y，那麼x就是y的n次方根，這個定義沒什麼用）

我們先從2次方程的求根公式開始：

為了簡單，可以讓a = 1，即方程的左邊是首一多項式。

為了讓方程的判別式不成立，從而產生虛數，可以看這個方程：

它在複數裡是有解的：-1 i, -1 - i。

但在實數裡是無解的，在有理數裡當然也無解。

-1 和 i 是沒法合併同類項的，因為它們2個處於不同的維度：

畫在圖上時，-1在x軸，i在y軸。

x^2 2x 2的兩個根

可以看出，解這個係數全是實數（有理數、整數）的方程時，居然需要跑到複數裡才可以！

所以，高次方程本質上是擴大了數的範圍：它的根與係數可以在不同的數集裡。

僅僅是2次方程，就可以把根映射到複數裡。

f(x) = x^2 bx c = (x - x1)(x - x2) = 0，它確定的是(b, c)與(x1, x2)之間的函數關係，這個關係是一一對應的，因為它們都表示同一個方程。

A：知道係數求根，有2次方程的求根公式。

B：知道根求係數，直接把根代進去，就是係數的一次方程。

當x1 != x2時，範德蒙德矩陣的行列式不為0，所以上面的線性方程組有唯一解：

即，多項式方程（在沒有重根時）是根與係數的一一對應關係。

這個對應關係，可以把實數的係數映射到複數的根，或者反過來。

所以，對於一般的高次方程來說，求根的前提是擴大數的範圍。

更準確地說，是擴大數的維數。

因為整數對除法運算的結果不閉合，所以研究方程的解時，最小範圍必須是有理數Q。

如果在整數範圍內，那麼一元一次方程都可能無解，例如2x = 1。

要為了求根而擴大維數時，擴大的基礎就是有理數Q。

4，那麼，加法和乘法是什麼？

通常的加法，是有理數Q上的一個二元運算符，它表達了一個對應關係：z = a(x, y)。

通常的乘法，也是有理數Q上的二元運算符，它也表達了一個對應關係：z = m(x, y)。

找出它們兩個的共同點來，就是群論：

一個集合，與定義在它上的二元運算符，符合哪些公理[捂臉]

公理1，結合率：a (b c) = (a b) c, a x (b x c) = (a x b) x c.

公理2，單位元和逆元：a (-a) = 0, a x (1/a) = 1.

加法的單位元叫0，俗稱零元。

乘法的單位元叫1，俗稱單位元。

在代數學上，這就是0和1的本質，符合這個條件的都可以叫0和1。

公理3，交換律：a b = b a, ab = ba.

加法是肯定符合交換律的，因為加法的兩個元素是同類。

乘法不一定符合交換律，因為乘法的兩個元素不一定是同類。

之前的文章裡舉過例子，1個盤子裡有5個蘋果，3個這樣的盤子，總數有多少個蘋果？

解：5x3 = 15，5是蘋果的個數，3是盤子的個數，3和5在這裡並不是同樣的含義。

所以，矩陣乘法的「不交換」是正常的，整數乘法的「交換」才是特例。

所以，加法和乘法的區別，就在於符不符合交換律！

所以，減法和除法並不存在，存在的只是加法和乘法的逆元。

所以，一元一次方程的求解問題，就是求加法和乘法的逆元問題。

求逆元需要幾步運算？1步，見公理2。

所以，一元一次方程的求解只需要2步：第1步求加法逆元，第2步求乘法逆元。

方程：ax b = 0，

求加法逆元：ax = -b，

求乘法逆元：x = -b/a，完成。

當未知數前面的係數是乘法的單位元時，就是一元一次方程的解。

多個未知數的一元方程組的解，都通過加法和乘法運算，先轉化成一元一次方程。

5，那麼，開方是什麼？

在第3節裡說了，高次方程本質上是擴大了數的維數，擴大的基礎是有理數Q。

那麼，從有理數到實數需要擴張多少個維數？

無窮個，因為

所以，不能直接在實數域裡考慮高次方程的求根問題，而是一點點的擴張。

例如：

方程1：x^2 - 2 = 0，它的求根實際上只需要擴張一個數，

方程2：x^2 - 3 = 0的求根，只需要擴張一個數，

方程3：x^2 - 6 = 0的求根，在上面2個擴張的基礎上，它不需要再擴張了，因為6 = 2x3。

6是合數，當它的所有質因數的平方根都被擴張進去之後，它的方程x^2 - 6 = 0已經可解了。

方程4：x^2 - 8 = 0的求根，也只需要擴張就行，它的解是

所以，就可以滿足上面4個方程的求根，不需要擴張到整個實數R。

開方運算，本質上是有理數域的擴張，域的擴張。

6，域是什麼？

域，是能夠進行加法和乘法運算、和它們的求逆運算的最小封閉集合。

如果只定義1種運算（加法或乘法），並滿足結合率、單位元、逆元的集合，叫群。

如果定義了2種運算（加法和乘法），並滿足分配律的集合，叫環。

公理4，分配律：a x (b c) = ab ac，(a b) x c = ac bc.

在環的基礎上，還可以求乘法的逆元，就叫域。

加法的逆元是肯定存在的，整數就可以滿足封閉條件。

乘法逆元的存在，可以得出這個公理：

公理5，消去律：ab = 0，所以a = 0或b = 0.

如果a != 0，它就存在乘法逆元，即倒數1/a，左乘1/a就可得b = 0。

如果b != 0，它就存在乘法逆元，即倒數1/b，右乘1/b就可得a = 0。

域的0之外的元素，都有逆元。

所以，有理數Q是個域，實數R是個域，複數C是個域。

但是整數Z不是域，它只是個環。

所以，方程的根式解問題，是有理數域Q的一個有限根式擴張問題。

根式擴張之後的域，叫做多項式的分裂域（用F表示）。

F是Q上的一個有限維線性空間。

，是什麼？

是係數為(4, 8, 16)，基為的一個線性表示。

F除了Q之外的其他元素之間的對應關係，是關係到高次方程是否有根式解的關鍵。

這個對應關係，叫做伽羅瓦群Gal(F/Q)。

7，伽羅瓦來了，

伽羅瓦定理：一般5次方程的根式可解，若且唯若它的分裂域對應的伽羅瓦群是可解群。

伽羅瓦理論

可解群是什麼？

就是群中的元素，可以沿著一條鏈變換到群的單位元。

ax = b要是求解，只需要把係數a變成1，乘以1/a就行，所以一元一次方程是可解的。

群的元素不一定是數字，也可以是對應關係（置換）。

所以，有時候換過來之後，換不回去。

魔方的旋轉，就是一個群

8，為什麼有的方程沒有根式解？

因為加法和乘法運算會消除信息。

f(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4)(x - x5) = 0，這個方程是完全信息的。

它的根就是x1, x2, x3, x4, x5。

但是，把它展開之後就不是這樣了：

f(x) = x^5 (x1 x2 x3 x4 x5)x^4 ...... (-1)^5 x1x2x3x4x5

= x^5 ax^4 bx^3 cx^2 dx f = 0.

加法運算，是肯定會消除信息的。

4 = 1 3 = 2 2，光看到4是不知道它由哪2個數字加出來的。

乘法運算，在2個乘數不全是質數的情況下，也會消除信息。

54 = 6x9 = 2x27 = 3x18，也是沒法確定它是哪2個數字乘出來的。

所以，有些方程沒法從係數反回去求根，就是必然的。

9，法國大數學家、群論的創始人、伽羅瓦，

又是法國[捂臉]

伽羅瓦出生於1811年，1832年過世，年僅21歲。

他從16歲學數學，5年之後創立群論，論文曾經寄給柯西、傅立葉。

柯西把這篇數學史上最著名的論文給搞丟了，而傅立葉收到論文後恰好病逝。

然後，伽羅瓦因為一個女人（斯特凡妮）而捲入了一場決鬥，死時只有21歲。

伽羅瓦在決鬥前一天的晚上，寫下了他的數學理論，讓人送給了高斯、劉維爾。

劉維爾花了十幾年的時間，把伽羅瓦的理論整理出來，用更通俗的語言再次發表，群論才流傳下來。

伽羅瓦，1811-1832