用數形結合的思想解題方法（數形結合方法歸納總結）

2023-10-14 07:05:52

一、以數助形

「數（代數）」與「形（幾何）」是中學數學的兩個主要研究對象，而這兩個方面是緊密聯繫的．體現在數學解題中， 包括「以數助形」和「以形助數」兩個方面．「數」與「形」好比數學的「左右腿」．全面理解數與形的關係，就要從「以數助形」和「以形助數」這兩個方面來體會．此外還應該注意體會「數」與「形」各自的優勢與局限性，相互補充．「數缺形時少直覺，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事非．」華羅庚的這四句詩很好地總結了「數形結合、優勢互補」的精要，「數形結合」是一種非常重要的數學方法，也是一種重要的數學思想，在以後的數學學習中有重要的地位．

要在解題中有效地實現「數形結合」，最好能夠明確「數」與「形」常見的結合點，，從「以數助形」角度來看，主要有以下兩個結合點：（1）利用數軸、坐標系把幾何問題代數化（在高中我們還將學到用「向量」把幾何問題代數化）；（2）利用面積、距離、角度等幾何量來解決幾何問題，例如：利用勾股定理證明直角、利用三角函數研究角的大小、利用線段比例證明相似等．

二、以形助數

幾何圖形具有直觀易懂的特點，所以在談到「數形結合」時，更多的老師和學生更偏好於「以形助數」，利用幾何圖形解決代數問題，常常會產生「出奇制勝」的效果，使人愉悅．幾何直觀運用於代數主要有以下幾個方面：

（1）利用幾何圖形幫助記憶代數公式，例如：

正方形的分割圖可以用來記憶完全平方公式；

將兩個全等的梯形拼成一個平行四邊形可以用來記憶梯形面積公式；等等．

（2）利用數軸或坐標系將一些代數表達式賦予幾何意義，通過構造幾何圖形，依靠直觀幫助解決代數問題，或者簡化代數運算．比如：

絕對值的幾何意義就是數軸上兩點之間的距離；

數的大小關係就是數軸上點的左右關係，可以用數軸上的線段表示實數的取值範圍；

利用函數圖像的特點把握函數的性質：一次函數的斜率（傾斜程度）、截距，二次函數的對稱軸、開口、判別式、兩根之間的距離，等等；

一元二次方程的根的幾何意義是二次函數圖像與x軸的交點；

函數解析式中常數項的幾何意義是函數圖像與y軸的交點（函數在x=0時有意義）；

銳角三角函數的意義就是直角三角形中的線段比例．