幾何與代數線性變換（數學漫步第六章）

2023-10-09 04:55:12 1

（觀看相應的視頻：第六章：複數，續）這章通過在複平面上變換的動畫演示加深人們對複數概念的直觀感覺。

一個變換 T 是一個操作把對於每一個平面內的點，也即複數 z 與另一點 T(z) 聯繫起來。為了展示變換，我們把法國數學家杜阿迪的照片放在平面上，顯示它經過變換後的樣子：相片上的每個像素都是經過 T 變換得到的。

杜阿迪以自己個照片為例舉了下面複平面變換 T 函數的例子。

每一個數都除以 2，圖片被因子 2 縮小了：一個反向變焦(reverse zoom)！我們把這稱作位似變換。

由 i 的定義可知，這即旋轉四分之一圓周。

1 ＋ i 的模是 √2，它的輻角是 45°。這是由旋轉 45°和 √2 因子位似複合的變換。這叫做相似。這是複數的一大優勢：它容許我們把簡單相似描述成乘法。

這是我們的第一個非線性變換。通過把相片放在不同點，我們就會了解在複平面上應用平方的效果：模被平方輻角被加倍。

這個變換的作用與俗稱的反演(inversion)相似。與 0 相對應的原點不能被變換。但是我們約定原點被變換到無窮點。原因很簡單：如果一個複數 z 接近 0，即模趨於 0，被變換後的數-1/z 的模—— z 的模的倒數，將趨於無窮大。這個變換有「爆破」的性質，把靠近原點的領域內的點移至很遠處，越過螢幕的邊界……相反地，離原點很遠的點被「壓」至原點附近。

長久以來，學術書籍中都很重視反演，因為它協助我們證明相當漂亮的定理。反轉最主要的性質是把圓變換成圓或直線。藝術家利用這種類型的變換，而把它稱作失真(anamorphosis)。

更普遍地，如果我們選取四個複數 a、b、c、d，考慮變換 T(z) = (az b)/(cz d)。

這些變換在數學中有好幾個名字——Moebius 變換，射影變換，單應變換(homographies)——但是它們首要的性質是把圓變換成圓或直線。這是一種美麗的幾何——共形幾何的一個變換群。這種幾何和非歐幾何相似，這已是另一個主題了！

俄羅斯科學家茹科夫斯基在他開拓機翼的空氣動力學( the aerodynamics of airfoils )的過程中研究過這個變換。這個圖示的意義在於它展示了這種類型變換的基本性質。當然它不再保圓（只有 Moebius 變換保圓），但是在無窮小的範圍內它還是保圓的。這些變換叫做全純的(holomorphic)或共形的(conformal)。希臘語與拉丁語詞根「holo」與「con」意思是「一樣(same)」，「morph」意思是「形狀(form)」：換句話來說，這些變換保持形狀。全純函數(holomorphic functions)的研究在數學中佔很重要的地位。

在第六章的第二部分，杜阿迪介紹了一個重要分支，他也是這個分支的貢獻者之一。是關於茱莉亞集合(Julia set) 的研究，這不僅是基於數學上的興趣，更是由於它出奇地美麗（當然這兩點也有關聯）。很少見一個強大的數學理論能以如此美麗的形式展示出來。許多藝術家被這些圖像激發靈感。

開頭的想法很簡單：我們隨意取一個複數 c。考慮變換 Tc(z) = z² c。它先複數 z 平方然後平移 c。在起始點 z，變換的結果是 z1 = Tc(z)。我們進而可以考慮它的變換結果 z2 = Tc(z1)，我們一直這樣無窮下去，產生複數序列 zn，每個數都由前一個數變換得到。我們說在變換 Tc 下，序列 zn 處於起始點 z 的軌道(orbit)中。研究序列 zn 的性質，就是要了解 Tc 的動力學(dynamics)。下面一個簡單的例子，足以體現數學之美。

首先考慮 c=0 的情況。這時變換實際就是重複 Tc(z)= z2。每個複數 zn 的模都是前一個的平方。如果 z 的模小於等於 1，即 z 處於以原點為中心半徑為 1 的圓內，那麼所有的 zn 都將處於圓內。另一方面，如果複數 z 模大於 1 那麼 zn 的模會一直增長趨於無窮。z 的軌道最終將超越螢幕！

在第一種情況下，我們說軌道是穩定的(stable)，它始終處於平面一塊有界區域內。第二種情況下它是不穩定的(unstable)，它趨於無窮。因此使軌道穩定的點 z 的集合是圓。

更普遍地，對於 c 的每一個值，我們也能得到點 z 兩種軌道。變換 Tc 下 z 的軌道是穩定的，如果它始終處於平面一塊有界區域內，否則就是不穩定的。使軌道穩定的 z 的點集稱作變換 Tc 的填充茱莉亞(filled-in Julia set)。了解這些 Julia 集的結構以及它們如何隨 c 變化而變化是解析動力系統(holomorphic dynamical systems)理論的一個重要目的。首先，杜阿迪給我們展示一些在不同的 c 下茱莉亞集合的例子。它們中的一些有奇特的名字，比如「兔子」（你看見它的耳朵了嗎？）是在 c= -0.12 0.77i 情況下得到的。

從二十世紀初起人們就知道茱莉亞集合分為兩種。它可以像我們展示的例子裡一樣，是單獨一塊部分，—用數學家的話來說就是連通的(connected) ——或者它完全不連通，由無窮多個獨立的碎片組成，每個的內部都是空集，我們在圖像上看不到它！能使我們看見茱莉亞集（茱莉亞集連通）的點 c 的集合稱作曼德博集合，為了紀念本華·曼德博。為了了解這集合杜阿迪作；他在證實集合是連通的這方面做出了貢獻，他也會很樂意展示給我們集合是局部連通的… …

這章的末尾重在進入絢麗曼德博集合圖形之中，欣賞當放大倍數達到了兩千億的數量級後那神奇的世界！

我們可以以兩種方式觀察這景象。我們可以僅僅欣賞它：它足夠美了！或者我們可以問自己一些問題……

比如，顏色的意義是什麼？一個古老的定理告訴我們 Julia 集不是連通的（或者說 c 不在 Mandelbrot 集中）若且唯若在變換 Tc 下 0 的軌道是不穩定的。對於給定的 c 值我們觀察 Tc 下 z=0 的軌道及其在 n 取值很大時的行為。如果 zn 非常迅速地變大，就意味著 c 不在 Mandelbrot 集中，甚至遠離它。如果序列 zn 趨於無窮大，但是更緩慢些，那麼 c 仍然不在 Mandelbrot 集中，只是稍微靠近它。c 的顏色取決於序列 zn 趨於無窮的速度，也體現了它離 Mandelbrot 集的「距離」。另一方面如果 zn 處於一塊有界區域中，那麼 c 在 Mandelbrot 集中，它的顏色也就是黑色。

圖中的曼德博色的，但是也有其它著色方法。影片中，我們用「三角不等式」： zn 的模增大超過一確定值時，計算模 A=|zn-z(n-2) |, B=|zn - z(n-1) | 和 C= |z(n-1) - z(n-2) |。

A/(B C) 是一個取值總在 0 和 1 之間的量，我們用這個數確定一個調色盤上的位置。

為什麼有時我們會看到曼德博集合的小的複製個體？解釋這個很困難，這也是杜阿迪的重要發現之一：曼德博集合有自相似性，分形集合的一個常見性質。要想對此了解更多，參見這個頁面。