量子統計：玻色與費米的故事
2023-04-01 08:37:06
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張
盧浩然
玻爾茲曼作為統計力學的大師，研究經典粒子的統計行為，那麼什麼是量子力學中粒子的統計行為呢？為什麼它不同於經典粒子的統計定律？這段歷史將再次讓我們回到舊的量子理論。
圖1:玻色和費米
現代物理學認為量子統計有兩個定律:玻色-愛因斯坦統計和費米-狄拉克統計。愛因斯坦，四位物理學家之一，是眾所周知的偉大的上帝。費米和狄拉克也在諾貝爾獎的名單上。但是這些玻色和費米是誰呢？在這篇文章中，我們將介紹玻色和費米。
一個概率問題
博斯其實並不那麼有名。屬於第三世界的物理學家印度人受到許多條件的約束。然而，以他的名字命名的玻色子在物理學上仍然相當有名。玻色子統計的研究是玻色子一生中唯一重要的成就。
有趣的是，由於一個「錯誤」，玻色發現了玻色子的統計定律。大約在1921年，在一次關於光電效應的演講中，玻色犯了一個類似於「投擲兩枚硬幣並以三分之一的概率得到兩個正(即『正』)」的錯誤。出乎意料的是，這一錯誤得出了與實驗一致的結論，也就是說，一個無法區分的相同粒子遵循的統計規則。
「扔兩個硬幣，正概率是三分之一」的錯誤是什麼？此外，什麼是「無法區分的相同粒子」？兩個粒子可以區分還是不可區分，這會影響概率的計算嗎？
讓我們看看如何在現實生活中計算概率。如果我們扔兩枚硬幣，因為每枚硬幣都有不同的正反兩面，有四種可能的實驗結果:正、正、負、正、負。如果我們假設每種情況的概率是相同的，那麼獲得每種情況的概率是四分之一。
現在想像一下，我們的兩個硬幣變成了某種「無法區分」的兩個粒子。讓我們稱之為「量子硬幣」。這個無法區分的東西完全一樣，也無法區分。由於「積極」和「消極」以及「無論如何」之間沒有區別，當觀察兩個這樣的粒子的狀態時，所有可能的情況都只是「積極」、「消極」和「積極」。
圖2:「可區分的」和「不可區分的」粒子的統計規律是不同的
這時，如果我們仍然假設三種可能性中每一種的概率是相同的(雖然這似乎不符合我們日常經驗中的實際「硬幣」，但不要忘記，我們正在考慮一些抽象的「量子硬幣」)，我們將得出結論，「每種情況的概率是三分之一」。這個例子表明，許多「相同的和不可區分的」對象遵循不同於許多「可區分的」對象的統計規律。
玻色誤差
納特·博斯(1891974)出生於印度加爾各答。他的父親是鐵路工程師，他是七個孩子的長子。博斯在大學時受到幾位優秀教師的表揚和指導，但他只獲得了數學碩士學位，沒有繼續攻讀博士學位。他直接在加爾各答的物理系當講師。後來，他以物理系講師的身份來到卡達大學，自學物理。
圖3:百色(後排左二)和加爾各答大學的科學家
大約在1922年，玻色在他的演講中談到了黑體輻射時的光電效應和紫外線災難。他打算向學生展示理論預測結果和實驗之間的差異。當時，新的量子理論(量子力學)尚未誕生，使用了20多年的舊量子理論只是在經典物理學的框架內做了一些量子修復工作。至於粒子的統計行為，當需要應用統計規律時，它仍然是玻爾茲曼的經典統計理論。物理學家頭腦中絕對沒有「可區分或不可區分」粒子的概念。每個經典粒子都有一個可以精確跟蹤的軌道，這意味著所有經典粒子都可以相互區分！
玻色也是如此，他想向學生清楚地解釋黑體輻射理論和實驗之間的矛盾。因此，他用經典統計學推導出理論公式。然而，在推導過程中，他犯了我們上面提到的「錯誤」。簡而言之，他把投下兩枚硬幣的概率錯當成了三分之一。然而，我從未想到這個偶然的錯誤會得出與實驗一致的結論。
為什麼數學錯誤反而得到正確的物理結論？這件事有些奇怪。聰明的博斯立即意識到這可能是一個「正確的錯誤！」他繼續深入研究，研究概率1/3和概率1/4之間差異的本質，然後寫了一篇關於普朗克定律和光的量子假說的論文。本文中，玻色首次提出經典的麥克斯韋-玻爾茲曼統計定律不適用於微觀粒子。他認為海森堡的不確定性原理使得一種新的統計方法成為必要。
然而，沒有一家雜誌願意發表這篇論文，因為他們都認為Bose犯了當時統計學家看起來非常低級的錯誤。
後來，在1924年，玻色想出了一個意想不到的主意，把這篇文章直接送給了著名的愛因斯坦，結果卻立即得到了愛因斯坦的支持。玻色的「錯誤」可以得到正確的結果，因為光子是一種無法區分的東西，統稱為「玻色子」。作為回應，愛因斯坦腦子裡有一些模糊的想法，現在玻色的計算與這些想法一致。愛因斯坦將論文翻譯成德語，並安排在德國物理雜誌上發表。
玻色的發現如此重要，以至於愛因斯坦寫了一系列的論文，稱之為玻色統計。因為愛因斯坦的貢獻，它現在被稱為「玻色-愛因斯坦統計」。然後出現了超低溫下的「玻色-愛因斯坦凝聚」理論。
這可以說是一項諾貝爾獎級別的工作，但不幸的是，玻色本人就像一顆划過天空的彗星，閃爍了一會兒，轉瞬即逝。他在科學方面沒有做太多，最終錯過了諾貝爾獎。他於1974年在加爾各答去世，享年80歲。
相同的粒子
玻色的「錯誤」可以精確地得到正確的結果，因為光子是無法區分的。這種無法區分的相同粒子在量子力學中被稱為「相同粒子」。
所謂的相同粒子是指具有相同內在性質的粒子，如質量、電荷和自旋。在宏觀世界中，可能沒有完全相同的事物，即使它們看起來相同，它們也可以被區分。因為根據經典力學，即使兩個粒子都一樣，它們的軌道也不一樣。因此，我們可以追蹤它們不同的軌道並區分它們。然而，在符合量子力學定律的微觀世界中，粒子遵循不確定性原理，沒有固定的軌道，因此無法區分。在量子力學中，有兩種相同的粒子:玻色子和費米子，分別以玻色子和費米子命名，它們遵循兩種不同的量子統計定律。
圖4:「可區分的」和「不可區分的」粒子的統計規律是不同的
光子是玻色子。難以區分的相同粒子計數概率確實不同於經典的統計方法。如圖4a所示，對於兩個經典粒子，兩個前沿的概率(HH)是1/4，而對於玻色子如光子，兩個前沿的概率(HH)是1/3(圖2b)。
那麼，費米子是如何定義的？
在圖4c中，我們說明了玻色子和費米子之間的區別。費米子也是相同的粒子。它們是符合泡利不相容原理(兩個電子不能處於同一狀態)的相同粒子，例如電子。我們仍然以兩個硬幣為例來說明費米子統計定律的特殊之處。
假設這兩個硬幣現在已經成為「費米子硬幣」，對於這兩個費米子來說，因為它們不能處於完全相同的狀態，所以在四種可能情況下的HH和TT狀態沒有被建立，只留下唯一的可能性:HT。因此，對於兩個費米子系統，HT的概率為1，其他狀態的概率為0。
費米的貢獻
研究費米子統計定律的功勞屬於美籍義大利物理學家恩利克·費密(恩利克·費密，1901954)。
圖5:美國伊利諾州費米和費米國家實驗室
有許多以費米命名的物理物體:費米子、費米表面、費米-狄拉克統計、費米佯謬……甚至化學元素100「浩」。當然，芝加哥有著名的費米實驗室和芝加哥大學的費米研究所。然而，知道費米的人並不多，因為費米一向低調，對名利漠不關心。
費米的主要成就包括開創了β衰變的定量理論，設計並建造了世界上第一個可控核反應堆等。費米是1938年諾貝爾物理學獎的獲得者。他對理論物理和實驗物理都做出了巨大貢獻，因此被稱為現代物理學的最後一位通才。
費米是他家最小的孩子。小時候，他瘦瘦的，沉默寡言，缺乏想像力，甚至不夠聰明。然而，這似乎再次印證了中國的一句老話:智慧就像愚蠢。看看費米一生的成就和他在物理學上的成就。
10歲的費米能夠獨立理解代表一個圓的公式X2+Y2=R2，他很早就掌握了義大利語、拉丁語和希臘語。18歲時，他因為一篇題為《聲音的特徵》的論文而引起了物理學權威的注意。1929年，30歲以下的費米成為義大利最年輕的院士。
費米作為院士的聲望有所提高，但他仍然非常低調。據說有一次費米和他的妻子一起去了一家旅館。老闆問他是不是費米院士「閣下」。費米漫不經心地回答說，他是費米院士的遠親。
沒有人質疑費米是否太年輕而不能在30歲時成為義大利科學院的院士，因為他在25歲時發現了費米子遵循的量子統計。1926年，費米和狄拉克獨立發表了兩篇關於這一統計規律的學術論文。兩位科學家都非常低調和謙虛。狄拉克說這項研究是由費米完成的。他稱之為「費米統計」，相應的粒子稱為「費米子」。
不同微觀粒子的各向同性統計行為是不同的，這種差異來自它們的自旋和由自旋引起的不同對稱性。玻色子是具有整體自旋的粒子，例如自旋為1的光子。兩個玻色子的波函數是交換對稱的。當兩個玻色子交換角色時，總波函數保持不變。費米子的自旋是半整數，例如，電子的自旋是半整數。由兩個費米子組成的系統的波函數是交換反對稱的，即當兩個費米子的角色交換時，系統的總波函數隻改變符號。(參見圖5右側的第二幅圖)
反對稱波函數與所有費米子遵循的泡利不相容原理有關。因此，原子中的任何兩個電子不能處於相同的量子態，而是排列在原子的層中(見圖5中左邊的兩幅圖)。在此基礎上，獲得了劃時代的元素周期規律。
圖6:玻色子和費米子的不同特徵源於不同的自旋波函數
因為玻色子就像所有住在一個房間裡的人一樣，每個人都在拼命向最低能量狀態推進。例如，一個光子是一個玻色子，許多光子可以處於相同的能級，所以我們可以得到超強的雷射束。原子呢？原子是複合粒子，情況更複雜。對於複合粒子，如果它由奇數費米子組成，則複合粒子是費米子；由偶數個費米子組成，是玻色子。如果玻色子的原子溫度在一定條件下降低到接近絕對零度，所有玻色子將突然「凝聚」在一起，這將產生一些在正常物質中無法觀察到的有趣的「超流體」性質。這被稱為「玻色-愛因斯坦凝聚」。通過對玻色-愛因斯坦凝聚的深入研究，有可能實現具有誘人前景的新突破，如原子雷射。
因此，相同粒子的玻色子或費米子行為是量子力學最神秘的方面之一。
就在費米獲得諾貝爾獎的那一年，義大利人貝尼託·阿米爾卡雷·安德烈亞·墨索裡尼(1883 -1945)開始逮捕和迫害猶太人。因為費米的妻子是猶太人，費米利用瑞典獲得該獎項的機會逃到美國哥倫比亞大學任教。
1941年底，在愛因斯坦和其他人的建議下，美國政府決定啟動一項名為「曼哈頓」的原子彈開發計劃，費米成為主要參與者之一。他指揮建造了世界上第一個「人造核反應堆」，並秘密將其轉移到新墨西哥州的洛斯阿拉莫斯峽谷附近，最終在1945年7月12日製造了世界上第一顆原子彈。四天後，原子彈成功引爆。
在他科學生涯的最後幾年，費米還從事高能物理的研究。1954年11月28日，事業如日中天的費米在芝加哥家中因食道癌和胃癌的雙重打擊而逝世，享年53歲。
量子統計:玻色和費米|量子群傳記
資料來源:賽先生
編輯:小林綠子
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